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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:03 Fr 17.09.2010 | | Autor: | bOernY |
| Aufgabe | | Für welche [mm] $x\in\IR\$ [/mm] ist die Funktion [mm] $f(x)=\summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{2x}{1-x^2})^n$ [/mm] definiert? |
Ich sehe hier in meinen Unterlagen ganz viele solcher Aufgaben, allerdings habe ich ein paar Verständnixprobleme.
Für mich bedeutet das Wort "Definitionsbereich" der Bereich für welche $x$ die Funktion definiert ist. Es handelt sich hier in diesem Beispiel ja um einen Bruch und man weiß ja, dass man nicht durch 0 teilen darf. Somit dürfte ist die Funktion für alle [mm] $x\not=\pm1$
[/mm]
Allerdings kann es doch nicht sein, dass damit die Aufgabe gelöst ist.
Ich gehe davon aus, dass mit Definitionsbereich im Bezug auf dieser Aufgabe etwas anderes gemeint ist.
Kann es sein, dass man in dieser Aufgabe den Bereich bestimmen soll, in der die Potenzreihe konvergent ist? Und genau diesen Bereich nennt man dann auch Definitionsbereich?
Oder was genau ist gemeint?
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Hallo bOernY,
> Für welche [mm]x\in\IR\[/mm] ist die Funktion
> [mm]f(x)=\summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{2x}{1-x^2})^n[/mm] definiert?
> Ich sehe hier in meinen Unterlagen ganz viele solcher
> Aufgaben, allerdings habe ich ein paar
> Verständnixprobleme.
>
> Für mich bedeutet das Wort "Definitionsbereich" der
> Bereich für welche [mm]x[/mm] die Funktion definiert ist. Es
> handelt sich hier in diesem Beispiel ja um einen Bruch und
> man weiß ja, dass man nicht durch 0 teilen darf. Somit
> dürfte ist die Funktion für alle [mm]x\not=\pm1[/mm]
>
> Allerdings kann es doch nicht sein, dass damit die Aufgabe
> gelöst ist.
>
> Ich gehe davon aus, dass mit Definitionsbereich im Bezug
> auf dieser Aufgabe etwas anderes gemeint ist.
> Kann es sein, dass man in dieser Aufgabe den Bereich
> bestimmen soll, in der die Potenzreihe konvergent ist? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Und
> genau diesen Bereich nennt man dann auch
> Definitionsbereich?
>
> Oder was genau ist gemeint?
Ja, oben steht ja eine geometrische Reihe [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}q^n[/mm] mit [mm]q=\frac{2x}{1-x^2}[/mm]
Und die konvergiert nur für [mm]|q|<1[/mm] gegen [mm]\frac{1}{1-q}[/mm]
Für [mm]|q|\ge 1[/mm] divergiert sie.
Für diejenigen x, für die die Reihe eine Funktion darstellen soll, muss also [mm]\left|\frac{2x}{1-x^2}\right|<1[/mm] gelten ...
Und natürlich sollte [mm]\frac{2x}{1-x^2}[/mm] auch definiert sein.
Gruß
schachuzipus
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