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| Aufgabe | Sei
[mm] \Delta [/mm] : [mm] \IR^\IN \to \IR^\IN: [/mm] f [mm] \to \Delta(f)
[/mm]
definiert [mm] \Delta(f)(n)= [/mm] f(n+1)- f(n) und sei wieder 0 [mm] \in \IR^\IN [/mm] die konstante Nullfolge.
Bestimme die Faser von [mm] \Delta^2 [/mm] = [mm] \Delta \circ \Delta [/mm] über 0, und beweise die Behauptung durch Induktion. |
Hallo,
Also ich verstehe nicht so recht die Aufgabenstellung und was dieses [mm] \Delta [/mm] sein soll. Klar weiß ich wie man eine Faser bestimmt und auch die vollständioge Induktion beherrsche ich aber ich weiß nicht so recht wie ich hier ansetzen soll und welche Behauptung ich beweisen soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:43 Di 08.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei
> [mm]\Delta[/mm] : [mm]\IR^\IN \to \IR^\IN:[/mm] f [mm]\to \Delta(f)[/mm]
> definiert
> [mm]\Delta(f)(n)=[/mm] f(n+1)- f(n) und sei wieder 0 [mm]\in \IR^\IN[/mm] die
> konstante Nullfolge.
> Bestimme die Faser von [mm]\Delta^2[/mm] = [mm]\Delta \circ \Delta[/mm]
> über 0, und beweise die Behauptung durch Induktion.
> Hallo,
>
> Also ich verstehe nicht so recht die Aufgabenstellung und
> was dieses [mm]\Delta[/mm] sein soll.
[mm] \Delta [/mm] bastelt aus der Folge (f(n)) eine neue Folge, nämlich die Folge
(f(n+1)-f(n)),
also: [mm] (\Delta(f)(n))= [/mm] (f(n+1)- f(n))
FRED
> Klar weiß ich wie man eine
> Faser bestimmt und auch die vollständioge Induktion
> beherrsche ich aber ich weiß nicht so recht wie ich hier
> ansetzen soll und welche Behauptung ich beweisen soll.
>
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d.h. ich hab jetzt die Funktion [mm] \Delta: \IR^\IN \to \IR^\IN [/mm] : f [mm] \mapsto [/mm] f(f(n+1)-f(n))
wovon ich jetzt die Faser über 0 bestimmen soll.
Also bestimmen soll bei welchem n die Funktionswerte 0 sind?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:05 Di 08.11.2011 | | Autor: | hippias |
Nein, der Delta-Operator macht aus einer Folge eine neue Folge (wie oben beschrieben naemlich die Folge der Differenzen aufeinanderfolgender Folgeglieder - kannst Du mir folgen? )Jedenfalls muesste man jetzt untersuchen, unter welchen Bedingungen fuer die urspruengliche Folge $f$ die neue Folge [mm] $\Delta(f)$ [/mm] die Nullfolge ist, also alle neuen Folgeglieder $=0$ sind.
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Ok also der [mm] \Delta [/mm] -OPerator erstellt eine neues Folge, die aus der Differenz der aufeinanderfolgenden Folgeglieder besteht. (nur nochmal ob ich das richtig verstanden hab :) )
Und jetzt muss ich gucken wann [mm] \Delta [/mm] f eine Nullfolge ist. Also was bei dem ürsprünglichen f passieren muss, damit alle Werte von [mm] \Delta [/mm] f bzw die Differenz der aufeinanderfolgenden Folgeglieder immer 0 ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:29 Di 08.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Ja, stelle fest, wann gilt:
(*) f(n+1)- f(n)=0 für jedes n.
Für welche Folgen f gilt (*) ?
FRED
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ja das gilt doch wenn f(n) = f(n+1).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:42 Di 08.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> ja das gilt doch wenn f(n) = f(n+1).
Ja, und was bedeutet das für die Folge f ?
Sie ist .......
FRED
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parallel zur x-Achse ....
und welche Aussage soll ich da jetzt durch induktion beweisen ????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:50 Di 08.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> parallel zur x-Achse ....
Na ja. Die Folge f ist konstant !!!
>
> und welche Aussage soll ich da jetzt durch induktion
> beweisen ????
Diese vielleicht: f(n) =f(1) für jedes n [mm] \in \IN.
[/mm]
Aber gings den nicht um [mm] \Delta^2 [/mm] ?
FRED
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doch eig war die Frage wann [mm] \Delta [/mm] ^2 = [mm] \Delta \circ \Delta [/mm] eine Nullfolge ist.
Das wäre ja dann wenn [mm] \Delta [/mm] f [mm] \circ \Delta [/mm] f = 0
[mm] \gdw [/mm] f(f(n+1)-f(n)) [mm] \circ [/mm] f(f(n+1)-f(n)) = 0
also f(f(n+1)-f(n)+1)-f(f(n+1)-f(n)) = 0
und das ist 0 wenn f(f(n+1)-F(n)+1) = f(f(n+1)-f(n))
und das ist doch auch nur gleich wenn f konstant ist
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:17 Di 08.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> doch eig war die Frage wann [mm]\Delta[/mm] ^2 = [mm]\Delta \circ \Delta[/mm]
> eine Nullfolge ist.
> Das wäre ja dann wenn [mm]\Delta[/mm] f [mm]\circ \Delta[/mm] f = 0
> [mm]\gdw[/mm] f(f(n+1)-f(n)) [mm]\circ[/mm] f(f(n+1)-f(n)) = 0
> also f(f(n+1)-f(n)+1)-f(f(n+1)-f(n)) = 0
> und das ist 0 wenn f(f(n+1)-F(n)+1) = f(f(n+1)-f(n))
> und das ist doch auch nur gleich wenn f konstant ist
Was Du da gerechnet hast ist mir schleierhaft.
Setze g(n):= [mm] \Delta(f)(n), [/mm] also g(n)=f(n+1)-f(n)
Dann ist [mm] \Delta^2(f)(n)=\Delta(g)(n)=g(n+1)-g(n).
[/mm]
Das rechne mal gaaaaaaanz langsam ung behutsam aus.
Zur Kontrolle:
[mm] \Delta^2(f)(n)= [/mm] f(n+2)-2f(n+1)+f(n)
FRED
>
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ja ok bin drauf gekommen
[mm] \Delta [/mm] (g)(n) = g(n+1)-g(n)
[f(n+1)-f(n)](n+1) - [f(n+1)-f(n)](n)
....
dann auflösen :)
f(n+2)-2f(n+1)+f(n)=0 [mm] \gdw [/mm] f(n+2)+f(n) = 2F(n+1) [mm] \gdw [/mm] f(n)=2f(n+1)-f(n+1)
und was zeige ich davon am besten durch Induktion???
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hab es schon geschafft :) vielen dank für die Hilfe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:23 Do 10.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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bzw wann [mm] \Delta [/mm] ^2 = [mm] \Delta \circ \Delta [/mm] eine Nullfolge ist
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