Delta alternierend < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Entscheiden sie, ob die folgenden aussagen jeweils wahr sind und diese Implikation [mm] (\Delta [/mm] alternierend [mm] \Rightarrow \Delta_f [/mm] alternierend) beweisen.
a) Ist [mm] a_i=a_j, [/mm] dann auch [mm] f(a_i)=f(a_j)
[/mm]
b)ist [mm] f(a_i)=f(a_j) [/mm] für i<j, dann auch [mm] a_i=a_j
[/mm]
c) wenn [mm] a_1,...,a_n [/mm] linear unabhängig sind, dann sind es auch [mm] f(a_1),...,f(a_n)
[/mm]
d)wenn [mm] f(a_1),...,f(a_n) [/mm] linear abhängig sind, dann sind es auch [mm] a_1,...,a_n [/mm] |
Hallo,
also ich muss ja sagen, ob die aussagen richtig sind UND ob dadurch die implikaion bewiesen ist. Erstmal zu den aussagen; meine Ideen:
a) wahr (ist eine def aus dem skript)
b) wahr?? ( hier bin ich mir leider nicht sicher.. ich habe keine def gefunden, ob das auch für die rückrichtung geht, aber ich denke schon)
c) wahr (hatten wir in der Vorlesung/Skript)
d) wahr (hier müsste das tatsächlich für beide richtungen gehen..also wahr, würde ich sagen)
stimmt das?
zur implikation:
die impliaktion hatten wir so bewiesen, dass wir gesagt haben, dass [mm] \Delta [/mm] multilinear ist und f linear ist . Aus linear abhängigen [mm] a_1,...,a_n [/mm] folgten linear abhängige [mm] f(a_1),...,f(a_n). [/mm] Daraus folgte [mm] \Delta_f (a_1,...,a_n)=0. [/mm] Und somit war [mm] \Delta_f [/mm] eine Determinantenfunktion.
Es ging also die eigenschaft multilinear (und alternierend) auf [mm] \Delta_f [/mm] über.
aber jede einzele der Ausagen (a,b,c,d) kann doch nicht die gesamte inplikation abdecken, oder?? Das sind doch nur teile der Implikation/des Beweises...
Kann mir jemand helfen?? Ich komme da einfach nicht weiter...
Vielen Dank schon mal
Liebe Grüße
pythagora
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> Entscheiden sie, ob die folgenden aussagen jeweils wahr
> sind und diese Implikation [mm](\Delta[/mm] alternierend [mm]\Rightarrow \Delta_f[/mm]
> alternierend) beweisen.
> a) Ist [mm]a_i=a_j,[/mm] dann auch [mm]f(a_i)=f(a_j)[/mm]
> b)ist [mm]f(a_i)=f(a_j)[/mm] für i<j, dann auch [mm]a_i=a_j[/mm]
> c) wenn [mm]a_1,...,a_n[/mm] linear unabhängig sind, dann sind es
> auch [mm]f(a_1),...,f(a_n)[/mm]
> d)wenn [mm]f(a_1),...,f(a_n)[/mm] linear abhängig sind, dann sind
> es auch [mm]a_1,...,a_n[/mm]
> Hallo,
> also ich muss ja sagen, ob die aussagen richtig sind UND
> ob dadurch die implikaion bewiesen ist. Erstmal zu den
> aussagen; meine Ideen:
Hallo,
> a) wahr (ist eine def aus dem skript)
Daß das eine "Def." aus Deinem Skript ist, wage ich zu bezweifeln - aber an der Gültigkeit der Aussage würde kein normaler Mensch zweifeln, wobei man sich schonmal überlegen kann, weshalb.
> b) wahr?? ( hier bin ich mir leider nicht sicher.. ich
> habe keine def gefunden, ob das auch für die rückrichtung
> geht, aber ich denke schon)
Du mußt Deinen Verstand einschalten. Da steht: immer, wenn die Funktionswerte gleich sind, sind auch die Argumente gleich.
> c) wahr (hatten wir in der Vorlesung/Skript)
Kannst Du den Satz mal genau zitieren?
> d) wahr (hier müsste das tatsächlich für beide
> richtungen gehen..also wahr, würde ich sagen)
> stimmt das?
Hast Du versucht, den Beweis dafür zu führen? So beantworten sich solche Fragen am besten.
>
> zur implikation:
> die impliaktion
Welche denn?
Wie hieß der Satz genau, den Ihr bewiesen hattet?
Und wie ist alternierend bei Euch definiert?
Gruß v. Angela
> hatten wir so bewiesen, dass wir gesagt
> haben, dass [mm]\Delta[/mm] multilinear ist und f linear ist . Aus
> linear abhängigen [mm]a_1,...,a_n[/mm] folgten linear abhängige
> [mm]f(a_1),...,f(a_n).[/mm] Daraus folgte [mm]\Delta_f (a_1,...,a_n)=0.[/mm]
> Und somit war [mm]\Delta_f[/mm] eine
alternierende
> Determinantenfunktion.
> Es ging also die eigenschaft multilinear (und
> alternierend) auf [mm]\Delta_f[/mm] über.
> aber jede einzele der Ausagen (a,b,c,d) kann doch nicht die
> gesamte inplikation abdecken, oder?? Das sind doch nur
> teile der Implikation/des Beweises...
>
> Kann mir jemand helfen?? Ich komme da einfach nicht
> weiter...
>
> Vielen Dank schon mal
> Liebe Grüße
> pythagora
>
>
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Moin,
> > b) wahr?? ( hier bin ich mir leider nicht sicher.. ich
> > habe keine def gefunden, ob das auch für die rückrichtung
> > geht, aber ich denke schon)
>
> Du mußt Deinen Verstand einschalten. Da steht: immer, wenn
> die Funktionswerte gleich sind, sind auch die Argumente
grrr. murks, war gestern einfach zu spät... natrürlich kann eine funktion zwei verschiedene x- Werte haben, aber den gleichen y-Wert (so wie bei ner parabel), jo?
> > c) wahr (hatten wir in der Vorlesung/Skript)
>
> Kannst Du den Satz mal genau zitieren?
