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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:21 So 09.02.2014 | | Autor: | b.reis |
| Aufgabe | | Der Graph einer Polynomfunktion vierten Grades ist Achsensymmetrisch zu x=0. Der Graph hat am Punkt P(-2/0) die Steigung 2 und bei x=1 eine Wendestelle. Erstellen Die den Funktionsterm. |
Hallo,
Ich habe aus der Aufgabe folgendes herausgelesen:
f(-2)=0
f'(-2)=2
f''(1)=0
Die Funktion ist Punksymmetrisch und hat somit keine ungeraden Exponenten.
daraus folgt f(x)= [mm] ax^4+bx^2+c
[/mm]
Kann noch mehr herauslesen werden ?
Da aber f(-2)=0 gegeben ist dürfte es kein c geben da [mm] 0=a(-2)^4+b(-2)^2+c
[/mm]
Es dürfte auch kein b geben da f''= 0=12a(1)+2b also müsste b auch null sein.
In der Lösung ist aber das Ergebnis [mm] f(x)=1/4x^4+1,5x^2-2
[/mm]
Danke für die Hilfe
M.f.G.
Benni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:39 So 09.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Der Graph einer Polynomfunktion vierten Grades ist
> Achsensymmetrisch zu x=0. Der Graph hat am Punkt P(-2/0)
> die Steigung 2 und bei x=1 eine Wendestelle. Erstellen Die
> den Funktionsterm.
> Hallo,
> Ich habe aus der Aufgabe folgendes herausgelesen:
>
> f(-2)=0
> f'(-2)=2
> f''(1)=0
>
>
richtig !
>
> Die Funktion ist Punksymmetrisch und hat somit keine
> ungeraden Exponenten.
>
> daraus folgt f(x)= [mm]ax^4+bx^2+c[/mm]
>
richtig !
> Kann noch mehr herauslesen werden ?
Nein, aber du brauchst ja auch nicht mehr. Du hast drei Koeffizienten zu bestimmen und du hast drei Bedingungen dafür aufgestellt. In der Regel reicht das bei diesen Aufgaben aus, um den Funktionsterm eindeutig ermitteln zu können.
>
> Da aber f(-2)=0 gegeben ist dürfte es kein c geben da
> [mm]0=a(-2)^4+b(-2)^2+c[/mm]
>
> Es dürfte auch kein b geben da f''= 0=12a(1)+2b also
> müsste b auch null sein.
Die beiden Gleichungen, die du aufgeschrieben hast, sind richtig, aber deine Schlussfolgerungen sind falsch.
Du übernimmst hier eine Erfahrung der Art "Wenn f(0)=0 ist, dann ist der konstante Summand gleich Null", aber es handelt sich hier nicht um die Stelle x=0, sondern um x=-2, und da gilt so etwas nicht.
>
>
> In der Lösung ist aber das Ergebnis [mm]f(x)=1/4x^4+1,5x^2-2[/mm]
>
>
Diese Lösung stimmt nicht (evtl. Tippfehler)
>
> Danke für die Hilfe
>
> M.f.G.
>
> Benni
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:51 So 09.02.2014 | | Autor: | b.reis |
Hi,
> Der Graph einer Polynomfunktion vierten Grades ist
> Achsensymmetrisch zu x=0. Der Graph hat am Punkt P(-2/0)
> die Steigung 2 und bei x=1 eine Wendestelle. Erstellen Die
> den Funktionsterm.
> Hallo,
> Ich habe aus der Aufgabe folgendes herausgelesen:
>
> f(-2)=0
> f'(-2)=2
> f''(1)=0
>
>
richtig !
>
> Die Funktion ist Punksymmetrisch und hat somit keine
> ungeraden Exponenten.
>
> daraus folgt f(x)= $ [mm] ax^4+bx^2+c [/mm] $
>
richtig !
> Kann noch mehr herauslesen werden ?
Nein, aber du brauchst ja auch nicht mehr. Du hast drei Koeffizienten zu bestimmen und du hast drei Bedingungen dafür aufgestellt. In der Regel reicht das bei diesen Aufgaben aus, um den Funktionsterm eindeutig ermitteln zu können.
>
> Da aber f(-2)=0 gegeben ist dürfte es kein c geben da
> $ [mm] 0=a(-2)^4+b(-2)^2+c [/mm] $
>
> Es dürfte auch kein b geben da f''= 0=12a(1)+2b also
> müsste b auch null sein.
