Determinante < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:15 Mi 19.11.2008 | | Autor: | Giorda_N |
| Aufgabe | Für ein reelles Polynom q = [mm] \summe_{i=0}^{m}a_{i}x^i [/mm] ist das Polynom [mm] \bruch{d}{dx}q [/mm] durch [mm] \summe_{i=0}^{m}ia_{i}x^i^-^1 [/mm] gegeben. Es sei n [mm] \in \IN [/mm] und
F: [mm] \IR(x)^\le^n \to \IR(x)^\le^n, [/mm] p [mm] \mapsto \bruch{d}{dx}(xp).
[/mm]
Bestimmen Sie det(F) und für welche n dieses F bijektiv ist. Sie dürfen ohne weitere Begründung verwenden, dass F wohldefiniert und eine lineare Abbildung von [mm] \IR [/mm] - Vektorräumen ist. |
Hallo zusammen,
ich weiss was eine Determinate ist und wie man sie berechnet und auch was bijektiv ist.
Aber das ist schon alles was ich von dieser Aufgabe verstehe.
Wie sieht dann diese Matrix mit dieser F Vorschrift überhaupt aus? Ich habe keine Ahnung.
Kann mir jemand helfen?
Gruss
ps habe die frage auf kein ander forum gepostet.
|
|
| |
|
Nimm als Basis {1, x, [mm] x^{2}, [/mm] ..., [mm] x^{n}}. [/mm] Dann steckst du den Vektor [mm] (a_{0}, [/mm] ..., [mm] a_{n}), [/mm] der zu deinem Polynom q gehört hinein, und erhältst den Vektor [mm] (b_{0}, [/mm] ..., [mm] b_{n}) [/mm] zurück. Hierbei sind die [mm] b_{i} [/mm] die Koeffizienten der Ableitung von qx. Rechne das mal aus, was du für [mm] b_{i} [/mm] kriegst. Dann betrachte die Matrix, die deine [mm] a_{i} [/mm] so wie gewünscht auf die [mm] b_{i} [/mm] wirft. Den Rest bekommst du dann wohl hin.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Mi 19.11.2008 | | Autor: | Giorda_N |
ich versteh immer noch nicht, was genau gefragt ist...
|
|
|
| |
|
> ich versteh immer noch nicht, was genau gefragt ist...
Hallo,
gegeben hast Du eine lineare Abbildung aus dem VR der Polynome v. Höchstgrad n in den Vektorraum der Polynome v. Höchstgrad n.
Es ist lt. Definition die Abbildung F diejenige, welche jedem Polynom p die Ableitung von px zuordnet.
Gefragt ist nun die Determinante von F. Dazu muß man wissen (oder nachschlagen), was mit der Determinante von F gemeint ist, denn normalerweise kennt man ja Determinanten von Matrizen.
Des Rätsels Lösung: die Determinante der Abbildung von F ist die Determinante ihrer darstellenden Matrix.
Damit hat man das nächste Problem: wie kommt man zur darstellenden Matrix? So: nimm eine Basis Deines Vektorraumes, hier z.B. B:=(1, x, [mm] x^2,...,x^n), [/mm] berechne die Bilder der n+1 Basisvektoren. Diese Bilder mußt Du nun als Koordinatenvektoren bzgl B darstellen und als Spalten in eine Matrix geben.
Mal angenommen, Du hättest eine Abbildung [mm] \Phi [/mm] zwischen den obigen Räumen, und es wäre [mm] \phi(x^2)= [/mm] 2 + [mm] x^3+ [/mm] 17 [mm] x^n=2*1+0*x+0*x^2+1*x^3+ 0*x^4+...+0*x^{n+1}+17*x^n.
[/mm]
Der Koordinatenvektor bzgl B wäre [mm] \vektor{2\\0\\0\\1\\0\\\vdots\\0\\17}, [/mm] und weil dies das Bild des dritten Basisvektors ist, kommt er in die dritte Spalte der darstellenden Matrix.
Wie gesagt ist diese Determinante dann zu berechnen.
