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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die folgenden Funktionenfolgen Darstellungen der Delta Distribution sind:
1. [mm] \delta(x)=\bruch{n}{\wurzel{2\pi}}*exp(-\bruch{x^2n^2}{2})
[/mm]
2. [mm] \delta(x)=\bruch{1}{\pi}\bruch{n}{n^2x^2+1}
[/mm]
3. [mm] \delta(x)=\bruch{1}{\pi}\bruch{sin(nx)}{x}
[/mm]
Verifizieren Sie also in allen Drei Fällen dass
[mm] \limes_{n \to \infty} \int_{-A}^{A}f(x)\delta(x),dx=f(0)
[/mm]
für beliebige unendlich oft stetig differenzierbare Funktion f(x).
Hinweis: Verwenden Sie jeweils die Variablentransformation y=nx die Ihnen erlaubt f(x) in eine Taylor Reihe zu entwickeln. |
Hallo,
ich habe leider überhaupt keine Idee wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen soll. Der Hinweis mit der Taylor Reihe bringt mich auch nicht weiter, denn ich brauche ja erst eine Funktion f(x) aus der ich eine Taylor Reihe machen kann.
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:13 So 13.05.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Zeigen Sie, dass die folgenden Funktionenfolgen
> Darstellungen der Delta Distribution sind:
> 1.
> [mm]\delta(x)=\bruch{n}{\wurzel{2\pi}}*exp(-\bruch{x^2n^2}{2})[/mm]
>
> 2. [mm]\delta(x)=\bruch{1}{\pi}\bruch{n}{n^2x^2+1}[/mm]
>
> 3. [mm]\delta(x)=\bruch{1}{\pi}\bruch{sin(nx)}{x}[/mm]
>
> Verifizieren Sie also in allen Drei Fällen dass
>
> [mm]\limes_{n \to \infty} \int_{-A}^{A}f(x)\delta(x),dx=f(0)[/mm]
>
> für beliebige unendlich oft stetig differenzierbare
> Funktion f(x).
>
> Hinweis: Verwenden Sie jeweils die Variablentransformation
> y=nx die Ihnen erlaubt f(x) in eine Taylor Reihe zu
> entwickeln.
> Hallo,
>
> ich habe leider überhaupt keine Idee wie ich bei dieser
> Aufgabe vorgehen soll. Der Hinweis mit der Taylor Reihe
> bringt mich auch nicht weiter, denn ich brauche ja erst
> eine Funktion f(x) aus der ich eine Taylor Reihe machen
jede Funktion f, die unendlich oft diffbar ist, kann ich eine Taylor-Reihe entwickelt werden. Also nimm einfach:
[mm] $f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n$
[/mm]
Ansonsten tu einfach das was da als Hinweis steht. Führe die Substitution durch und setze für f die Taylorreihe ein. Danach integriere und bilde den Grenzwert.
> kann.
>
> Gruß
Gruß,
notinX
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Oje,
wie integriert man über Summen? Ich schau mal nach was mir google dazu sagt.
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:11 Mo 14.05.2012 | | Autor: | notinX |
> Oje,
> wie integriert man über Summen? Ich schau mal nach was
> mir google dazu sagt.
> Danke
Kannst Du das integrieren?
[mm] $\int\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n \,\mathrm{d}x=\int\left(f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2+\ldots\right)\,\mathrm{d}x=?$
[/mm]
Gruß,
notinX
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Na, die Reihe ist doch unendlich oder? Kann ich das Integral und Summe vertauschen? Und ich müsste da ja noch meine delta distribution mit einsetzen, oje
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 Mo 14.05.2012 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Na, die Reihe ist doch unendlich oder? Kann ich das Integral und Summe vertauschen?
Das ist eine exzellente Frage. Da Du Physik-Bachelor bist lautet die Antwort drauf aber ganz einfach: ja.
Sonst auch, weil wir stetige Fkt auf einem Kompaktum integrieren.
> Und ich müsste da ja noch meine delta distribution mit einsetzen, oje
Das Leben ist hart und ungerecht. =P
Dafür brauchst Du nur die ersten beiden Summenglieder. Ab dem dritten kannst Du durch eine Konstante (konstant in y, nicht n) der Ordnung [mm] $O\left(\frac 1n^2\right)$ [/mm] abschätzen. Und beim zweiten fällt auch noch was auf...
ciao
Stefan
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