Sind weiter [mm] a_1,...,a_n [/mm] l.a., so gilt gleiches auch für [mm] f(a_1,...,f(a_n)
[/mm]
> > d) wahr (hier müsste das tatsächlich für beide
> > richtungen gehen..also wahr, würde ich sagen)
> > stimmt das?
>
> Hast Du versucht, den Beweis dafür zu führen? So
> beantworten sich solche Fragen am besten.
Ja "versucht", aber wie fange ich das an??komme damit irgendwie nicht weiter (aber würde es gerne wissen/lernen)
> >
> > zur implikation:
> > die impliaktion
>
> Welche denn?
die oben in Klammern ($ [mm] (\Delta [/mm] $ alternierend $ [mm] \Rightarrow \Delta_f [/mm] $
> alternierend)
> Wie hieß der Satz genau, den Ihr bewiesen hattet?
Da:
> > hatten wir so bewiesen, dass wir gesagt
> > haben, dass [mm]\Delta[/mm] multilinear ist und f linear ist . Aus
> > linear abhängigen [mm]a_1,...,a_n[/mm] folgten linear abhängige
> > [mm]f(a_1),...,f(a_n).[/mm] Daraus folgte [mm]\Delta_f (a_1,...,a_n)=0.[/mm]
> > Und somit war [mm]\Delta_f[/mm] eine
> alternierende
> > Determinantenfunktion.
> > Es ging also die eigenschaft multilinear (und
> > alternierend) auf [mm]\Delta_f[/mm] über.
> > aber jede einzele der Ausagen (a,b,c,d) kann doch nicht die
Liebe Grüße und vielen Dank
pythagora
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> Moin,
>
> > > b) wahr?? ( hier bin ich mir leider nicht sicher.. ich
> > > habe keine def gefunden, ob das auch für die rückrichtung
> > > geht, aber ich denke schon)
> >
> > Du mußt Deinen Verstand einschalten. Da steht: immer, wenn
> > die Funktionswerte gleich sind, sind auch die Argumente
> grrr. murks, war gestern einfach zu spät... natrürlich
> kann eine funktion zwei verschiedene x- Werte haben, aber
> den gleichen y-Wert (so wie bei ner parabel), jo?
> > > c) wahr (hatten wir in der Vorlesung/Skript)
> >
> > Kannst Du den Satz mal genau zitieren?
> Sind weiter [mm]a_1,...,a_n[/mm] l.a., so gilt gleiches auch für
> [mm]f(a_1,...,f(a_n)[/mm]
Aha.
Dacht' ich's mir doch...
Und? Ist Aussage c) das, was in Deinem Skript steht?
> > > d) wahr (hier müsste das tatsächlich für beide
> > > richtungen gehen..also wahr, würde ich sagen)
> > > stimmt das?
> >
> > Hast Du versucht, den Beweis dafür zu führen? So
> > beantworten sich solche Fragen am besten.
> Ja "versucht", aber wie fange ich das an??
Gut. Wenn Du es versucht hast, dann hast Du ja einen eigenen Anfang.
Wie weit kommst Du, wo kommst Du nicht weiter?
Daß man nicht weiterkommt, kann ja verschiedene Ursachen haben:
1. man sieht den Weg nicht
2. es gibt keinen Weg.
> komme damit
> irgendwie nicht weiter (aber würde es gerne
> wissen/lernen)
> > >
> > > zur implikation:
> > > die impliaktion
Die Definition von alternierend ist klar?
Zu den Implikationen: wir beschränken uns jetzt mal auf die Aussage a), die wir bisher als einzige als sicher wahr indentifiziert hatten.
Jetzt fang doch mal an mit dem Beweis:
Behauptung: f linear, [mm] \Delta [/mm] alternierend ==> [mm] \Delta_f [/mm] alternierend.
Zu zeigen: was mußt Du zeigen, wenn Du [mm] "\Delta_f [/mm] alternierend" beweisen möchtest? (Die Def. sagt es Dir).
Beweis: sei f linear, [mm] \Delta [/mm] alternierend .
Für ... gilt [mm] \delta_f( [/mm] ...) = ... = ??? denn ???.
Das mal so als Rohling.
Grundsätzlich zu den MC Aufgaben:
die sind bei Euch ja so organisiert, daß man eben kein Ratespiel daraus machen soll, und Du merkst sicher, daß ich mich in voller Absicht um ein schnelles wahr oder falsch herumdrücke.
Wenn sich die Antworten nicht direkt aus einschlägigen Sätzen oder Defs ergeben, muß man sich alles schön zurechtbeweisen oder widerlegen - auch wenn die Chefs nur die Antwort zu sehen bekommen. Sonst ist die ganz Beschäftigung damit sinnlos.
Gruß v. Angela
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Hi,
> > Sind weiter [mm]a_1,...,a_n[/mm] l.a., so gilt gleiches auch
> für
> > [mm]f(a_1,...,f(a_n)[/mm]
>
> Aha.
> Dacht' ich's mir doch...
> Und? Ist Aussage c) das, was in Deinem Skript steht?
*hust* das lag am licht, konnte ich einfach nicht sehen gestern...^^
ok, also habe ich keine def dazu und somit wäre das einfach so "falsch"?? komme ich da irgendwie sonst hinter??
>
> Die Definition von alternierend ist klar?
l.a. oder gleich Null, ahabe ich stehen...
> Zu den Implikationen: wir beschränken uns jetzt mal auf
> die Aussage a), die wir bisher als einzige als sicher wahr
> indentifiziert hatten.
>
> Jetzt fang doch mal an mit dem Beweis:
>
> Behauptung: f linear, [mm]\Delta[/mm] alternierend ==> [mm]\Delta_f[/mm]
> alternierend.
>
> Zu zeigen: was mußt Du zeigen, wenn Du [mm]"\Delta_f[/mm]
> alternierend" beweisen möchtest? (Die Def. sagt es Dir).
hu? wie? def von alternierend??? dass das =0 ist?? meinst du das???
> Beweis: sei f linear, [mm]\Delta[/mm] alternierend .
