Det einer Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:58 Mi 05.04.2006 | | Autor: | AriR |
| Aufgabe | Seien x1, . . . , xn Elemente eines Körpers K. Die Matrix A = (aij)
in Mn×n(K) sei gegeben durch aij = [mm] x^{i-1}_j [/mm] . Berechnen Sie det(A). |
(frage zuvor nicht gestellt)
Hey leute.. kaum ist das Semster wieder angefangen kommen die übungen schon wieder :D
also für die Matrix habe ich folgende Form
[mm] \pmat{ 1 & 1 & & ... \\ x_1 & x_2 & x_3 & ... \\ x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 & ... \\ x_1^3 & x_2^3 & x_3^3 & ... }
[/mm]
die habe ich transponiert und das -1Fache der ersten zeile bei jeder abgezogen. dann habe ihc LAplace angewandt und bekomme raus, dass ich nur noch det von folgender MAtrix berrechnen muss:
[mm] \pmat{ x_2-x_1 & x_2^2-x_1^2 & x_2^3-x_1^3 & ... & x_2^{n-1}-x_1^{n-1}
\\ x_3-x_1 & x_3^2-x_1^2 & x_3^3-x_1^3 & ... & x_3^{n-1}-x_1^{n-1}}
[/mm]
die letzen zeilen gehen dann halt so weiter bis man da irgendwann [mm] x_n-1 [/mm] usw stehen hat..
hat jemand eine idee wie ich davon jetzt die determinante ermitteln kann?
ich hab erhlichgesagt keine ahnung
Danke im voraus.. gruß Ari
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:12 Mi 05.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Seien x1, . . . , xn Elemente eines Körpers K. Die Matrix A
> = (aij)
> in Mn×n(K) sei gegeben durch aij = [mm]x^{i-1}_j[/mm] . Berechnen
> Sie det(A).
> (frage zuvor nicht gestellt)
>
> Hey leute.. kaum ist das Semster wieder angefangen kommen
> die übungen schon wieder :D
>
> also für die Matrix habe ich folgende Form
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & & ... \\ x_1 & x_2 & x_3 & ... \\ x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 & ... \\ x_1^3 & x_2^3 & x_3^3 & ... }[/mm]
Diese Matrix hat uebrigens einen Namen: van-der-Monde-Matrix. Und die Determinante heisst dann van-der-Monde-Determinante.
> die habe ich transponiert und das -1Fache der ersten zeile
> bei jeder abgezogen. dann habe ihc LAplace angewandt und
> bekomme raus, dass ich nur noch det von folgender MAtrix
> berrechnen muss:
> [...]
Ich glaube nicht das du so zum Ziel kommst.
Versuch doch mal folgendes:
- Betrachte die urspruengliche Matrix, und ziehe von der $i$-ten Zeile das [mm] $x_1$-fache [/mm] der $(i-1)$-ten Zeile ab.
- Danach machst du eine Entwicklung nach der ersten Spalte.
- Jetzt benutzt du, dass die Determinante eine Multilinearform ist: Du klammerst aus jeder Spalte der uebriggebliebenden Matrix den Faktor [mm] $x_i [/mm] - [mm] x_1$ [/mm] aus, $2 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n$, und holst ihn aus der Determinante raus.
- Jetzt verbleibt wieder so eine van-der-Monde-Matrix, aber von der Groesse $(n-1) [mm] \times [/mm] (n-1)$, und du kannst per Induktion weitermachen.
HTH & LG Felix
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