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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:03 Sa 27.11.2010 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | 3.1.
a) Durch die Vorschrift [mm] f(x):=(arctan(x)+\frac{\pi}{2})^{2} [/mm] für $x [mm] \in \IR$ [/mm] wird eine Funktion auf [mm] $\IR$ [/mm] definiert. Es soll der Wertebereich W und der Definitionsbereich D angegeben werden. Es soll ausserdem die dazugehörige Umkehrfunktion $g:W [mm] \rightarrow \IR_{>-1}$ [/mm] bestimmt werden.
b) Sei jetzt f(x):= [mm] ln(\sqrt{x+1}) [/mm] für x>-1 . Was sind Diesmal Werte- und Definitionsbereich und die dazugehörige Umkehrfunktion [mm] $g:W\rightarrow \IR$
[/mm]
c) Die Funktionen [mm] $cosh:\IR \rightarrow [/mm] $ und [mm] $sinh:\IR \rightarrow \IR$ [/mm] sind folgendermassen definiert:
[mm] $cosh(x):=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}, sinh(x):=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$ [/mm] für [mm] $x\in \IR$
[/mm]
i) Die Funktionen sollen gezeichnet werden. Es sollen die Werte- und Definitionsbereiche bestimmt und die dazugehörigen Umkehrfunktionen bestimmt werden.
ii) Es soll nachgerechnet werden, dass für alle [mm] $x\in \IR$ [/mm] gilt:
[mm] $e^{x}=cosh(x)+sinh(x)$, [/mm] und [mm] $cos^{2}(x)-sinh^{2}(x)=1$ [/mm] |
Hallo,
a) bei [mm] f(x):=(arctan(x)+\frac{\pi}{2})^{2} [/mm]
[mm] D=[-\infty,+\infty]
[/mm]
[mm] W=[0,\pi^{2}]
[/mm]
Umkehrfunktion: [mm] $f(x):=tan(\sqrt{x}+\frac{pi}{2})$
[/mm]
[mm] D=[0,\pi^{2}]
[/mm]
[mm] W=[-\infty,+\infty]
[/mm]
b) [mm] f(x)=\frac{1}{2}ln(x+1)
[/mm]
[mm] D=\IR+
[/mm]
[mm] W=\IR
[/mm]
Umkehrfunktion ist: [mm] f(x)=e^{2x}-1
[/mm]
[mm] D=\IR
[/mm]
[mm] W=\IR+
[/mm]
c) cosh(x): [mm] D=\IR, W=\IR_{+}\{0\}
[/mm]
Umkehrfunktion:
[mm] $2y=e^{x}+e^{-x}$ [/mm]
[mm] 2y-e^{x}-e^{-x}=0 \Rightarrow 2ye^{x}-e^{2x}-1=0 [/mm] dann kann ich die Lösung der quadratischen Gleichung logarithmieren aber ich bekomme ja sowieso 2 Lösungen... also ist das ein falscher Ansatz!
Was wäre denn der richtige Weg?
[mm] sinh(x):D=\IR W=\IR
[/mm]
Umkehrfunktion: analog zu cosh
ii) einsetzen:
[mm] $e^{x}=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}+\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$ [/mm]
[mm] $1=(\frac{(e^{x}+e^{-x})}{2})^{2}-(\frac{e^{x}-e^{-x}}{2})^{2}=(\frac{e^{2x}}{4}+\frac{1}{2}+\frac{e^{-2x}}{4})-(\frac{e^{2x}}{4}-\frac{1}{2}+\frac{e^{-2x}}{4})=1$
[/mm]
Ist das so richtig aufgeschrieben?
Ich habe diese Fragen in keinem anderen Forum gestellt und danke für jeden Hinweis.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:43 So 28.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
> 3.1.
>
> a) Durch die Vorschrift [mm]f(x):=(arctan(x)+\frac{\pi}{2})^{2}[/mm]
> für [mm]x \in \IR[/mm] wird eine Funktion auf [mm]\IR[/mm] definiert. Es
> soll der Wertebereich W und der Definitionsbereich D
> angegeben werden. Es soll ausserdem die dazugehörige
> Umkehrfunktion [mm]g:W \rightarrow \IR_{>-1}[/mm] bestimmt werden.