>
> Für ... gilt [mm] \delta_f( [/mm] ...) = ... = ??? denn ???.
wieso [mm] \delta?? [/mm] meinst du [mm] \Delta???
[/mm]
Für [mm] (a_1,...,a_n) [/mm] gilt [mm] \Delta_f( [/mm] ...) = ... = ??? denn ???.
öhm.. komme da nicht weiter :(
> Das mal so als Rohling.
>
>
> Grundsätzlich zu den MC Aufgaben:
>
> die sind bei Euch ja so organisiert, daß man eben kein
> Ratespiel daraus machen soll, und Du merkst sicher, daß
> ich mich in voller Absicht um ein schnelles wahr oder
> falsch herumdrücke.
Das ist auch gut so. Denn wenn es mir um die Punkte gehen würde, würde ich einfach alles hier reinstellen, sobald ich den zettel bekommen habe. Aber meist arbeite ich zuerst viel am skript mache mir gedanken zu den aufgaben und frage dann nur die bei denen ich keine idee habe oder mir nicht sicher bin...Ich würde das sehr gerne lernen mit dem Beweis.. kannst du mir damit noch ein bisschen helfen??
danke.
Liebe Grüße
pythagora
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> > Und? Ist Aussage c) das, was in Deinem Skript steht?
> *hust* das lag am licht, konnte ich einfach nicht sehen
> gestern...^^
> ok, also habe ich keine def dazu und somit wäre das
> einfach so "falsch"?? komme ich da irgendwie sonst hinter??
Hallo,
natürlich.
Der Trick heißt hier: Hirn anknipsen...
Die zu bewertende Aussage war:
"c) wenn $ [mm] a_1,...,a_n [/mm] $ linear unabhängig sind, dann sind es auch $ [mm] f(a_1),...,f(a_n) [/mm] .$"
Du kannst sie Dir ja erstaml vereinfachen, indem Du die Frage für [mm] a_1, a_2 [/mm] beantwortest.
>
> >
> > Die Definition von alternierend ist klar?
> l.a. oder gleich Null, ahabe ich stehen...
Mein lieber Schwan!
Du mußt Definitionen schon genau wiedergeben.
" linear abhängig oder =0", das zieht einem echt die Schuhe aus.
(Warum ist es so schwer, eine Definition abzuschreiben?)
> > Zu den Implikationen: wir beschränken uns jetzt mal auf
> > die Aussage a), die wir bisher als einzige als sicher wahr
> > indentifiziert hatten.
> >
> > Jetzt fang doch mal an mit dem Beweis:
> >
> > Behauptung: f linear, [mm]\Delta[/mm] alternierend ==> [mm]\Delta_f[/mm]
> > alternierend.
> >
> > Zu zeigen: was mußt Du zeigen, wenn Du [mm]"\Delta_f[/mm]
> > alternierend" beweisen möchtest? (Die Def. sagt es Dir).
> hu? wie? def von alternierend??? dass das =0 ist?? meinst
> du das???
> > Beweis: sei f linear, [mm]\Delta[/mm] alternierend .
> >
> > Für ... gilt [mm]\delta_f([/mm] ...) = ... = ??? denn ???.
> wieso [mm]\delta??[/mm] meinst du [mm]\Delta???[/mm]
Ja sicher. Ist halt ein kleines Delta geworden...
>
> Für [mm](a_1,...,a_n)[/mm] gilt [mm]\Delta_f([/mm] ...) = ... = ??? denn
> ???.
> öhm.. komme da nicht weiter :(
Natürlich kommst Du nicht weiter.
Solange wir nicht eine vernünftige Definition von "alternierend " vorliegen haben, brauchen wir gar nicht zu beginnen.
Gruß v. Angela
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Moin,
hab nochmal am skript gearbeitet...
Mal schauen, was daraus wird..
> Die zu bewertende Aussage war:
>
> "c) wenn [mm]a_1,...,a_n[/mm] linear unabhängig sind, dann sind es
> auch [mm]f(a_1),...,f(a_n) .[/mm]"
>
> Du kannst sie Dir ja erstaml vereinfachen, indem Du die
> Frage für [mm]a_1, a_2[/mm] beantwortest.
so:(???)
wenn [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] l.u. sind, gilt [mm] \alpha_1*a_1+\alpha_2*a_2=0 [/mm] (hierbei müssen die einzelnen koeffizienten dann =0 sein, sonst ist es linear abhängig)
[mm] \gdw f(\alpha_1*a_1+\alpha_2*a_2=0)
[/mm]
[mm] \gdw f(\alpha_1*a_1+\alpha_2*a_2)=f(0)
[/mm]
[mm] \gdw f(\alpha_1*a_1)+f(\alpha_2*a_2)=0
[/mm]
[mm] \gdw \alpha_1*f(a_1)+\alpha_2*f(a_2)=0
[/mm]
von daher wären doch auch [mm] f(a_1) [/mm] und [mm] f(a_2) [/mm] l.u., oder??
denn wenn die vektoren 0 wären, wäre es ja die Nullfunktion (weiß nicht genau wie das heißt); daher sind [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 \not= [/mm] 0 und daher auch [mm] f(a_1) [/mm] und [mm] f(a_2) \not=0. [/mm] und somit wäre die gleichung erfüllt, wenn die kóeffizienten wider =0 wären....
(aber nicht auslachen, wenn's nicht stimmt, leider haben wir solche grundlagen nicht allzu intensiv geübt :( ich versuche aber eingeständig zu erarbeiten, wozu wir keine übungen bekommen)
>
> (Warum ist es so schwer, eine Definition abzuschreiben?)
weil das skript teilweise nicht so überschaulich ist und ich mich leider mit den seiten verhäddert habe, da der prof gerne hier und da von version zu version mal was ändert, rauslässt, neu einfügt und das auch auf der ersten seite, was dann den ganzen restlichen inhalt verschiebt... sorry....(hatte da einfach nichts gefunden :(
Aber jetzt:
[mm] \Delta [/mm] heiße alternierend wenn [mm] \Delta(a_1,..,a_n) [/mm] verschwindet (=0 ist), sobald zwei Vektoren [mm] a_1,...,a_n [/mm] übereinstimmen.
