Der Raum Hom(V,W) < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:51 Mi 31.08.2005 | | Autor: | Britta82 |
Hi,
ich lerne gerade für meine mündliche Prüfung in LA und jetzt komme ich nicht darauf, wie ich eine Basis und Dimension für den Raum Hom(V,W) über dem Körper K finden kann.
Kann mir da jemand helfen?
Danke im Vorraus
Britta
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:00 Mi 31.08.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo Britta,
also Hom(V,W) sollen alle linearen Abbildungen von V nach W sein ?
(wobei V und W endliche K-VRs sind?)
Weißt du denn, dass jede lineare Abbildung durch eine Matrix repräsentoerbar ist und umgekehrt?
Reicht dir das schon als Tipp?
Wie hängen die Dimensionen der Abbildungsnmatrix einer beliebigen linearen Abbildung von V nach W mit dessen Dimensionen zusammen?
Welche Dimension hat der Raum der nxm Matrizen und wie sieht eine mögliche Basis aus ?
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Mi 31.08.2005 | | Autor: | Britta82 |
Hallo und danke für die schnelle Antwort,
kann ich dann einfach die Einheitsvektoren als Basis nehmenbzw, f(ei) = ei definieren als Basis? Und die Dimension von Hom(V,W) stimmt dann mit der Dimension des Raumes der Matrizen überein? (im zweifelsfall also einfach n x m)
Ich hoffe, daß ich nicht alles total durcheinander bringe.
nochmal danke
Britta
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:13 Mi 31.08.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> kann ich dann einfach die Einheitsvektoren als Basis
> nehmenbzw, f(ei) = ei definieren als Basis?
Das ergibt hier nicht wirklich Sinn, das verwechselst du wahrscheinlich damit, dass die Bilder von Basisvektoren ein Erzeugendensystem des Bildes der linearen Abbildung bilden...
> Und die
> Dimension von Hom(V,W) stimmt dann mit der Dimension des
> Raumes der Matrizen überein? (im zweifelsfall also einfach
> n x m)
Hier meinst du wahrscheinlich das Richtige:
Jede lineare Abbildung ist doch durch eine Matrix darstellbar
(und auch umgekehrt), also ohne das jetzt zu dolle zu formalisieren : Der Raum der Matrizen stellt den Raum der Abbildungen dar.
Jetzt kommt es nur noch darauf an, wie groß jede dieser Matrizen ist.
Wir nehmen mal an, dass dim(V)=n und dim(W)=m ist.
Wie groß ist dann eine Abbildungsmatrix einer linearen Abbildung dazwischen?
(Vorsicht ! Wirklich darüber nachdenken !)
als Beispiel mal der doppelt 2-dimensionale Fall:
dann sind alle Abbildungen als 2x2 Matrizen darstellbar, also von der Form:
[mm] $\pmat{a&b\\c&d}=a*\pmat{1&0\\0&0}+b\pmat{0&1\\0&0}+c*\pmat{0&0\\1&0}+d*\pmat{0&0\\0&1}$
[/mm]
Hier habe ich dir gleich mal eine Basisdarstellung mit angegeben.
Wie sieht das also allgemein aus?
Wie groß ist die Basis? Was hat das mit n und m zu tun?
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:22 Mi 31.08.2005 | | Autor: | Britta82 |
Hi,
erst mal ne blöde Frage, wie mache ich das mit dem kursiv hellgedruckten um zu zeigen worauf ich mich beziehe?
so, nun die Antowort auf deine Aufgabe, also, die Basis ist [mm] \vektor{1 \\ 0}
[/mm]
und [mm] \vektor{0 \\ 1}, [/mm] daraus kann ich alle anderen Vektoren gewinnen, also ist die Dimension davon 2 und nicht, wie ich geschrieben habe 2x2, ich zähle also einfach die Basisvektoren (im einfachsten Fall), also wäre die Basis im Raum der Matrizen mit dim(V) = n und dim(W) = m n, weil ich n unabhängige Basisvektoren hätte?
