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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:18 Sa 29.03.2008 | | Autor: | puldi |
Gegeben ist die Funktion: f(x) = 3x - x³
Wie groß ist das Maß der Flöche, die der Graph der Funktion mit der Normalen im Wendepunkt einschließt.
Wendepunkt ist 0.
Normale ist -1/3 x
Mein Ergebnis: 10/3
Stimmt das? Bitte rechnet nach bzw. sagt mir wo mein Fehler liegt, danke!
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Hallo puldi,
> Gegeben ist die Funktion: f(x) = 3x - x³
>
> Wie groß ist das Maß der Flöche, die der Graph der Funktion
> mit der Normalen im Wendepunkt einschließt.
>
> Wendepunkt ist 0.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Normale ist -1/3 x
>
> Mein Ergebnis: 10/3
Wie ist dieses Ergebnis zustande gekommen?
>
> Stimmt das? Bitte rechnet nach bzw. sagt mir wo mein Fehler
> liegt, danke!
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:39 Sa 29.03.2008 | | Autor: | puldi |
3x - x³ + 1/3 x = 8/3x - x³
[mm] \integral_{[-Wurzel(30)]/3}^{0}{-x³ + (8/3) x dx}
[/mm]
+
[mm] \integral_{0}^{[Wurzel(30)]/3}{-x³ + (8/3) x dx}
[/mm]
Und dann stammfunktion:
[mm] -1/4x^4 [/mm] + 4/3x²
2* (5/3) = 10/3
Wo liegt mei Fehler :-( ?
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Ehrlich gesagt kann ich anhand dessen, was du geschrieben hast, deine Überlegung nicht ganz nachvollziehen. Es ist richtig, dass du zunächst die Schnittpunkte der Normalen und des Graphen berechnen musst und dann in zwei Intervalle aufteilst. Allerdings ist das zu Integrierende irgendwie seltsam.
Du suchst doch folgende Fläche:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die könnte man auch aufteilen in:
[Dateianhang nicht öffentlich] [Dateianhang nicht öffentlich]
Dann wäre das:
[mm] \left(\left|\integral_{-\bruch{\wurzel{30}}{3}}^{0}{3*x-x^{3} dx}\right| +
\left|\integral_{-\bruch{\wurzel{30}}{3}}^{0}{-\bruch{1}{3}*x dx}\right|\right) [/mm] + [mm] \left(\left|\integral_{0}^{\bruch{\wurzel{30}}{3}}{3*x-x^{3} dx}\right| + \left|\integral_{0}^{\bruch{\wurzel{30}}{3}}{-\bruch{1}{3}*x dx}\right|\right)
[/mm]
Doch das wäre zuviel Aufwand, also fassen wir die Integrale zusammen. Wir wissen:
[mm] \left|\integral_{-\bruch{\wurzel{30}}{3}}^{0}{3*x-x^{3} dx}\right|
[/mm]
wäre ohne Betragsstriche negativ, also setzen wir (-1)*(...) davor und können die Beträge weglassen. Bei
[mm] \left|\integral_{-\bruch{\wurzel{30}}{3}}^{0}{-\bruch{1}{3}*x dx}\right|
[/mm]
können wir sie einfach so weglassen, da die Fläche positiv ist.
Bei den anderen beiden Integralen ist es genau umgekehrt. Es ist also:
[mm] \left(\left|\integral_{-\bruch{\wurzel{30}}{3}}^{0}{3*x-x^{3} dx}\right| +
\left|\integral_{-\bruch{\wurzel{30}}{3}}^{0}{-\bruch{1}{3}*x dx}\right|\right) [/mm] + [mm] \left(\left|\integral_{0}^{\bruch{\wurzel{30}}{3}}{3*x-x^{3} dx}\right| + \left|\integral_{0}^{\bruch{\wurzel{30}}{3}}{-\bruch{1}{3}*x dx}\right|\right)
[/mm]
[mm] =\left((-1)*\integral_{-\bruch{\wurzel{30}}{3}}^{0}{3*x-x^{3} dx} + \integral_{-\bruch{\wurzel{30}}{3}}^{0}{-\bruch{1}{3}*x dx}\right)+\left(\integral_{0}^{\bruch{\wurzel{30}}{3}}{3*x-x^{3} dx} + (-1)*\integral_{0}^{\bruch{\wurzel{30}}{3}}{-\bruch{1}{3}*x dx}\right)
[/mm]
Aufgrund der Symmetrie brauchen wir nur eines der beiden Paare zu berechnen, wir nehmen das zweite (da muss man weniger mit dem Minus machen)
[mm] =2*\left(\integral_{0}^{\bruch{\wurzel{30}}{3}}{3*x-x^{3} dx} + (-1)*\integral_{0}^{\bruch{\wurzel{30}}{3}}{-\bruch{1}{3}*x dx}\right)
[/mm]
Nun fassen wir die beiden Integrale noch zusammen:
[mm] =2*\left(\integral_{0}^{\bruch{\wurzel{30}}{3}}{3*x-x^{3} + \bruch{1}{3}*x dx}\right)
[/mm]
Und wenn du das berechnest, kommst du auf's richtige Ergebnis 
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:17 Sa 29.03.2008 | | Autor: | puldi |
Danke, muss mal schauen wo mein Fehler lag, komm jetzt auf 50/9 und das scheint zu stimmen.
Danke!
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Hallo puldi,
> Danke, muss mal schauen wo mein Fehler lag, komm jetzt auf
> 50/9 und das scheint zu stimmen.
Ja, das stimmt auch.
Die Schnittpunkte von f(x) mi t der Normalen hast Du richtig berechnet.
Der Fehler hat sich hier eingeschlichen:
[mm]3x-x^{3}+\bruch{1}{3}x = \bruch{\red{8}}{3}x-x^{3}[/mm]
>
> Danke!
Gruß
MathePower
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Hi,
es würde hier auch reichen direkt von 0 bis zum Schnittpunkt zu integrieren und anschließend die Fläche zu verdoppeln. Dies ist hier möglich auf Grund der Symmetrie. Also:
[mm] $A=2*\integral_{0}^{\wurzel{30}/3}{f(x)-n(x) dx}$
[/mm]
Die Aufteilung in Flächen oberhalb und unterhalb der x-Achse ist bei Flächen zwischen zwei funktionen nicht nötig.
Gruß Patrick
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