In meinem schnack muss, wenn zwei vektoren übereinstimmen, die sache l.a. sein, damit es null wird (oder halt die Nullfktn sein).jo??
Def jetzt ok?? oder fehlt noch was?
LG
pythagora
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> Moin,
> hab nochmal am skript gearbeitet...
> Mal schauen, was daraus wird..
>
> > Die zu bewertende Aussage war:
> >
> > "c) wenn [mm]a_1,...,a_n[/mm] linear unabhängig sind, dann sind es
> > auch [mm]f(a_1),...,f(a_n) .[/mm]"
> >
> > Du kannst sie Dir ja erstaml vereinfachen, indem Du die
> > Frage für [mm]a_1, a_2[/mm] beantwortest.
> so:(???)
> wenn [mm]a_1[/mm] und [mm]a_2[/mm] l.u. sind, gilt
> [mm]\alpha_1*a_1+\alpha_2*a_2=0[/mm] (hierbei müssen die einzelnen
> koeffizienten dann =0 sein, sonst ist es linear abhängig)
Hallo,
irgendwie hast Du die lineare Unabhängigkeit noch nicht richtig verstanden.
Zwei Vektoren sind linear unabhängig, wenn nur die triviale Linearkombination den Nullvektor ergibt und sonst keine.
Mit weniger Worten:
[mm] a_1, a_2 [/mm] linear unabhängig
<==>
[mm] (\lambda_1a_1+\lambda_2a_2=0 [/mm] ==> [mm] 0=\lambda_1=\lambda_2).
[/mm]
> [mm]\gdw f(\alpha_1*a_1+\alpha_2*a_2=0)[/mm]
> [mm]\gdw f(\alpha_1*a_1+\alpha_2*a_2)=f(0)[/mm]
>
> [mm]\gdw f(\alpha_1*a_1)+f(\alpha_2*a_2)=0[/mm]
> [mm]\gdw \alpha_1*f(a_1)+\alpha_2*f(a_2)=0[/mm]
>
> von daher wären doch auch [mm]f(a_1)[/mm] und [mm]f(a_2)[/mm] l.u., oder??
> denn wenn die vektoren 0 wären, wäre es ja die
> Nullfunktion (weiß nicht genau wie das heißt); daher sind
> [mm]a_1[/mm] und [mm]a_2 \not=[/mm] 0 und daher auch [mm]f(a_1)[/mm] und [mm]f(a_2) \not=0.[/mm]
> und somit wäre die gleichung erfüllt, wenn die
> kóeffizienten wider =0 wären....
>
> (aber nicht auslachen, wenn's nicht stimmt, leider haben
> wir solche grundlagen nicht allzu intensiv geübt :( ich
> versuche aber eingeständig zu erarbeiten, wozu wir keine
> übungen bekommen)
Die Frage ist doch die:
wenn [mm] a_1, a_2 [/mm] linear unabhängig ist, sind dann auch [mm] f(a_1) [/mm] und [mm] f(a_2) [/mm] linear unabhängig?
Jetzt nehmen wir mal an, Du wolltest beweisen. daß auch [mm] f(a_1) [/mm] und [mm] f(a_2) [/mm] linear unabhängig sind.
Das ginge so:
seien [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] linear unabhängig,
und sei [mm] \mu_1f(a_1)+\mu_2f(a_2)=0.
[/mm]
[Um die lin.Unabh. zu zeigen, müßte man jetzt irgendwie folgern, daß die [mm] \mu_i [/mm] beide =0 sind.]
<==> ... <==> [mm] f(\mu_1a_1+\mu_2a_2)=0.
[/mm]
Hier stellt sich die Frage, ob wir die gewünschte Folgerung " ==> [mm] 0=\mu_1=\mu_2" [/mm] ziehen dürfen oder nicht.
Wenn ja: mit welcher Begründung darf man das?
Wenn nein: was hindert einen daran? Und wenn einen was hindert, kann man gleich mal gucken, ob man ein Gegenbeispiel für die Behauptung findet.
> Aber jetzt:
> [mm]\Delta[/mm] heiße alternierend wenn [mm]\Delta(a_1,..,a_n)[/mm]
> verschwindet (=0 ist), sobald zwei Vektoren [mm]a_1,...,a_n[/mm]
> übereinstimmen.
Na also, geht doch!
> In meinem schnack muss, wenn zwei vektoren
> übereinstimmen, die sache l.a. sein, damit es null wird
> (oder halt die Nullfktn sein).jo??
Hä? Worum geht's?
Richtig ist, daß obige Eigenschaft (Determinantenform wird =0, wenn zwei Vektoren gleich sind) äquivalent hierzu ist:
die Determinantenform wird =0, wenn [mm] (a_1, ...,a_n) [/mm] linear abhängig.
Das habt Ihr sicher in der Vorlesung gezeigt.
Gruß v. Angela
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hi,
> Die Frage ist doch die:
>
> wenn [mm]a_1, a_2[/mm] linear unabhängig ist, sind dann auch [mm]f(a_1)[/mm]
> und [mm]f(a_2)[/mm] linear unabhängig?
>
> Jetzt nehmen wir mal an, Du wolltest beweisen. daß auch
> [mm]f(a_1)[/mm] und [mm]f(a_2)[/mm] linear unabhängig sind.
>
> Das ginge so:
>
> seien [mm]a_1[/mm] und [mm]a_2[/mm] linear unabhängig,
>
> und sei [mm]\mu_1f(a_1)+\mu_2f(a_2)=0.[/mm]
>
> [Um die lin.Unabh. zu zeigen, müßte man jetzt irgendwie
> folgern, daß die [mm]\mu_i[/mm] beide =0 sind.]
>
> <==> ... <==> [mm]f(\mua_1+\mua_2)=0.[/mm]
>
> Hier stellt sich die Frage, ob wir die gewünschte
> Folgerung " ==> [mm]0=\mu_1=\mu_2"[/mm] ziehen dürfen oder nicht.
> Wenn ja: mit welcher Begründung darf man das?
