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| Aufgabe | Sei n [mm] \in \IN [/mm] und [mm] B_{n}=\pmat{ A... & B \\ C.\vdots.. & D\vdots } \in M_{n}(\IZ) [/mm] mit [mm] A=\pmat{ 2 & -2 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 }, B=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }, C=\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }, D=\pmat{ 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 }
[/mm]
1.Man finde mit Hilfe des Laplaceschen Entwicklungssatzes ganze Zahlen r,s derart, dass det [mm] B_{n}=r*det B_{n-1}+s*det B_{n-2} [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] 3.
2.Man bestimme det [mm] B_{n} [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] |
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Hallo,
da wo Punkte stehen, sind überall Nullen aber ich konnte die Pünktchen nicht richtig abtippen.
Erstmal habe ich eine Frage zu 2. Darf ich hier die Determinante mit dem Kästchensatz berechnen? Denn die Matrix D ist quadratisch, aber die Matrix nicht. Da aber unter A (die Pünktchen) Nullen stehen, könnte ich doch einfach eine Nullzeile zu A hinzufügen und dann den Kästchensatz anwenden. Kann man das so machen?
Zu 1: Ich hab versucht hier die Determinante mit dem Entwicklungssatz zu berechnen und hab zuerst die Determinante von [mm] B_{n-1} [/mm] berechnet und habe dazu zuerst nach der 4.Spalte entwickelt,dann nach der 3. Spalte,dann nach der 1. Spalte und habe dann -2* [mm] \vmat{ 0 & 0... & 0 & 0 \\ & & & \\ 0 & 0... & 2 & 1 \\ 0 & 0... & -1 & 2 }.
[/mm]
Dann hab ich mir gedacht,nun nach der n. Zeile zu entwickeln und habe für diese entwicklung det [mm] B_{n-1}=...=(-1)^{2n-2}*-1*\vmat{ 0 & 0... & 0 \\ 0 & 0... & -1 }+(-1)^{2n}*-1*\vmat{ 0 & 0... & 0 \\ 0 & 0... & 2 }.
[/mm]
Irgendwie kommt mir das nicht richtig vor,stimmt das so? Und kann ich dann auch det [mm] B_{n-2} [/mm] und det [mm] B_{n} [/mm] so berechnen?
Vielen Dank
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:29 Mo 10.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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