>
> b) Sei jetzt f(x):= [mm]ln(\sqrt{x+1})[/mm] für x>-1 . Was sind
> Diesmal Werte- und Definitionsbereich und die dazugehörige
> Umkehrfunktion [mm]g:W\rightarrow \IR[/mm]
>
> c) Die Funktionen [mm]cosh:\IR \rightarrow[/mm] und [mm]sinh:\IR \rightarrow \IR[/mm]
> sind folgendermassen definiert:
>
> [mm]cosh(x):=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}, sinh(x):=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}[/mm]
> für [mm]x\in \IR[/mm]
>
> i) Die Funktionen sollen gezeichnet werden. Es sollen die
> Werte- und Definitionsbereiche bestimmt und die
> dazugehörigen Umkehrfunktionen bestimmt werden.
>
> ii) Es soll nachgerechnet werden, dass für alle [mm]x\in \IR[/mm]
> gilt:
> [mm]e^{x}=cosh(x)+sinh(x)[/mm], und [mm]cos^{2}(x)-sinh^{2}(x)=1[/mm]
>
> Hallo,
>
> a) bei [mm]f(x):=(arctan(x)+\frac{\pi}{2})^{2}[/mm]
>
> [mm]D=[-\infty,+\infty][/mm]
> [mm]W=[0,\pi^{2}][/mm]
ok.
>
> Umkehrfunktion: [mm]f(x):=tan(\sqrt{x}+\frac{pi}{2})[/mm]
Eigentlich [mm] -\bruch{\pi}{2} [/mm] , läuft aber auf das gleiche hinaus.
>
> [mm]D=[0,\pi^{2}][/mm]
> [mm]W=[-\infty,+\infty][/mm]
>
ok.
>
> b) [mm]f(x)=\frac{1}{2}ln(x+1)[/mm]
>
> [mm]D=\IR+[/mm]
> [mm]W=\IR[/mm]
>
Nein D ist doch oben angegeben : x > -1.
> Umkehrfunktion ist: [mm]f(x)=e^{2x}-1[/mm]
ok.
>
> [mm]D=\IR[/mm]
> [mm]W=\IR+[/mm]
W : s.o.
>
>
>
> c) cosh(x): [mm]D=\IR, W=\IR_{+}\{0\}[/mm]
W ist falsch : y [mm] \ge [/mm] 1
>
> Umkehrfunktion:
>
> [mm]2y=e^{x}+e^{-x}[/mm]
> [mm]2y-e^{x}-e^{-x}=0 \Rightarrow 2ye^{x}-e^{2x}-1=0[/mm] dann kann
> ich die Lösung der quadratischen Gleichung logarithmieren
> aber ich bekomme ja sowieso 2 Lösungen... also ist das ein
> falscher Ansatz!
was heißt "sowieso" ?
f ist nicht injektiv. Deshalb ist die Umkehrung [mm] f^{-1} [/mm] keine Funktion. Das ist wie bei [mm] y=x^2. [/mm] Für x>0 ist [mm] x=\wurzel{y}, [/mm] für x<0 ist [mm] x=-\wurzel{y}.
[/mm]
>
> Was wäre denn der richtige Weg?
Der Weg ist völlig richtig.
>
>
>
> [mm]sinh(x):D=\IR W=\IR[/mm]
>
ok.
> Umkehrfunktion: analog zu cosh
sinh ist injektiv !
>
> ii) einsetzen:
>
>
> [mm]e^{x}=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}+\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}[/mm]
>
Besser die beiden Gleichungsseiten vertauschen.
>
> [mm]1=(\frac{(e^{x}+e^{-x})}{2})^{2}-(\frac{e^{x}-e^{-x}}{2})^{2}=(\frac{e^{2x}}{4}+\frac{1}{2}+\frac{e^{-2x}}{4})-(\frac{e^{2x}}{4}-\frac{1}{2}+\frac{e^{-2x}}{4})=1[/mm]
>
Besser die 1 = am Anfang weglassen.
>
Gruß Sax.
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>Nein D ist doch oben angegeben : x > -1.
> W ist falsch : y
Bezeichnet [mm] $R_{+}\{0\}$ [/mm] nicht alle reellen Zahlen ausgenommen der 0 also alle [mm] \ge [/mm] 1?
> Der Weg ist völlig richtig.
Spricht man hier vom Umkehrbild??
Also erhalte ich für [mm] $cosh(x)^{-1}: ln(y+\sqrt{y^{2}-1})$
[/mm]
und für den [mm] sinh(x)^{-1}: $ln(y-\sqrt{y^{2}+1})$
[/mm]
Beim ersten bin ich mir relativ sicher beim zweiten aber nicht wirklich weils da ja auch negativ werden kann...??
> Besser die beiden Gleichungsseiten vertauschen.
> Besser die 1 = am Anfang weglassen.
Super! Dankeschön!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:26 Di 30.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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