> Wenn nein: was hindert einen daran? Und wenn einen was
> hindert, kann man gleich mal gucken, ob man ein
> Gegenbeispiel für die Behauptung findet.
und genau da ist mein gedankenknoten, glaube ich, wenn ich z.b. ein konkretes beispiel nehme:
[mm] a_1=\pmat{ 1 \\ 2 } [/mm] und [mm] a_2=\pmat{ 1 \\ 3 }
[/mm]
[mm] \mu_1*b_1+\mu_2*b_2=0
[/mm]
[mm] \gdw \mu_1+\mu_2=0 [/mm] und [mm] 2*\mu_1+3*\mu_2=0
[/mm]
[mm] \gdw \mu_1=0 [/mm] und [mm] \mu_2=0
[/mm]
also l.u.
[mm] b_1=\pmat{ 1 \\ 2 } [/mm] und [mm] b_2=\pmat{ 2 \\ 4 }
[/mm]
[mm] \mu_1*b_1+\mu_2*b_2=0
[/mm]
[mm] \gdw \mu_1+2*\mu_2=0 [/mm] und [mm] 2*\mu_1+4*\mu_2=0
[/mm]
[mm] \gdw \mu_1=-2*\mu_2
[/mm]
also l.a.
die sache mit beispielhaften rechnungen ist kein problem... mein problem ist, dass ich einfach nicht weiß, wie ich das allgemein (ohne zahlen und so) machen soll.. denn irgendwie kommt es ja nun mal auf die vektoren an, ob etwas la oder lu ist... und da ist, glaube ich, mein problem... kannst du mir da helfen??
LG und vielen Dank
pythagora
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> hi,
>
> > Die Frage ist doch die:
> >
> > wenn [mm]a_1, a_2[/mm] linear unabhängig ist, sind dann auch [mm]f(a_1)[/mm]
> > und [mm]f(a_2)[/mm] linear unabhängig?
> >
> > Jetzt nehmen wir mal an, Du wolltest beweisen. daß auch
> > [mm]f(a_1)[/mm] und [mm]f(a_2)[/mm] linear unabhängig sind.
> >
> > Das ginge so:
> >
> > seien [mm]a_1[/mm] und [mm]a_2[/mm] linear unabhängig,
> >
> > und sei [mm]\mu_1f(a_1)+\mu_2f(a_2)=0.[/mm]
> >
> > [Um die lin.Unabh. zu zeigen, müßte man jetzt irgendwie
> > folgern, daß die [mm]\mu_i[/mm] beide =0 sind.]
> >
> > <==> ... <==> [mm]f(\mu_1a_1+\mu_2a_2)=0.[/mm]
> >
> > Hier stellt sich die Frage, ob wir die gewünschte
> > Folgerung " ==> [mm]0=\mu_1=\mu_2"[/mm] ziehen dürfen oder nicht.
> und genau da ist mein gedankenknoten,
Hallo,
[mm] \mu_1a_1+\mu_2a_2 [/mm] ist ja ein Vektor, ich nenne ihn grad mal v, also [mm] v:=\mu_1a_1+\mu_2a_2.
[/mm]
Der Dreh und Angelpunkt der nun folgenden Überlegung ist, ob aus f(v)=0 folgt, daß v=0 ist.
Das solltest Du Dir gut überlegen.
Wenn die Folgerung richtig ist, dann geht es flott weiter: dann hat man [mm] \mu_1a_1+\mu_2a_2=0,
[/mm]
und wegen der vorausgesetzen linearen Abhängigkeit folgt [mm] 0=\mu_1=\mu_2.
[/mm]
Vielleicht fällt Dir aber auch eine lineare Abbildung ein, für die aus f(v)=0 nicht folgt, daß v=0.
> glaube ich, wenn ich
> z.b. ein konkretes beispiel nehme:
> [mm]a_1=\pmat{ 1 \\ 2 }[/mm] und [mm]a_2=\pmat{ 1 \\ 3 }[/mm]
>
> [mm]\mu_1*b_1+\mu_2*b_2=0[/mm]
> [mm]\gdw \mu_1+\mu_2=0[/mm] und [mm]2*\mu_1+3*\mu_2=0[/mm]
> [mm]\gdw \mu_1=0[/mm] und [mm]\mu_2=0[/mm]
> also l.u.
>
> [mm]b_1=\pmat{ 1 \\ 2 }[/mm] und [mm]b_2=\pmat{ 2 \\ 4 }[/mm]
>
> [mm]\mu_1*b_1+\mu_2*b_2=0[/mm]
> [mm]\gdw \mu_1+2*\mu_2=0[/mm] und [mm]2*\mu_1+4*\mu_2=0[/mm]
> [mm]\gdw \mu_1=-2*\mu_2[/mm]
> also l.a.
>
Deine Beispiele bearbeitest Du richtig.
Die [mm] a_i [/mm] sind linear unabhängig.
Du hast im Laufe des Studiums doch gelernt, wie lineare Abbildungen gemacht werden.
Jetzt versuch doch mal, eine zu basteln, bei der die [mm] f(a_i) [/mm] nicht linear unabhängig sind.
(Es geht. Es geht einfach.)
Gruß v. Angela
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Hallo,
danke für die erklärungen..
> [mm]\mu_1a_1+\mu_2a_2[/mm] ist ja ein Vektor, ich nenne ihn grad mal
> v, also [mm]v:=\mu_1a_1+\mu_2a_2.[/mm]
>
> Der Dreh und Angelpunkt der nun folgenden Überlegung ist,
> ob aus f(v)=0 folgt, daß v=0 ist.
> Das solltest Du Dir gut überlegen.
ok, wenn ich da überlege müsste ja v auch =0 sein, denn f(0)=0 (((( aber geht das nicht auch wenn [mm] v\not=0 [/mm] ist?? vielleicht denke ich da ja auch zu viel rum, aber gibt es da nicht auch eine möglichkeit??))))
und weil v=0 gilt dann [mm] \mu=0
[/mm]
> Wenn die Folgerung richtig ist, dann geht es flott weiter:
> dann hat man [mm]\mu_1a_1+\mu_2a_2=0,[/mm]
> und wegen der vorausgesetzen linearen Abhängigkeit folgt
> [mm]0=\mu_1=\mu_2.[/mm]
>
> Vielleicht fällt Dir aber auch eine lineare Abbildung ein,
> für die aus f(v)=0 nicht folgt, daß v=0.