Wie sehe denn eine Basis für den Raum Hom(V,W) bzw End(V) aus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:35 Mi 31.08.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo Britta,
da ist noch einiges durcheinander, aber keine Sorge, das wird schon !
> erst mal ne blöde Frage, wie mache ich das mit dem kursiv
> hellgedruckten um zu zeigen worauf ich mich beziehe?
Unter der Text-Box, wo du schreibst ist ein Button "Zitieren", einfach drauf clicken und in dem Text dann Passagen trennen und eigene Kommentare einfügen, so wie ich es gerade mache 
Ach so: Dumme Fragen gibt es nicht, nur dumme Antworten !
> so, nun die Antowort auf deine Aufgabe, also, die Basis ist
> [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm]
> und [mm]\vektor{0 \\ 1},[/mm] daraus kann ich
> alle anderen Vektoren gewinnen, also ist die Dimension
> davon 2 und nicht,
Das ist richtig, wenn du die Dimension von V bestimmen willst, aber nicht wenn du die Dimension der Matrix (bzw. den Raum der Matrizen) bestimmen willst , denn man könnte doch nur einen einzigen Eintrag in der 2x2 Matrix ändern, dann kann man das nicht in der Vektorschreibweis, wie du sie meinst darstellen.
Als Basis vom Raum der Matrizen kommen auch nur Matrizen in Frage, denn man kann ja nicht einfach zwei Vektoren zu einer Matrix machen.
(Jedenfalls nicht mit Standard-Multiplikation und-Addition)
Man braucht wirklich 4 Basismatrizen, die ich ja auch schon angegeben hatte (also immer eine 1 auf einem Feld und sonst nur Nullen)
Also ist der Raum der 2x2 Matrizen 4-dimensional, eben 2*2.
> wie ich geschrieben habe 2x2, ich zähle
> also einfach die Basisvektoren (im einfachsten Fall), also
> wäre die Basis im Raum der Matrizen mit dim(V) = n und
> dim(W) = m
> n, weil ich n unabhängige Basisvektoren hätte?
wieder richtig für die Dimension von V, aber nicht für die Dimension für den Raum der Matrizen.
> Wie sehe denn eine Basis für den Raum Hom(V,W) bzw End(V)
> aus?
Genau hierrum geht es doch eigentlich die ganze Zeit.
Eine Basis für Hom(V,W) habe ich dir für den Spezialfall mit dim(V)=dim(W)=2 durch die vier Basismatrizen schon angegeben.
(denn jede lineare Abbildung von Hom(V,W) ist durch eine 2x2 Matrix darstellbar)
Wie sieht das nun allgemein aus? Sei dim(V)=n und dim(W)=m, wieviele Spalten und Zeilen hat dann eine Abbildungsmatrix aus Hom(V,W) ?
Wie sieht dann die verallgemeinerte Basis aus?
Wie groß ist dann die Basis?
Über End(V) machen wir uns Gedanken, wenn wir das hier hinter uns haben.
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 Mi 31.08.2005 | | Autor: | Britta82 |
> Das ist richtig, wenn du die Dimension von V bestimmen
> willst, aber nicht wenn du die Dimension der Matrix (bzw.
> den Raum der Matrizen) bestimmen willst , denn man könnte
> doch nur einen einzigen Eintrag in der 2x2 Matrix ändern,
> dann kann man das nicht in der Vektorschreibweis, wie du
> sie meinst darstellen.
> Als Basis vom Raum der Matrizen kommen auch nur Matrizen
> in Frage, denn man kann ja nicht einfach zwei Vektoren zu
> einer Matrix machen.
> (Jedenfalls nicht mit Standard-Multiplikation
> und-Addition)
>
> Man braucht wirklich 4 Basismatrizen, die ich ja auch schon
> angegeben hatte (also immer eine 1 auf einem Feld und sonst
> nur Nullen)
> Also ist der Raum der 2x2 Matrizen 4-dimensional, eben
> 2*2.
>
> > wie ich geschrieben habe 2x2, ich zähle
> > also einfach die Basisvektoren (im einfachsten Fall), also
> > wäre die Basis im Raum der Matrizen mit dim(V) = n und
> > dim(W) = m
> > n, weil ich n unabhängige Basisvektoren hätte?
