Det. herleiten < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:26 Do 23.05.2013 | | Autor: | sigmar |
| Aufgabe | | http://abload.de/img/detymuti.jpg |
Ich versuche gerade diese Herleitung zu verstehen, aber ich scheiter bereits in der zweiten Zeile, da ich nicht nachvollziehen kann warum wir die Funktion so aufteilen können.
[mm] R_{1} [/mm] ist die Erkenntnis, dass die Determinante der Einheitsmatrix 1 ist und [mm] R_{2} [/mm] das Vertauschen des Vorzeichens bei Vertauschen von Zeilen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:37 Do 23.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> http://abload.de/img/detymuti.jpg
> Ich versuche gerade diese Herleitung zu verstehen, aber
> ich scheiter bereits in der zweiten Zeile, da ich nicht
> nachvollziehen kann warum wir die Funktion so aufteilen
> können.
>
> [mm]R_{1}[/mm] ist die Erkenntnis, dass die Determinante der
> Einheitsmatrix 1 ist und [mm]R_{2}[/mm] das Vertauschen des
> Vorzeichens bei Vertauschen von Zeilen.
kannst Du ein bisschen mehr dazu sagen? Welche Eigenschaften hat [mm] $f\,$
[/mm]
denn bei Euch? Mit [mm] $R_1$ [/mm] und [mm] $R_2$ [/mm] alleine sehe ich auch keinen Grund,
warum die zweite und die dritte Zeile gelten sollten. Ist [mm] $f\,$ [/mm] bilinear oder
sowas?
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:46 Do 23.05.2013 | | Autor: | sigmar |
Hätte ich vlt deutlicher formulieren sollen, f ist die Determinante und der Sinn dieser Umformungen ist zu zeigen wie wir die Determinante einer 2x2-Matrix herleiten können.
Entsprechend haben wir auch noch [mm] R_{3}, [/mm] was dann besagt, dass f in jeder Zeile linear ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:52 Do 23.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hätte ich vlt deutlicher formulieren sollen, f ist die
> Determinante und der Sinn dieser Umformungen ist zu zeigen
> wie wir die Determinante einer 2x2-Matrix herleiten
> können.
naja, das ist klar: Aber ihr habt ja nicht einfach [mm] $f\pmat{a & b \\ c & d}=ad-bc$ [/mm] definiert,
sondern die Determinante [mm] $f\,$ [/mm] nur mit gewissen Eigenschaften
ausgestattet, und wollt nachrechnen, dass dann [mm] $f\pmat{a & b \\ c & d}=ad-bc$ [/mm] gilt!
> Entsprechend haben wir auch noch [mm]R_{3},[/mm] was dann besagt,
> dass f in jeder Zeile linear ist.
Das ist wichtig, soweit ich das sehe. Warten wir mal gerade ab, was Angela
schreibt (vielleicht habe ich ja was übersehen)!
Gruß,
Marcel
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> http://abload.de/img/detymuti.jpg
Hallo,
es wäre ganz schon gewesen, hättest Du diese Kleinigkeit hier eingetippt: man hätte dann die Möglichkeit, farbig zu markieren, zu kopieren und solche Sachen.
> Ich versuche gerade diese Herleitung zu verstehen, aber
> ich scheiter bereits in der zweiten Zeile, da ich nicht
> nachvollziehen kann warum wir die Funktion so aufteilen
> können.
>
> [mm]R_{1}[/mm] ist die Erkenntnis, dass die Determinante der
> Einheitsmatrix 1 ist und [mm]R_{2}[/mm] das Vertauschen des
> Vorzeichens bei Vertauschen von Zeilen.
Könnte es sein, daß Ihr noch eine Regel [mm] R_3 [/mm] oder [mm] R_0 [/mm] hattet, welche Euch erzählt, daß die Determinante linear in jeder Zeile ist?
Das bedeutet (am Beispiel der 2.Zeile einer [mm] n\times [/mm] n-Matrix): für [mm] v_1,...,v_n,w\in \IR^n [/mm] und [mm] \lambda\in \IR [/mm] gilt
[mm] det\vektor{v_1^T\\v_2^T+w^T\\v_3\\\vdots\\v_n^T}=det\vektor{v_1^T\\v_2^T\\v_3\\\vdots\\v_n^T}+det\vektor{v_1^T\\w^T\\v_3\\\vdots\\v_n^T}
[/mm]
(Das "hoch T" steht fürs Transponieren, aus den Spalten werden Zeilen. Die Matrix besteht aus n Zeilen.)
und
[mm] det\vektor{v_1^T\\\lambda v_2^T\\v_3\\\vdots\\v_n^T}=\lambda det\vektor{v_1^T\\v_2^T\\v_3\\\vdots\\v_n^T}.
