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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:29 Fr 12.07.2013 | | Autor: | capri |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für x,y [mm] \in [/mm] IR gilt:
[mm] det\begin{pmatrix}
x & y & 0 & 1 \\
-y & x & -1 & 0 \\
0 & 1 & x & -y \\
-1 & 0 & y & x
\end{pmatrix} [/mm] = [mm] (x^2+y^2+1)^2 [/mm] |
Hallo,
[mm] (x^2+y^2+1)^2 [/mm] = [mm] x^4+y^4+2x^2+2y^2+2x^2y^2+1
[/mm]
stimmt das?
wenn ich nun die Determinante nach der dritten Zeile entwickle habe ich folgendes
[mm] -1*det\begin{pmatrix}
x & 0 & 1\\
-y & -1 & 0 \\
-1 & y & x
\end{pmatrix}+x*det\begin{pmatrix}
x & y & 1 \\
-y & x & 0 \\
1 & 0 & x
\end{pmatrix}- [/mm] (-y) * [mm] det\begin{pmatrix}
x & y & 0 \\
-y & x & -1 \\
-1 & 0 & y
\end{pmatrix}
[/mm]
in der ersten Determinante incl. *(-1) habe ich
[mm] (x^2+y^2+1) [/mm] raus. aus der zweiten [mm] (x^4-x^2+y^2x^2) [/mm] dritte ( [mm] x^2y^2+y^2+y^4)
[/mm]
wenn ich es alles berechne fällt bei mir [mm] x^2 [/mm] raus sonst müsste alles richtig sein, aber bin jetzt alles dreimal durchgegangen ich sehe es leider nicht, kann mir jmd sagen wo der Fehler ist?
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:27 Fr 12.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie, dass für x,y [mm]\in[/mm] IR gilt:
>
> [mm]det\begin{pmatrix}
x & y & 0 & 1 \\
-y & x & -1 & 0 \\
0 & 1 & x & -y \\
-1 & 0 & y & x
\end{pmatrix}[/mm]
> = [mm](x^2+y^2+1)^2[/mm]
> Hallo,
>
> [mm](x^2+y^2+1)^2[/mm] = [mm]x^4+y^4+2x^2+2y^2+2x^2y^2+1[/mm]
> stimmt das?
Rechnen wir es nach:
[mm] $(x^2+y^2+1)^2=(x^2+y^2)^2+2*(x^2+y^2)*1+1^2=x^4+y^4+2(x^2y^2)+2(x^2+y^2)+1$
[/mm]
[mm] $=x^4+y^4+2x^2+2y^2+2x^2y^2+1$
[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> wenn ich nun die Determinante nach der dritten Zeile
> entwickle habe ich folgendes
>
> [mm]-1*det\begin{pmatrix}
x & 0 & 1\\
-y & -1 & 0 \\
-1 & y & x
\end{pmatrix}+x*det\begin{pmatrix}
x & y & 1 \\
-y & x & 0 \\
1 & 0 & x
\end{pmatrix}-[/mm] (-y) * [mm]det\begin{pmatrix}
x & y & 0 \\
-y & x & -1 \\
-1 & 0 & y
\end{pmatrix}[/mm]
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Schau' mal ![[]](/images/popup.gif) hier (klick!).
Die Entwicklung nach der 3. Zeile beginnt mit einem [mm] $+\,$ [/mm] ("Schachbrettmuster":
[mm] \red{+} [/mm] - [mm] \red{+} [/mm] - ...
- [mm] \red{+} [/mm] - [mm] \red{+} [/mm] ...
[mm] \red{+} [/mm] - [mm] \red{+} [/mm] - ...
...)
Die "jeweilige Restmatrix" entsteht hier, indem man die 3.Zeile streicht,
und die [mm] $j\,$-te [/mm] Spalte, wenn man "den Faktor [mm] $a_{3,j}$" [/mm] im Laplaceschen
Entwicklungssatz benutzt, d.h.
[mm] $\red{+}\underbrace{0}_{=a_{3,1}}*\det\pmat{y & 0 & 1 \\ x & -1 & 0 \\ 0 & y & x}\;-\;\underbrace{1}_{=a_{3,2}}*\det\pmat{x & 0 & 1 \\ -y & -1 & 0 \\ -1 & y & x}\red{+}\underbrace{x}_{=a_{3,3}}*\det\pmat{x & y & 1 \\ -y & x & 0 \\ -1 & 0 & x}\;-\;\underbrace{(-y)}_{=a_{3,4}}*\det\pmat{x & y & 0 \\ -y & x & -1 \\ -1 & 0 & y}$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:45 Fr 12.07.2013 | | Autor: | capri |
ich weiß, dass die mit einem plus beginnen aber das habe ich direkt ausgelassen weil es mal 0 ist und direkt verschwindet deswegen direkt bei minus 1 begonnen. Abgesehen davon ändert sich das ja nicht bei mir. 0 * det von irgendwas ist 0, das beeinflusst doch nicht die Aufgabe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:59 Fr 12.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
die Matrix war:
[mm] $A:=\begin{pmatrix} x & y & 0 & 1 \\ -y & x & -1 & 0 \\ 0 & 1 & x & -y \\ -1 & 0 & y & x \end{pmatrix},$
[/mm]
von der willste die Determinante berechnen.