Zur Bijektivität: F bijektiv <==> det F [mm] \not=0
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:51 Mi 19.11.2008 | | Autor: | Giorda_N |
Dankeschön Angela, du kannst gut erklären!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:12 Do 20.11.2008 | | Autor: | Giorda_N |
Darf ich Euch nun mal mein Vorschlag vorrechnen?
1) ich nehme eine Basis von [mm] \IR(x)^\le^n: \{1,x,x^2,....,x^n \}
[/mm]
2) ich bilde die Basis durch die funktionsvorschrift ab:
1 [mm] \to \bruch{d}{dx} [/mm] (1*x) = 1
x [mm] \to \bruch{d}{dx} [/mm] (x*x) = 2x
[mm] x^2 \to \bruch{d}{dx} (x^2*x) [/mm] = [mm] 3x^2
[/mm]
.
.
.
.
[mm] x^n \to \bruch{d}{dx} (x^n*x) [/mm] = (n+1) [mm] x^n
[/mm]
[mm] \Rightarrow \{1,2x,3x^2,....,(n+1)x^n \}
[/mm]
3) Somit habe ich meine Abbildungsmatrix:
F = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & ........ & 0 \\ 0 & 2 & 0 & ........ & 0 \\ 0 & 0 & 3 & ........ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & ........ & 0 \\ . & . & . & ........ & . \\ . & . & . & ........ & . \\ . & . & . & ......... & . \\ 0 & 0 & 0 & ........ & (n+1) }
[/mm]
4) det (F) = 1*2*3*.....*(n+1)=(n+1)!
Was meint ihr dazu?
Gruss
|
|
|
| |
|
> Darf ich Euch nun mal mein Vorschlag vorrechnen?
>
> 1) ich nehme eine Basis von [mm]\IR(x)^\le^n: \{1,x,x^2,....,x^n \}[/mm]
>
> 2) ich bilde die Basis durch die funktionsvorschrift ab:
>
> 1 [mm]\to \bruch{d}{dx}[/mm] (1*x) = 1
> x [mm]\to \bruch{d}{dx}[/mm] (x*x) = 2x
> [mm]x^2 \to \bruch{d}{dx} (x^2*x)[/mm] = [mm]3x^2[/mm]
> .
> .
> .
> .
> [mm]x^n \to \bruch{d}{dx} (x^n*x)[/mm] = (n+1) [mm]x^n[/mm]
Hallo,
bis hierher perfekt.
>
> [mm]\Rightarrow \{1,2x,3x^2,....,(n+1)x^n \}[/mm]
Das brauchst Du nicht (und es sagt auch nichts aus).
>
> 3) Somit habe ich meine Abbildungsmatrix:
>
> F = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & ........ & 0 \\ 0 & 2 & 0 & ........ & 0 \\ 0 & 0 & 3 & ........ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & ........ & 0 \\ . & . & . & ........ & . \\ . & . & . & ........ & . \\ . & . & . & ......... & . \\ 0 & 0 & 0 & ........ & (n+1) }[/mm]
Genau.
>
> 4) det (F) = 1*2*3*.....*(n+1)=(n+1)!
Jetzt mußt Du noch darüber nachdenken, ob es ein n gibt, für das die Determinante =0 wird.
>
> Was meint ihr dazu?
Es ist gut so.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:18 Do 20.11.2008 | | Autor: | Giorda_N |
Vielen Dank!
also meine Überlegung dazu ob es ein n gibt, für welches det(F) = 0 ist:
Es git kein n [mm] \in \IN, [/mm] für welches die det(F) = 0 ergibt. d.h. auch wenn -1 [mm] \notin \IN [/mm] erlaubt wäre, wäre die det(F) = 1, da 0! = 1 ist.
somit is F bijektiv für alle n [mm] \in \IN
[/mm]
|
|
|
| |
|
> somit is F bijektiv für alle n [mm]\in \IN[/mm]
Hallo,
ja, so sehe ich das auch.
Gruß v. Angela
>
>
|
|
|
|