[/mm]
Für Dein Beispiel ist die erste der beiden Linearitätsbedingungen relevant:
es ist bei Dir dann
[mm] v_1=\vektor{a\\0}, w=\vektor{0\\b}, v_2=\vektor{c\\d}.
[/mm]
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:53 Do 23.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Angela,
> > http://abload.de/img/detymuti.jpg
>
> Hallo,
>
> es wäre ganz schon gewesen, hättest Du diese Kleinigkeit
> hier eingetippt: man hätte dann die Möglichkeit, farbig
> zu markieren, zu kopieren und solche Sachen.
>
>
> > Ich versuche gerade diese Herleitung zu verstehen, aber
> > ich scheiter bereits in der zweiten Zeile, da ich nicht
> > nachvollziehen kann warum wir die Funktion so aufteilen
> > können.
> >
> > [mm]R_{1}[/mm] ist die Erkenntnis, dass die Determinante der
> > Einheitsmatrix 1 ist und [mm]R_{2}[/mm] das Vertauschen des
> > Vorzeichens bei Vertauschen von Zeilen.
>
> Könnte es sein, daß Ihr noch eine Regel [mm]R_3[/mm] oder [mm]R_0[/mm]
> hattet, welche Euch erzählt, daß die Determinante linear
> in jeder Zeile ist?
hatte er, hat er in der folgenden Frage (die ich aber jetzt in eine Mitteilung
geändert habe) ergänzt!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:57 Fr 24.05.2013 | | Autor: | sigmar |
Ok, das klingt soweit alles vernünftig, aber was hält mich dann z.B. von der folgenden Umformung ab?
[mm] f\pmat{ a & 0 \\ 0 & d } [/mm] = [mm] f\pmat{ a+0 & 0 \\ 0 & 0+d } [/mm] = [mm] f\pmat{ a & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] + [mm] f\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & d }
[/mm]
Daraus würde ja folgen, dass die Determinante 0 ist.
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> Ok, das klingt soweit alles vernünftig, aber was hält
> mich dann z.B. von der folgenden Umformung ab?
> [mm]f\pmat{ a & 0 \\ 0 & d }[/mm] = [mm]f\pmat{ a+0 & 0 \\ 0 & 0+d }[/mm] =
> [mm]f\pmat{ a & 0 \\ 0 & 0 }[/mm] + [mm]f\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & d }[/mm]
> Daraus
> würde ja folgen, dass die Determinante 0 ist.
Hallo,
die Gesetze halten Dich davon ab.
[mm] R_3 [/mm] erzählt Dir nichts darüber, daß
[mm] det\vektor{v_1^T+w_1^T\\v_2^T+w_2^T}=det\vektor{v_1^T\\v_2^T}+det\vektor{w_1^T\\w_2^T}.
[/mm]
Wende ich [mm] R_3 [/mm] auf [mm] det\vektor{v_1^T+w_1^T\\v_2^T+w_2^T} [/mm] an, so bekomme ich
[mm] det\vektor{v_1^T+w_1^T\\v_2^T+w_2^T}=det\vektor{v_1^T+\\v_2^T+w_2^T}+det\vektor{w_1^T\\v_2^T+w_2^T},
[/mm]
und auf jede der beiden Determinanten kann man nun wieder mit [mm] R_3 [/mm] losgehen.
Also:
[mm]det\pmat{ a & 0 \\ 0 & d }[/mm] = [mm]det\pmat{ a+0 & 0 \\ 0 & 0+d }[/mm]
=[mm]det\pmat{ a & 0 \\ 0 & 0+d }[/mm] +[mm]det\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0+d }[/mm]
=[mm]det\pmat{ a & 0 \\ 0 & 0}[/mm]+[mm]det\pmat{ a & 0 \\ 0 & d }[/mm]+[mm]det\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm] +[mm]det\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & d }[/mm],
was jetzt nicht wahrhaft berauschende Erkenntnisse liefert, aber immerhin auch nichts Verkehrtes.
LG Angela
P.S.: [mm] det\pmat{ a & 0 \\ 0 & d } [/mm] bekommst Du so mithilfe der Linearität in den Zeilen und der Det der Einheitsmatrix :
[mm] det\pmat{ a & 0 \\ 0 & d }=a*det\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & d }=ad*det\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }=ad*1=ad
[/mm]
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