>
>
>
> > glaube ich, wenn ich
> > z.b. ein konkretes beispiel nehme:
> > [mm]a_1=\pmat{ 1 \\ 2 }[/mm] und [mm]a_2=\pmat{ 1 \\ 3 }[/mm]
> >
> > [mm]\mu_1*b_1+\mu_2*b_2=0[/mm]
> > [mm]\gdw \mu_1+\mu_2=0[/mm] und [mm]2*\mu_1+3*\mu_2=0[/mm]
> > [mm]\gdw \mu_1=0[/mm] und [mm]\mu_2=0[/mm]
> > also l.u.
> >
> > [mm]b_1=\pmat{ 1 \\ 2 }[/mm] und [mm]b_2=\pmat{ 2 \\ 4 }[/mm]
> >
> > [mm]\mu_1*b_1+\mu_2*b_2=0[/mm]
> > [mm]\gdw \mu_1+2*\mu_2=0[/mm] und [mm]2*\mu_1+4*\mu_2=0[/mm]
> > [mm]\gdw \mu_1=-2*\mu_2[/mm]
> > also l.a.
> >
>
> Deine Beispiele bearbeitest Du richtig.
>
> Die [mm]a_i[/mm] sind linear unabhängig.
> Du hast im Laufe des Studiums doch gelernt, wie lineare
> Abbildungen gemacht werden.
> Jetzt versuch doch mal, eine zu basteln, bei der die
> [mm]f(a_i)[/mm] nicht linear unabhängig sind.
> (Es geht. Es geht einfach.)
meine neusten gedanken...
wenn:
[mm] f(\summe_{i=1}^{n}\mu_i*a_i)=0
[/mm]
dann:
[mm] \summe_{i=1}^{n}\mu_i*a_i=0 [/mm]
==> alle [mm] \mu_i=0
[/mm]
wenn:
[mm] \summe_{i=1}^{n}\mu_i*a_i=0 [/mm]
dann:
[mm] f(\summe_{i=1}^{n}\mu_i*a_i)=0
[/mm]
==> alle [mm] \mu_i=0
[/mm]
geht das in beide "richtungen"?? gibt es da nirgends ausnahmen...
LG
und vielen dank, dass du mir immer so lieb hilfst
pythagora
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> > [mm]\mu_1a_1+\mu_2a_2[/mm] ist ja ein Vektor, ich nenne ihn grad mal
> > v, also [mm]v:=\mu_1a_1+\mu_2a_2.[/mm]
> >
> > Der Dreh und Angelpunkt der nun folgenden Überlegung ist,
> > ob aus f(v)=0 folgt, daß v=0 ist.
> > Das solltest Du Dir gut überlegen.
> ok, wenn ich da überlege müsste ja v auch =0 sein, denn
> f(0)=0 (((( aber geht das nicht auch wenn [mm]v\not=0[/mm] ist??
> vielleicht denke ich da ja auch zu viel rum, aber gibt es
> da nicht auch eine möglichkeit??))))
Ja, natürlich.
Was ist denn mit der linearen Abbildung, die alles auf den Nullvektor abbildet.
Aber man kann sich auch viele andere ausdenken.
> > > glaube ich, wenn ich
> > > z.b. ein konkretes beispiel nehme:
> > > [mm]a_1=\pmat{ 1 \\ 2 }[/mm] und [mm]a_2=\pmat{ 1 \\ 3 }[/mm]
> > >
> > > [mm]\mu_1*b_1+\mu_2*b_2=0[/mm]
> > > [mm]\gdw \mu_1+\mu_2=0[/mm] und [mm]2*\mu_1+3*\mu_2=0[/mm]
> > > [mm]\gdw \mu_1=0[/mm] und [mm]\mu_2=0[/mm]
> > > also l.u.
> > >
> > > [mm]b_1=\pmat{ 1 \\ 2 }[/mm] und [mm]b_2=\pmat{ 2 \\ 4 }[/mm]
> > >
> > > [mm]\mu_1*b_1+\mu_2*b_2=0[/mm]
> > > [mm]\gdw \mu_1+2*\mu_2=0[/mm] und [mm]2*\mu_1+4*\mu_2=0[/mm]
> > > [mm]\gdw \mu_1=-2*\mu_2[/mm]
> > > also l.a.
> > >
> >
> > Deine Beispiele bearbeitest Du richtig.
> >
> > Die [mm]a_i[/mm] sind linear unabhängig.
> > Du hast im Laufe des Studiums doch gelernt, wie lineare
> > Abbildungen gemacht werden.
> > Jetzt versuch doch mal, eine zu basteln, bei der die
> > [mm]f(a_i)[/mm] nicht linear unabhängig sind.
> > (Es geht. Es geht einfach.)
> meine neusten gedanken...
> wenn:
> [mm]f(\summe_{i=1}^{n}\mu_i*a_i)=0[/mm]
> dann:
> [mm]\summe_{i=1}^{n}\mu_i*a_i=0[/mm]
Und dieser Schluß ist nicht richtig.
(Unter gewissen Voraussetzungen an f gilt er, Ihr habt das in der Vorlesung gelernt.)
> ==> alle [mm]\mu_i=0[/mm]
>
> wenn:
> [mm]\summe_{i=1}^{n}\mu_i*a_i=0[/mm]
> dann:
> [mm]f(\summe_{i=1}^{n}\mu_i*a_i)=0[/mm]
> ==> alle [mm]\mu_i=0[/mm]
>
> geht das in beide "richtungen"??
Nein. Es funktioniert eben nur die zweite der Richtungen.
Gruß v. Angela
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Hallöchen^^
> > f(0)=0 (((( aber geht das nicht auch wenn [mm]v\not=0[/mm] ist??
