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huhu leute, mal nur ne kurze allgemeine frage zur bestimmung der dimension einer matrix:
wenn die determinante einer matrix [mm] \not= [/mm] 0 ist, ist der Rang einer quadratischen Matrix der form (nxn) ja n. also der maximale rang. Ist dann auch die Dimension = n?
also als beispiel vlt:
[mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 } [/mm] => D = 4 - 6 = -2 [mm] \not= [/mm] 0, also wäre der Rang der (2x2) - Matrix 2, die Dimension dann auch oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:00 Mi 23.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> huhu leute, mal nur ne kurze allgemeine frage zur
> bestimmung der dimension einer matrix:
Was ist die Dimension einer Matrix ? Meinst Du ihr Format, also 2 [mm] \times [/mm] 2 oder 3 [mm] \times [/mm] 3 , ... ?
Oder meinst Du die Dimension des Bildraumes, wenn Du die Matrix als lineare Abbildung auffasst ?
> wenn die determinante einer matrix [mm]\not=[/mm] 0 ist, ist der
> Rang einer quadratischen Matrix der form (nxn) ja n. also
> der maximale rang. Ist dann auch die Dimension = n?
Ist z.B. A eine reelle n [mm] \times [/mm] n - Matrix und def. man $f: [mm] \IR^n \to \IR^n$ [/mm] durch f(x)=Ax, so gilt:
det(A) [mm] \ne [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] Rang(A)=n [mm] \gdw [/mm] dim [mm] f(\IR^n)=n.
[/mm]
FRED
>
> also als beispiel vlt:
>
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }[/mm] => D = 4 - 6 = -2 [mm]\not=[/mm] 0,
> also wäre der Rang der (2x2) - Matrix 2, die Dimension
> dann auch oder?
>
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hey fred, hast mich noch nicht aufgegeben?^^ lieb von dir^^
die Aufgabe gehört eig noch zur andren von mir gestellten, wollte mich aber nur kurz absichern weil ich denke dass ich es hinkriege...^^
sprich Unterraum W1:
[mm] \pmat{ x & -x \\ y & z }
[/mm]
ich habs schon auf Invertierbarkeit geprüft, was machbar ist. Daher ist der Rang der Matrix ja 2 ( Oder Unterraum ;P ) sprich auch die Dimension oder?
bitte sag mir nicht wenn das falsch ist^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:24 Mi 23.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> hey fred, hast mich noch nicht aufgegeben?^^ lieb von
> dir^^
Gell !
>
> die Aufgabe gehört eig noch zur andren von mir gestellten,
> wollte mich aber nur kurz absichern weil ich denke dass ich
> es hinkriege...^^
>
> sprich Unterraum W1:
>
> [mm]\pmat{ x & -x \\ y & z }[/mm]
>
> ich habs schon auf Invertierbarkeit geprüft, was machbar
> ist. Daher ist der Rang der Matrix ja 2 ( Oder Unterraum ;P
> ) sprich auch die Dimension oder?
>
> bitte sag mir nicht wenn das falsch ist^^
Wenn ich es nicht mache, machts jemand anders ....
Es ist falsch:
[mm]det(\pmat{ x & -x \\ y & z })[/mm]= xz+xy=x(y+z)=0 [mm] \gdw [/mm] x=0 oder y=-z
FRED
>
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hmm du hast natürlich recht, wenn man solch werte für die Variablen einsetzten würde wäre die Determinante kleiner als 2, aber man könnte ja generell die Variablen so wählen, dass die Matrix keinen rang hätte oder? Müsste man selbst ne vorraussetzung machen wie: unter der Vorraussetzung, dass x [mm] \not= [/mm] 0 ist etc?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:32 Mi 23.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> hmm du hast natürlich recht, wenn man solch werte für die
> Variablen einsetzten würde wäre die Determinante kleiner
> als 2, aber man könnte ja generell die Variablen so
> wählen, dass die Matrix keinen rang hätte oder? Müsste
> man selbst ne vorraussetzung machen wie: unter der
> Vorraussetzung, dass x [mm]\not=[/mm] 0 ist etc?
Worauf willst Du eigentlich hinaus ?
Fest steht: für x=0 oder y=-z ist die Determinante =0 . Da gibts nix zu rütteln.
Natürlich lassen sich Werte x,y, z finden, so dass die Det. [mm] \ne [/mm] 0 ist.
FRED
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naja ich will die Dimension bestimmen^^ und die steht ja im zusammenhang mit dem rang der matrix. oder bestimmt man die dimension eines unterraums anders?^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:41 Mi 23.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> naja ich will die Dimension bestimmen^^ und die steht ja im
> zusammenhang mit dem rang der matrix. oder bestimmt man die
> dimension eines unterraums anders?^^
Kann es sein, dass Du die Dimension von
$ [mm] W_1=\{\pmat{ x & -x \\ y & z }: x,y,z \in F\} [/mm] $
bestimmen sollst ? Wenn ja, so hat das mit der Det . einer Matrix aus [mm] W_1 [/mm] nix zu tun.
FRED
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yoah genau das fred. kannst du mir n Ansatz geben wie man die Dimension bestimmt? ich kenn sie wenn überhaupt nur aus Matrizenrechnungen
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> yoah genau das fred. kannst du mir n Ansatz geben wie man
> die Dimension bestimmt? ich kenn sie wenn überhaupt nur
> aus Matrizenrechnungen
Hallo,
Du möchtest also, wie nach endlich langer Zeit herausgefunden wurde, die Dimension von $ [mm] W_1=\{\pmat{ x & -x \\ y & z }: x,y,z \in F\} [/mm] $ bestimmen.
Vielleicht verrätst Du die Aufgabenstellung in Zukunft gleich mit.
Dann brauchen wir nämlich nur beim Lösen zu helfen, und nicht noch zwischendurch die Kristallkugel putzen, um die Aufgabe zu den Fragen zu erfahren.
Daß Du "Dimension" nur aus Matrizenrechnungen kennst, ist 1. ein Trauerspiel und zweitens ist mir nicht klar, wo beim Rechnen mit Matrizen "Dimension" vorkommt.
Du kannst zeigen, daß [mm] W_1 [/mm] ein Untervektorraum des Raumes der [mm] 2\times [/mm] 2-Matrizen ist.
Also ist es ein Vektorraum.
Jeder Vektorraum hat eine Basis, und die Dimension ist die Anzahl der Elemente der Basis.
Basis: linear unabhängiges Erzeugendensystem.
Du kannst nun mal ein möglichst kleines Erzeugendensystem suchen, also ganz konkrete Matrizen, mit welchen Du Matrizen der Gestalt [mm] \pmat{ x & -x \\ y & z } [/mm] erzeugen kannst.
Ich mache Dir das mal an einem anderen Beispiel vor:
sei [mm] W_2:=\{\pmat{ a & 0 \\ 0 & d }: a,d.\in F\}.
[/mm]
Jede Matrix [mm] \pmat{ a & 0 \\ 0 & d } [/mm] kann man schreiben als [mm] \pmat{ a & 0 \\ 0 & d }=a*\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }+ d*\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }.
[/mm]
Die beiden Matrizen erzeugen [mm] W_2.
[/mm]
man kann zeigen, daß sie linear unabhängig sind. Also sind sie zusammen eine Basis von [mm] W_2. [/mm] Also hat [mm] W_2 [/mm] die Dimension 2.
Gruß v. Angela
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