>
> wieder richtig für die Dimension von V, aber nicht für die
> Dimension für den Raum der Matrizen.
>
> > Wie sehe denn eine Basis für den Raum Hom(V,W) bzw End(V)
> > aus?
>
> Genau hierrum geht es doch eigentlich die ganze Zeit.
> Eine Basis für Hom(V,W) habe ich dir für den Spezialfall
> mit dim(V)=dim(W)=2 durch die vier Basismatrizen schon
> angegeben.
> (denn jede lineare Abbildung von Hom(V,W) ist durch eine
> 2x2 Matrix darstellbar)
>
> Wie sieht das nun allgemein aus? Sei dim(V)=n und dim(W)=m,
> wieviele Spalten und Zeilen hat dann eine Abbildungsmatrix
> aus Hom(V,W) ?
> Wie sieht dann die verallgemeinerte Basis aus?
> Wie groß ist dann die Basis?
Danke, ich erkenne meinen Fehler, ich muß also nicht unabhängige Vektoren, sondern eher unabhängige Matrizen zählen
für den Raum der Matrizen würde das also bedeuten daß ich n+m unabhängige Matrizen der Dimension nxm habe?
Und die Basis für den Raum der Matrizen finde ich dann indem ich mir n+m Matrizen nehme die überall die 0 stehen haben, bis auf eine Stelle, dort steht dann eine 1 vorzugsweise?
Kann ich dafür auch irgendwie eine Abbildungsvorschrift finden, oder reicht es die Matrixdarstellung zu benennen?
Tausend Dank
Britta
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:50 Mi 31.08.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
ahh, daran lag es also.
Nun ist es schon fast richtig...
> für den Raum der Matrizen würde das also bedeuten daß ich
> n+m unabhängige Matrizen der Dimension nxm habe?
>
> Und die Basis für den Raum der Matrizen finde ich dann
> indem ich mir n+m Matrizen nehme die überall die 0 stehen
> haben, bis auf eine Stelle, dort steht dann eine 1
> vorzugsweise?
Der zweite Absatz ist richtig, aber wieviel Möglichkeiten hast du denn um an genau eine Stelle eine 1 zu setzen ?
Das sind doch nocht n+m, sondern .. ?
Diese Basismatrizen spannen dann den Raum der nxm bzw. mxn Matrizen auf.
Du hast aber noch nicht genau gesagt, welche dieser wir denn nun brauchen, wenn dim(V)=n und dim(W)=m ist.
>
> Kann ich dafür auch irgendwie eine Abbildungsvorschrift
> finden, oder reicht es die Matrixdarstellung zu benennen?
Puhhh, das dürfte schwierg werden, für alle möglichen Abbildungsmatrizen die Abbildungsvorschriften zu finden bzw. zu definieren, das hängt nämlich von den speziellen Einträgen ab....
Es reicht aber eine Basis der MAtrizen zu finden, denn jede lineare Abbildung ist durch eine solche darstellbar !
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Mi 31.08.2005 | | Autor: | Britta82 |
> Der zweite Absatz ist richtig, aber wieviel Möglichkeiten
> hast du denn um an genau eine Stelle eine 1 zu setzen ?
> Das sind doch nocht n+m, sondern .. ?
>
n*m (klar n Zeilen, m Spalten)
> Diese Basismatrizen spannen dann den Raum der nxm bzw. mxn
> Matrizen auf.
>
> Du hast aber noch nicht genau gesagt, welche dieser wir
> denn nun brauchen, wenn dim(V)=n und dim(W)=m ist.
>
Was meinst du damit? Brauchen wir nicht alle Matrizen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:23 Mi 31.08.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo Britta,
ja, jetzt steht hier alles richtig !!
viele Grüße und genieß deinen "Feierabend".
DaMenge
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- jup, jetzt ist es richtig, dies ist die Anzhal unserer Basismatrizen und damit auch unsere Größe der Basis.