> > vielleicht denke ich da ja auch zu viel rum, aber gibt es
> > da nicht auch eine möglichkeit??))))
>
> Ja, natürlich.
> Was ist denn mit der linearen Abbildung, die alles auf den
> Nullvektor abbildet.
> Aber man kann sich auch viele andere ausdenken.
> > meine neusten gedanken...
> > wenn:
> > [mm]f(\summe_{i=1}^{n}\mu_i*a_i)=0[/mm]
> > dann:
> > [mm]\summe_{i=1}^{n}\mu_i*a_i=0[/mm]
> > ==> alle [mm]\mu_i=0[/mm]
> Und dieser Schluß ist nicht richtig.
>
> (Unter gewissen Voraussetzungen an f gilt er, Ihr habt das
> in der Vorlesung gelernt.)
also zusammengefasst beseutet das, dass es auf die lin. abb. f ankommt. Daher gilt nicht zwingend f(v)=0-->v=0, da v [mm] \not= [/mm] 0 sein kann, wenn z.b. f alles auf die 0 abbildet, jo?
Aber es gilt:
> > wenn:
> > [mm]\summe_{i=1}^{n}\mu_i*a_i=0[/mm]
> > dann:
> > [mm]f(\summe_{i=1}^{n}\mu_i*a_i)=0[/mm]
> > ==> alle [mm]\mu_i=0[/mm]
> >
also wenn v=0, dann ist auch f(v)=0, jo??
LG
pythagora
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Moin,
so ist es.
Gruß v. Angela
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Hallo,
vielen Dank, das war ja gar nicht so schwer mit dem beweis^^
(ich setze mal hier erneut an, damit das nicht so in die Breite geht, ist so doof zu scrollen). jetzt geht's wieder um die Implikation und die (eventuelle ) richtigkeit der aussagen
> Entscheiden sie, ob die folgenden aussagen jeweils wahr
> sind und diese Implikation [mm](\Delta[/mm] alternierend [mm]\Rightarrow \Delta_f[/mm]
> alternierend) beweisen.
> b)ist [mm]f(a_i)=f(a_j)[/mm] für i<j, dann auch [mm]a_i=a_j[/mm]
wäre also falsch und von daher "nein" in punkto beweis der implikation
> c) wenn [mm]a_1,...,a_n[/mm] linear unabhängig sind, dann sind es
> auch [mm]f(a_1),...,f(a_n)[/mm]
die aussage wäre falsch, da dadurch nicht bewiesen ist, dass [mm] \Delta[/mm] [/mm] alternierend [mm]\Rightarrow \Delta_f[/mm]
> alternierend gilt. Denn für alternierend geht's ja um linear abhängig..
> d)wenn [mm]f(a_1),...,f(a_n)[/mm] linear abhängig sind, dann sind
> es auch [mm]a_1,...,a_n[/mm]
zur aussage an sich: muss nicht, da es auch ein f sein kann, welches alles auf die 0 abbildet und von daher muss v nicht zwingend =0 sein. Und vondaher wäre das auch in punkto implikation falsch..
Hab ich das so richtig aufgefasst??
Liebe Grüße
pythagora
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Hallo,
mir ist nochmal eine Frage aufgekommen zu Aufgabe a):
a) Ist [mm] a_i=a_j, [/mm] dann auch [mm] f(a_i)=f(a_j)
[/mm]
wenn i=j wäre, dann würde es sich ja um das gleiche element handeln und dadurch wäre die implikation doch nicht bewisen, von daher "falsch", oder??
Ich bin mir da nicht sicher, ob da dieser zusatz i [mm] \not= [/mm] j benötigt werden würde oder nicht.
Kann mir da nochmal jemand helfen??
Lieben Dank
pythagora
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> Hallo,
> mir ist nochmal eine Frage aufgekommen zu Aufgabe a):
> a) Ist [mm]a_i=a_j,[/mm] dann auch [mm]f(a_i)=f(a_j)[/mm]
> wenn i=j wäre, dann würde es sich ja um das gleiche
> element handeln und dadurch wäre die implikation doch
> nicht bewisen, von daher "falsch", oder??
>
> Ich bin mir da nicht sicher, ob da dieser zusatz i [mm]\not=[/mm] j
> benötigt werden würde oder nicht.
Hallo,
Fakt ist: wenn [mm] a_i=a_j, [/mm] dann ist [mm] f(a_i)=f(a_j), [/mm] völlig wurscht ob i=j oder [mm] i\not=j.
[/mm]
Hast Du den Beweis [mm] \Delta [/mm] alternierend ==> [mm] \Delta_f [/mm] alternierend mal geführt?
da merlkst Du doch, ob Du die Aussage a) gebrauchen kannst oder nicht:
Sei [mm] \Delta [/mm] alternierend [mm] a_i=a_j [/mm] für [mm] i\not=j.
[/mm]
Es ist [mm] \delta_f(a_1, [/mm] ..., [mm] a_n)= [/mm] ... =..., usw.
Verwendest Du die Aussage a) dort, oder verwendest Du sie nicht?
Gruß v. Angela
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Hallo,
mit falschen Aussagen kann man natürlich nichts beweisen.
Gruß v. Angela
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Hallo,
ich sitze auch gerade an der Aufgabe und habe noch eine Frage zu euren bisherigen Überlegungen. Dass die zuletzt angesprochene Aussage richtig ist, ist klar. Aber diese hilft mir für den Beweis der Implikation doch nur wenn [mm] i\not=j [/mm] ist, aber nicht wenn i=j ist, oder mache ich da gerade eine Denkfehler?
Freue mich über eine Antwort,
Dinosaurisie
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> Hallo,
>
> ich sitze auch gerade an der Aufgabe und habe noch eine
> Frage zu euren bisherigen Überlegungen. Dass die zuletzt
> angesprochene Aussage richtig ist, ist klar. Aber diese
> hilft mir für den Beweis der Implikation doch nur wenn
> [mm]i\not=j[/mm] ist, aber nicht wenn i=j ist, oder mache ich da
> gerade eine Denkfehler?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Sag bitte genau, über welche der Aussagen Du gerade redest.
