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Forum "Integration" - Deltadistribution
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Deltadistribution: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:22 Do 10.02.2011
Autor: Peter_Pan2

Aufgabe
"Ziel dieser Aufgabe ist der Beweis der Relation [mm] \Delta(1/|\vec{r}|) [/mm] = [mm] -4\pi\delta^3(\vec{r}). [/mm]

Um das Verhalten der linken Seite für [mm] |\vec{r}| \to [/mm] 0 zu analysieren, berechnen sie [mm] \Delta(1/\wurzel{\vec{r}^2+\varepsilon^2}), [/mm] wobei  [mm] \varepsilon [/mm] die Singularität bei [mm] |\vec{r}| [/mm] = 0 regularisiert. Zeigen sie nun, dass das Resultat im Grenzfall [mm] \varepsilon \to [/mm] 0 proportional zur Distribution [mm] \delta^3(\vec{r}) [/mm] ist."

Hallo, ich habe folgende Frage zu der Aufgabe:

Wenn ich [mm] \Delta(1/\wurzel{\vec{r}^2+\varepsilon^2}) [/mm] berechne, komme ich letzten Endes bei [mm] \Delta(1/\wurzel{\vec{r}^2+\varepsilon^2}) [/mm] = [mm] -3\varepsilon^2/(\wurzel{\vec{r}^2+\varepsilon^2})^5 [/mm] an.

Wie kann ich von hier aus einen Zusammenhang zur Deltadistribution herstellen?
Ich denke dass ich über eine Kugeloberfläche integrieren muss bzw. wegen
[mm] \Delta(1/\wurzel{\vec{r}^2+\varepsilon^2}) [/mm] = [mm] div(grad(1/(\vec{r})) [/mm] den Satz von Gauß anwenden kann, bin mir aber nicht sicher wie mich das zur gewünschten Darstellung bringt.

Wäre schön wenn mir jemand helfen könnte..

Viele Grüße,

Christof

        
Bezug
Deltadistribution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:58 Do 10.02.2011
Autor: rainerS

Hallo Christof!

> "Ziel dieser Aufgabe ist der Beweis der Relation
> [mm]\Delta(1/|\vec{r}|)[/mm] = [mm]-4\pi\delta^3(\vec{r}).[/mm]
>  
> Um das Verhalten der linken Seite für [mm]|\vec{r}| \to[/mm] 0 zu
> analysieren, berechnen sie
> [mm]\Delta(1/\wurzel{\vec{r}^2+\varepsilon^2}),[/mm] wobei  
> [mm]\varepsilon[/mm] die Singularität bei [mm]|\vec{r}|[/mm] = 0
> regularisiert. Zeigen sie nun, dass das Resultat im
> Grenzfall [mm]\varepsilon \to[/mm] 0 proportional zur Distribution
> [mm]\delta^3(\vec{r})[/mm] ist."
>  Hallo, ich habe folgende Frage zu der Aufgabe:
>  
> Wenn ich [mm]\Delta(1/\wurzel{\vec{r}^2+\varepsilon^2})[/mm]
> berechne, komme ich letzten Endes bei
> [mm]\Delta(1/\wurzel{\vec{r}^2+\varepsilon^2})[/mm] =
> [mm]-3\varepsilon^2/(\wurzel{\vec{r}^2+\varepsilon^2})^5[/mm] an.
>  
> Wie kann ich von hier aus einen Zusammenhang zur
> Deltadistribution herstellen?
> Ich denke dass ich über eine Kugeloberfläche integrieren
> muss

Richtig.

>  bzw. wegen
> [mm]\Delta(1/\wurzel{\vec{r}^2+\varepsilon^2}) = div(grad(1/(\vec{r}))[/mm]

Stimmt so nicht:

[mm]\Delta(1/\wurzel{\vec{r}^2+\varepsilon^2}) = div(grad(1/\wurzel{\vec{r}^2+\varepsilon^2})[/mm]

> den Satz von Gauß anwenden kann, bin
> mir aber nicht sicher wie mich das zur gewünschten
> Darstellung bringt.

Der Satz von Gauß bringt keinen Vorteil, da du das Integral über die Kugel direkt ausrechnen kannst: der Integrand hängt nur von [mm] $|\vec{r}|$ [/mm] ab, also ist das Integral von [mm]-3\varepsilon^2/(\wurzel{\vec{r}^2+\varepsilon^2})^5[/mm] über eine Kugel vom Radius R:

[mm] -3\varepsilon^2 * 4\pi * \integral_0^R \bruch{r^2}{(r^2+\varepsilon^2)^{5/2}} dr [/mm] .

Rechne das aus und schau dir an, was im Limes [mm] $\varepsilon\to [/mm] 0 $ passiert? Wie hängt das Ergebnis von R ab?

  Viele Grüße,
    Rainer

Bezug
                
Bezug
Deltadistribution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:07 Sa 12.02.2011
Autor: Peter_Pan2

Also für [mm] \integral_{V(Kugel)}^{}{-3\varepsilon^2/(\wurzel{\vec{r}^2+\varepsilon^2})^5 dV} [/mm] bekomme ich [mm] -4\pi*R^3/(R^2+\varepsilon^2)^{3/2}, [/mm]

also für [mm] \limes_{\varepsilon\rightarrow\0} (-4\pi*R^3/(R^2+\varepsilon^2)^{3/2})=-4\pi [/mm] und wegen [mm] \integral_{V(Kugel)}^{}{\delta^3(\vec{r}) dV}=1 [/mm] gilt dann [mm] \limes_{\varepsilon\rightarrow\0}\integral_{V(Kugel)}^{}{\Delta(1/|\vec{r}|) dV}=-4\pi\integral_{V(Kugel)}^{}{\delta^3(\vec{r})} [/mm] und damit
die Behauptung?

Viele Grüße,

Christof

Bezug
                        
Bezug
Deltadistribution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:43 So 13.02.2011
Autor: rainerS

Hallo!

> Also für
> [mm]\integral_{V(Kugel)}^{}{-3\varepsilon^2/(\wurzel{\vec{r}^2+\varepsilon^2})^5 dV}[/mm]
> bekomme ich [mm]-4\pi*R^3/(R^2+\varepsilon^2)^{3/2},[/mm]
>  
> also für [mm]\limes_{\varepsilon\rightarrow 0} (-4\pi*R^3/(R^2+\varepsilon^2)^{3/2})=-4\pi[/mm]
> und wegen [mm]\integral_{V(Kugel)}^{}{\delta^3(\vec{r}) dV}=1[/mm]
> gilt dann
> [mm]\limes_{\varepsilon\rightarrow\0}\integral_{V(Kugel)}^{}{\Delta(1/|\vec{r}|) dV}=-4\pi\integral_{V(Kugel)}^{}{\delta^3(\vec{r})}[/mm]
> und damit
> die Behauptung?

Ja.

Genau genommen müsstest du zeigen, dass [mm] $\Delta \bruch{1}{\wurzel{r^2+\varepsilon^2}}$ [/mm] im Distributionenlimes gegen [mm] $-4\pi \delta(\vec{r})$ [/mm] geht. Das heisst, dass für jede Testfunktion f gilt:

[mm]\limes_{\varepsilon\rightarrow\0} \integral_{V(Kugel)} \Delta \bruch{1}{\wurzel{r^2+\varepsilon^2}} f(\vec{r}) dV = -4\pi f(0) [/mm] .

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                                
Bezug
Deltadistribution: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:10 So 13.02.2011
Autor: Peter_Pan2

ok danke für die Antwort, ich denke ich habe die sache verstanden!

Viele Grüße

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