Du hast gesagt: Entwicklung nach der 3. Zeile ergibt:
$ [mm] -1\cdot{}det\begin{pmatrix} x & 0 & 1\\ -y & -1 & 0 \\ -1 & y & x \end{pmatrix}+x\cdot{}det\begin{pmatrix} x & y & 1 \\ -y & x & 0 \\ 1 & 0 & x \end{pmatrix}- [/mm] $ (-y) * $ [mm] det\begin{pmatrix} x & y & 0 \\ -y & x & -1 \\ -1 & 0 & y \end{pmatrix} [/mm] $
Ich habe geantwortet: "
Schau' mal hier (klick!)."
"Die Entwicklung nach der 3. Zeile beginnt mit einem $ [mm] +\, [/mm] $ ("Schachbrettmuster":
$ [mm] \red{+} [/mm] $ - $ [mm] \red{+} [/mm] $ - ...
- $ [mm] \red{+} [/mm] $ - $ [mm] \red{+} [/mm] $ ...
$ [mm] \red{+} [/mm] $ - $ [mm] \red{+} [/mm] $ - ...
...)"
(Das war einfach nur eine Ergänzung.)
Und dann habe ich Dir hingeschrieben, wie die Entwicklung nach der dritten
Zeile wirklich aussieht:
$ [mm] \red{+}\underbrace{0}_{=a_{3,1}}\cdot{}\det\pmat{y & 0 & 1 \\ x & -1 & 0 \\ 0 & y & x}\;-\;\underbrace{1}_{=a_{3,2}}\cdot{}\det\pmat{x & 0 & 1 \\ -y & -1 & 0 \\ -1 & y & x}\red{+}\underbrace{x}_{=a_{3,3}}\cdot{}\det\pmat{x & y & 1 \\ -y & x & 0 \\ -1 & 0 & x}\;-\;\underbrace{(-y)}_{=a_{3,4}}\cdot{}\det\pmat{x & y & 0 \\ -y & x & -1 \\ -1 & 0 & y} [/mm] $
Wenn ich das Deinige
$ [mm] -1\cdot{}det\begin{pmatrix} x & 0 & 1\\ -y & -1 & 0 \\ -1 & y & x \end{pmatrix}+x\cdot{}det\begin{pmatrix} x & y & 1 \\ -y & x & 0 \\ 1 & 0 & x \end{pmatrix}- [/mm] $ (-y) * $ [mm] det\begin{pmatrix} x & y & 0 \\ -y & x & -1 \\ -1 & 0 & y \end{pmatrix} [/mm] $
mit meinem
$ [mm] \red{+}\underbrace{0}_{=a_{3,1}}\cdot{}\det\pmat{y & 0 & 1 \\ x & -1 & 0 \\ 0 & y & x}\;-\;\underbrace{1}_{=a_{3,2}}\cdot{}\det\pmat{x & 0 & 1 \\ -y & -1 & 0 \\ -1 & y & x}\red{+}\underbrace{x}_{=a_{3,3}}\cdot{}\det\pmat{x & y & 1 \\ -y & x & 0 \\ -1 & 0 & x}\;-\;\underbrace{(-y)}_{=a_{3,4}}\cdot{}\det\pmat{x & y & 0 \\ -y & x & -1 \\ -1 & 0 & y} [/mm] $
vergleiche, so steht dort doch NICHT dasselbe. Mir war das eben allerdings
auch nicht so ganz klar, dass Du den Satz im Wesentlichen doch richtig
verwendet hattest - zu später Stunde wird man "blind". (Keine Ahnung,
warum ich nicht gesehen hatte, dass wir "fast" das Gleiche da stehen
haben.)
Du hast einfach nur einen kleinen Schreibfehler:
Bei "Deinem" Summanden
[mm] $x\cdot{}\det\begin{pmatrix} x & y & 1 \\ -y & x & 0 \\ \red{1} & 0 & x \end{pmatrix}$
[/mm]
stimmt der Eintrag der Matrix in der 3. Zeile und 1. Spalte nicht (die rot
markierte 1):
Vergleiche es einfach mit meinem Ergebnis der Entwicklung nach der 3. Zeile!
P.S. Wie gesagt: Sorry, zu so später Stunde dachte ich wirklich, dass Du da
mehr falsch gemacht hättest. Ich hätte einfach nochmal genauer hingucken
sollen. ^^
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:02 Fr 12.07.2013 | | Autor: | capri |
kein problem :) danke ja wenn ich die minus eins hinschreibe ist es richtig und ich habe [mm] 2x^2 [/mm] :) ja hab mir es auch dreimal immer wieder angeguckt nachts nichts gefunden :D
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