Definitionsbereich < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo, folgendes Problem
f(x1,x2)=x1^x2
anzugeben ist der maximale definitionsbereich
mein vorschlag wäre:
x1 e R
x2 e R
mit der Einschränkung falls x1<0 darf x2 nicht 1+a/2*b mit a e Q und b e [mm] Q\0
[/mm]
die Übungsleiterin pocht allerdings auf den Definitionsbereich
x1,x2 e R und x1>0
was sagt ihr dazu?
alleine der punkt (-2,2) wiederlegt doch schon ihren Definitionsbereich oder liege ich da falsch?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/30254,0.html
mfg Steffen
|
|
| |
|
> Hallo, folgendes Problem
>
> f(x1,x2)=x1^x2
>
> anzugeben ist der maximale definitionsbereich
>
> mein vorschlag wäre:
>
> x1 e R
> x2 e R
>
> mit der Einschränkung falls x1<0 darf x2 nicht 1+a/2*b mit
> a e Q und b e [mm]Q\0[/mm]
>
> die Übungsleiterin pocht allerdings auf den
> Definitionsbereich
>
> x1,x2 e R und x1>0
>
> was sagt ihr dazu?
Hallo,
soweit ich weiß, ist [mm] x^y:=e^{ylnx}. [/mm] Hierzu paßt der Definitionsbereich Deiner Übungsleiterin ganz prima.
>
> alleine der punkt (-2,2) wiederlegt doch schon ihren
> Definitionsbereich oder liege ich da falsch?
Nein, der widerlegt den Definitionsbereich nicht. Weil, wenn [mm] x^y:=e^{ylnx} [/mm] ist, man (-2,2) gar nicht in diese Funktion einsetzen kann.
Du meinst nun: [mm] (-2)^2=4. [/mm] Und Du hast auch recht. Da hast du -2 in die Funktion [mm] g(x):=x^2 [/mm] eigesetzt, und die ist auf ganz [mm] \IR [/mm] erklärt.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Das heißt jetzt? Ich meine es kann ja bei der oben genannten Funktion zu der Konstellation [mm] -2^2 [/mm] kommen. Was für einen Grund gibt es, diesen aus dem Definitionsbereich auszuschließen? Die Sache mit dem ln usw.. ist mir schon klar aber....
|
|
|
| |
|
Ja, schon klar. Aber um genau diese Fälle zu vermeiden hätte ich ja die Einschränkung
wenn x1<0 dann x2 [mm] \not=1+ \mu/2* \lambda [/mm] mit [mm] \mu \in \IQ, \lambda \in \IQ \0. [/mm] Somit hätte ich doch wohl alle diese Fälle wie (-2)^(-1/2) oder (-5)^(5/6).... ausgeschlossen. Wogegen alle Fälle wie (-2)^(-6/7) definiert und erlaubt sind.
|
|
|
| |
|
Hallo,
Du kannst den Def.-Bereich Deiner Übungsleiterin gezielt erweitern, etwa indem Du für negative Basen ganzahlige Exponenten zulässt.
Aber schon bei Brüchen wird es problematisch, wenn Du Dich nicht nur auf ausgekürzte Brüche mit ungeradem Nenner beschränkst: Du musst Dich dann auf eine bestimmte Darstellungsweise festlegen. Außerdem ist unklar, wie es für irrationale Exponeten weitergehen soll (die ja bei Deiner Definiton zugelassen sind), weil die durch stetige Abschlüsse definiert werden. Daher ist es i.A. üblich, den Def.-Bereich auf positive reelle Zahlen zu beschränken. Aber Du hast recht:
Man kann ihn noch erweitern
|
|
|
| |
|
Hallo Toellner,
kann man den Definitionsbereich denn soweit erweitern, dass er grösser wird, als der übliche Definitionsbereich? Die Frage war ja nach dem maximalen Definitionsbereich. ich meine, [mm]\mathbb{R}_+\times\mathbb{R}[/mm] ist doch ein Produkt zweier überabzählbarer Mengen - ist das noch zu toppen? ich frag nur aus reiner Neugier - mir im grunde klar, dass man wegen der Definition [mm]x^y := \exp ( y \ln x )[/mm] ohnehin auf den üblichen Definitionsbereich festgelegt ist.
Danke fürs Interesse,
Gruss, Lars
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:38 Fr 15.07.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ja, der Definitionsbereich ist zu toppen, wenn man [mm] $x^y$ [/mm] nicht stur als [mm] $e^{x Log(y)}$ [/mm] definiert, wobei $Log(y)$ der Hauptzweig des komplexen Logarithmus, eingeschränkt auf [mm] $\IR_{>0}$, [/mm] ist (also genau das, was wir unter dem reellen Logarithmus verstehen).
Verstehen wir [mm] $e^{x \log(y)}$ [/mm] so, dass wir im Falle $y<0$ auf den ersten Nebenzweig des Logarithmus wechseln dürfen, falls das Ergebnis dann eine reelle Zahl ist, dann können wir die Definition erweitern.
Ich will das mal am einfachen Beispiel [mm] $(-2)^2$ [/mm] erläutern.
Es gilt, wenn [mm] $\log$ [/mm] hier der erste Nebenzweig ist:
[mm] $(-2)^2 [/mm] = [mm] e^{2 \log(-2)} [/mm] = [mm] e^{ 2 (Log(2) + \pi i)} [/mm] = [mm] e^{2Log(2)} \cdot e^{2\pi i} [/mm] = 4$.
Nur wenn man sich also vom Hauptzweig $Log$ des Logarithmus in der Definition [mm] $x^y [/mm] = [mm] e^{xLog(y)}$ [/mm] löst, kann man den Definitionsbereich erweitern. Fasst man [mm] $x^y$ [/mm] stur als [mm] $e^{x Log(y)}$ [/mm] mit dem Hauptzweig $Log$ des Logarithmus auf, dann kann man den Definitionsbereich nicht erweitern.
Es ist also die Frage, wie die Abbildungsvorschrift $(x,y) [mm] \mapsto x^y$ [/mm] vorher genau definiert wurde.
Viele Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
Hallo Stefen,
ja, diese Möglichkeit war mir gar nicht eingefallen - so könnte man es machen. Danke für die Erläuterung!
Gruss, Lars
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:15 Sa 16.07.2005 | | Autor: | Ozillator |
Danke für die Hilfe, das mit dem Nebenzweig war mir bis jetzt kein Begriff. Jetzt ist meine mathematische Welt wieder im Gleichgewicht :). mfg Steffen
|
|
|
|
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]"){kind=small}
??