Über die erste? Das ist wohl so.
Also über [mm] a_i=a_j [/mm] ==> [mm] f(a_i)=f(a_j).
[/mm]
Diese Aussage gilt ja immer, egal, ob i=j oder [mm] i\not=j.
[/mm]
Nun setzt Du voraus, daß [mm] \delta [/mm] alternierend ist und willst zeigen, daß auch [mm] \Delta_f [/mm] alterniert.
Um zu zeigen, daß auch [mm] \delta_f [/mm] alterniert, guckst Du [mm] \delta_f(a_1,..., a_n) [/mm] an und überlegst, was rauskommt, wenn für [mm] i\not=j [/mm] die beiden Vektoren [mm] a_i [/mm] und [mm] a_j [/mm] gleich sind.
Sei also [mm] a_i=a_j [/mm] für [mm] i\not=j.
[/mm]
Es ist [mm] \delta_f(a_1,..., a_n) [/mm] = ...
Führe den Beweis und sag' dann genau, an welcher Stelle Du ein Problem siehst.
Gruß v. Angela
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Hallo,
genau die Implikation meine ich.
Den Beweis würde ich wie folgt machen:
Sei [mm] \Delta [/mm] alternierend und es gelte die Implikation für [mm] i\not=j,
[/mm]
dann ist [mm] \Delta [/mm] f [mm] (a1,...,ai,...aj,...an)=\Delta(f(a1),...,f(ai),...,f(aj),...f(an))=\Delta(f(a1),...,f(ai),...,f(ai),...f(an))=0 [/mm] (der letzte Schritt folgt, da [mm] \Delta [/mm] nach Voraussetzung alternierend ist.)
Damit ist gezeigt, dass auch [mm] \Delta [/mm] f alternierend ist.
Das Problem sehe ich nun an folgender Stelle: ist i=j, dann habe ich doch
[mm] \Delta [/mm] f [mm] (a1,...ai,...,an)=\Delta [/mm] f [mm] (a1,...aj,...,an)=\Delta(f(a1),...,f(aj),...f(an))=\Delta(f(a1),...f(ai),...,f(an))=?
[/mm]
Ich kann hier nicht folgern, dass [mm] \Delta [/mm] f =0 ist, und damit zeigen, dass [mm] \Delta [/mm] f alternierend ist?
Danke für die Hilfe!
P.S. Entschuldige die nicht perfekte Darstellung, aber ich weiß noch nicht genau wie ich Zeichen tiefstelle etc.
Dinosaurisie
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Hallo,
> Den Beweis würde ich wie folgt machen:
> Sei [mm]\Delta[/mm] alternierend
dh. falls [mm] a_i=a_j [/mm] für [mm] i\not=j [/mm] ist [mm] \Delta(a_1, [/mm] ..., [mm] a_n)=0.
[/mm]
> und es gelte die Implikation für
> [mm]i\not=j,[/mm]
Nein, daß die Implikation [mm] a_i=a_j [/mm] ==> [mm] f(a_i)=f(a_j) [/mm] gilt, das ist keine Voraussetzung, sondern Fakt. Die gilt immer.
Sei [mm] a_i=a_j [/mm] für [mm] i\not=j,
[/mm]
> dann ist [mm]\Delta[/mm]f [mm](a1,...,ai,...aj,...an)=\Delta(f(a1),...,f(ai),...,f(aj),...f(an))=\Delta(f(a1),...,f(ai),...,f(ai),...f(an))=0[/mm]
> (der letzte Schritt folgt, da [mm]\Delta[/mm] nach Voraussetzung
> alternierend ist.)
Ja. da stehen ja zwei gleiche Vektoren in der Klammer.
> Damit ist gezeigt, dass auch [mm]\Delta[/mm] f alternierend ist.
>
> Das Problem sehe ich nun an folgender Stelle: ist i=j, dann
> habe ich doch
> [mm]\Delta[/mm] f [mm](a1,...ai,...,an)=\Delta[/mm] f
> [mm](a1,...aj,...,an)=\Delta(f(a1),...,f(aj),...f(an))=\Delta(f(a1),...f(ai),...,f(an))=?[/mm]
> Ich kann hier nicht folgern, dass [mm]\Delta[/mm] f =0 ist, und
> damit zeigen, dass [mm]\Delta[/mm] f alternierend ist?
Du denkst kraus.
Alternierend ist doch gleichbedeutend damit, daß, sofern an zwei verschiedenen (!) Positionen der gleiche Vektor steht, Null herauskommt.
(An ein und derselben Position steht doch immer ein und derselbe Vektor...)
> P.S. Entschuldige die nicht perfekte Darstellung, aber ich
> weiß noch nicht genau wie ich Zeichen tiefstelle etc.
Tiefstellen geht mit einem vorangestellten Unterstrich.
Schau Dir, falls du nochmal was postest, auch die Eingabhilfen unter dem Eingabfenster an.
Gruß v. Angela
>
> Dinosaurisie
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Hallo,
> Du denkst kraus.
> Alternierend ist doch gleichbedeutend damit, daß, sofern
> an zwei verschiedenen (!) Positionen der gleiche Vektor
> steht, Null herauskommt.
> (An ein und derselben Position steht doch immer ein und
> derselbe Vektor...)
Stimmt, da habe ich irgendwie nicht drüber nachgedacht...
Verstehe ich es dann richtig, dass die Aussage "Ist [mm] a_i=a_j, [/mm] dann auch [mm] f(a_i)=f(a_j)", [/mm] die Implikation [mm] "\Delta [/mm] alternierend [mm] \Rightarrow \Delta_f [/mm] alternierend" beweist?
Grüße, Dinosaurisie
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> Verstehe ich es dann richtig, dass die Aussage "Ist
> [mm]a_i=a_j,[/mm] dann auch [mm]f(a_i)=f(a_j)",[/mm] die Implikation [mm]"\Delta[/mm]
> alternierend [mm]\Rightarrow \Delta_f[/mm] alternierend" beweist?
Hallo,
ich jedenfalls verstehe es genauso wie Du.
Gruß v. Angela
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