Det einer Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:01 So 26.03.2006 | | Autor: | AriR |
| Aufgabe | | Berrechnen sie die Determinante von (1- [mm] \delta_{i,j})_{i,j}M_{n \times n}(K) [/mm] wobei [mm] \delta [/mm] das Kronecker-Delta sein soll. |
(frage zuvor nicht gestellt)
Hey Leute die Matrix habe ich gefunden, dass müsste eine Matrix sein, die auf der Diagonalen nur 0en hat und sonst über alle eine 1.
Nur wie kann man jetzt davon det allgemein bestimmen. Ich anhand von einer 2x2 und 3x3 matrix versucht einen zusammenhang zu finden nur dem war leider nicht so. Höchstens eine kleine vermutung, wie es bei n x n matritzen aussehen könnte für n gerade und n ungerade nur das müsste man ja noch alles beweisen dies und das und da dies eine klausuraufgabe war, denke ich, dass es einen wesentlich einfacheren weg geben wird.
Wäre nett, wenn ihr mir da weiterhelfen könntet.
Gruß Ari
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:06 So 26.03.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Berrechnen sie die Determinante von (1-
> [mm]\delta_{i,j})_{i,j}M_{n \times n}(K)[/mm] wobei [mm]\delta[/mm] das
> Kronecker-Delta sein soll.
> (frage zuvor nicht gestellt)
>
> Hey Leute die Matrix habe ich gefunden, dass müsste eine
> Matrix sein, die auf der Diagonalen nur 0en hat und sonst
> über alle eine 1.
>
> Nur wie kann man jetzt davon det allgemein bestimmen. Ich
> anhand von einer 2x2 und 3x3 matrix versucht einen
> zusammenhang zu finden nur dem war leider nicht so.
> Höchstens eine kleine vermutung, wie es bei n x n matritzen
> aussehen könnte für n gerade und n ungerade nur das müsste
> man ja noch alles beweisen dies und das und da dies eine
> klausuraufgabe war, denke ich, dass es einen wesentlich
> einfacheren weg geben wird.
>
> Wäre nett, wenn ihr mir da weiterhelfen könntet.
Wenn du ausnutzt, dass Zeilenumformungen der Art ''Addiere die $k$-te Zeile [mm] $\lambda$-fach [/mm] zur [mm] $\ell$-ten [/mm] Zeile mit $k [mm] \neq \ell$'' [/mm] nicht die Determinante aendern, kannst du das wie folgt machen:
1. Zuerst ziehst du die zweite Zeile von der 3. bis $n$-ten Zeile ab.
2. Dann entwickelst du nach der ersten Spalten (Laplace).
3. Bei der Entwicklung sind alle Koeffizienten $0$ bis auf einer, und bei der dort verbleibenden Matrix addierst du die 2. bis $(n-1)$-te Zeile (die Matrix hat nur noch $n-1$ Zeilen) zur ersten Zeile dazu.
4. Jetzt hast du eine untere Dreiecksmatrix, und von der kannst du die Determinante hinschreiben.
Das Ergebnis ist uebrigens [mm] $(-1)^{n-1} [/mm] (n - 1)$.
LG Felix
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