Die beiden Gleichungen, die du aufgeschrieben hast, sind richtig, aber deine Schlussfolgerungen sind falsch. Wie soll ich denn dann vorgehen um Koeffizienten auszuschließen. Ein Gleichungssystem mit 3 Unbekannten zum errechnen der Koeffizienten ist eigentlich nicht gewollt oder ist es unumgänglich ?
Du übernimmst hier eine Erfahrung der Art "Wenn f(0)=0 ist, dann ist der konstante Summand gleich Null", aber es handelt sich hier nicht um die Stelle x=0, sondern um x=-2, und da gilt so etwas nicht.
>
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> In der Lösung ist aber das Ergebnis f(x)= - [mm] 1/4x^4+1,5x^2-2 [/mm] Hier fehlte ein - Stimmt das Ergebnis dann ?
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Diese Lösung stimmt nicht (evtl. Tippfehler)
>
> Danke für die Hilfe
>
> M.f.G.
>
> Benni
Gruß Sax.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:09 So 09.02.2014 | | Autor: | OneTwo7 |
> Wie
> soll ich denn dann vorgehen um Koeffizienten
> auszuschließen. Ein Gleichungssystem mit 3 Unbekannten
> zum errechnen der Koeffizienten ist eigentlich nicht
> gewollt oder ist es unumgänglich ?
Anders geht es nicht
Wie du richtig herausgefunden hast hast du eine allgemeine Form einer achsensymmetrischen Funktion 4-ten Grades:
f(x)= [mm] ax^4+bx^2+c [/mm]
f'(x) = [mm] 4ax^3 [/mm] + 2bx
f''(x) = [mm] 12ax^2 [/mm] + 2b
und 3 Bedingungen die du richtig aus der Aufgabe herausgelesen hast:
(I) : f(-2) =0
(II) : f'(-2)=2
(III) : f''(1)=0
Wir haben also ein Gleichnugssystem das es zu lösen gibt.
Schreiben wir doch mal aus, was die 3 Bedingungen machen:
f(-2) = [mm] a(-2)^4 [/mm] + [mm] b(-2)^2 [/mm] + c = 0
bzw.
(I) : f(-2) = 0 = 16x + 4b +c = 0
(II) : f'(-2) = 2 = [mm] 4a(-2)^3 [/mm] + 2b(-2) = -32a - 4b = 2
(III) : f''(1) = 0 = 12a + 2b = 0
Nun hast du 3 Gleichungen und 3 Unbekannte, du kannst das Gleichungssystem nun durch z.B. das Einsetzungsverfahren oder das Additionsverfahren lösen.
Diese Aufgabe ist übrigens eine "Rekonstruktionsaufgabe", zumindest wurde sie so bei mir immer genannt, "Detektivaufgabe" höre ich zum ersten mal.
> > In der Lösung ist aber das Ergebnis f(x)= -
> [mm]1/4x^4+1,5x^2-2[/mm] Hier fehlte ein - Stimmt das Ergebnis
> dann ?
Die beste Lösung nützt dir ohne Rechenweg nichts, das tolle an Rekonstruktionsaufgaben ist, dass man immer prüfen kann ob man sie richtig gelöst hat.
Am Ende erhälst du einen Wert für a, b und c heraus. Versuche dann nochmal deine 3 Bedingungen einzusetzen mit deinem Wissen von a,b,c. Wenn sie alle aufgehen (sprich also NICHT soetwas wie 2=3 herauskommt) dann hast du die Funktion richtig rekonstruiert.
p.s. Sorry für die Verspätung, die Formatierung hat sich gewehrt!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:19 So 09.02.2014 | | Autor: | Loddar |
Hallo Benni!
> Ein Gleichungssystem mit 3 Unbekannten zum errechnen der
> Koeffizienten ist eigentlich nicht gewollt oder ist es unumgänglich ?
Das ist wirklich unumgänglich und alles andere als eine große Herausforderung.
Oder meinst Du jetzt wirklich, dass sei zuviel verlangt?
> In der Lösung ist aber das Ergebnis [mm]f(x)= -1/4x^4+1,5x^2-2[/mm]
> Hier fehlte ein - Stimmt das Ergebnis dann ?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gruß
Loddar
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