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| Aufgabe | Berechnen Sie das charakteristische Polynom von
[mm] \pmat{ 5 & -1 & -3 & 2 & -5 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & -2 \\ 0 &-1 & 0 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 & 1} [/mm] |
Wie ich das charakteristische Polynom bestimme ist mir vom Prinzip klar, aber wie berechne ich aus diesem Monstrum am besten die Determinante? Ich seh leider nicht was ich umstellen muss und mit welcher Methode es am einfachsten geht. Kann mir da bitte jemand einen Tipp geben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:00 Mi 28.06.2006 | | Autor: | statler |
Hallo SusiSommer!
> Berechnen Sie das charakteristische Polynom von
> [mm]\pmat{ 5 & -1 & -3 & 2 & -5 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & -2 \\ 0 &-1 & 0 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 & 1}[/mm]
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> Wie ich das charakteristische Polynom bestimme ist mir vom
> Prinzip klar, aber wie berechne ich aus diesem Monstrum am
> besten die Determinante? Ich seh leider nicht was ich
> umstellen muss und mit welcher Methode es am einfachsten
> geht. Kann mir da bitte jemand einen Tipp geben?
... schlage ich vor, das 'Monstrum' nach der 2. Zeile zu entwickeln, und dann muß man wohl in den sauren Apfel beißen und einige 3x3-Determinanten ausrechnen.
Gruß aus HH-harburg
Dieter
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Erst mal vielen Dank für die schnelle Antwort.
Aber anscheinend hab ich Laplace noch nicht richtig verstanden. Wieso muss ich 3x3 Matrizen berechnen? Hab ich nicht 4x4-Matrizen?
det(A) = [mm] \summe_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} det(B_{ij})
[/mm]
wobei bei B die i-te Zeile und die j-te Spalte von A gestrichen wurden
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:16 Mi 28.06.2006 | | Autor: | statler |
aber doch nur eine, und die kannst du wieder entwickeln ....
Gruß
Dieter
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Entschuldigung, aber anscheinend steh ich jetzt total auf dem Schlauch.
Wenn ich nach der zweiten Zeile entwickle, dann heißt das doch ich streiche die zweite Zeile und dann nacheinander die 1., 2., 3., 4. und fünfte Spalte und berechne von diesen so erhaltenen Matrizen die Determinanten. Die kann ich dann in die Formel einsetzen. Dann habe ich aber doch jeweils 4x4 Matrizen (weil je eine Zeile und eine Spalte gestrichen wurde) und davon fünf Stück in meiner Formel.
So hab ich das bis jetzt verstanden, aber anscheinend ist das nicht ganz richtig.
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Hallo SusiSommer,
[mm]\begin{matrix}
\vmat{ 5 & -1 & -3 & 2 & -5 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & -2 \\ 0 &-1 & 0 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 & 1} &=& -0 +2\vmat{ 5 & -3 & 2 & -5 \\1 & 1 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 1}-0+0-0 \\
\ &=& 2\left(+0-0+3\vmat{ 5 & -3 & -5 \\1 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1}-1\vmat{ 5 & -3 & 2 \\1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1}\right) \end{matrix}[/mm]
Danke für die Mitteilung von Maceo
Vorzeichen zum 2. Mal repariert!
Gruß Karthagoras
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:38 Mi 28.06.2006 | | Autor: | SusiSommer |
Vielen Dank für eure Hilfe und Geduld.
Hab die [mm] a_{ij} [/mm] falsch eingesetzt und so keine Nullen erhalten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:23 Mi 28.06.2006 | | Autor: | Maceo |
Sorry, aber die Vorzeichen stimmen nicht ganz.
Wenn du diese (5x5)-Matrix nach der 2.Zeile (d.h. deine Zeilenindex ist auf i:=2 festgelegt und dein Spaltenindex j läuft von 1 bis 5) mittels Laplace entwickelst, geht das folgendermaßen:
det A = [mm] \summe_{j=1}^{5} (-1)^{2+j} [/mm] * [mm] a_{2j} [/mm] * det [mm] A_{2j} [/mm] =
$ [mm] \begin{matrix} \vmat{ 5 & -1 & -3 & 2 & -5 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & -2 \\ 0 &-1 & 0 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 & 1} &=& (-1)^{2+1} *0 * detA_{21} +(-1)^{2+2} *2 *\vmat{ 5 & -3 & 2 & -5 \\1 & 1 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 1}+(-1)^{2+3} *0 *detA_{23}+(-1)^{2+4} *0 *detA_{24}+(-1)^{2+5} *0 *detA_{25} \\ \ &=& 2 *\left((-1)^{3+1}*0 *detC_{31}+(-1)^{3+2}*0 *detC_{32}+(-1)^{3+3} * 3 * \vmat{ 5 & -3 & -5 \\1 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1}+(-1)^{3+4} * 1 * \vmat{ 5 & -3 & 2 \\1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1}\right) \end{matrix} [/mm] $
wobei [mm] C=(c_{ij})_{i,j=1,...,4} [/mm] die (4x4)-Matrix ist, die nach der ersten Laplace-Entwickelung übrig bleibt. Ich hoffe das war ausführlich genug.
Viele Grüße,
Georg
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