Determinante durch vollst. Ind < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:34 Sa 14.01.2006 | | Autor: | cruemel |
| Aufgabe | Seien $K$ ein Körper, $a,b [mm] \in [/mm] K$ und $A [mm] \in [/mm] M(n [mm] \times [/mm] n,K)$ die Matrix
$A:= [mm] \pmat{ b & a & a & \dots & a \\ a& b & a & \dots & a \\ a & a & b & \dots & a \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a & a & \dots & a& b }$
[/mm]
Zeige:
[mm] $\det(A) [/mm] = [mm] (b-a)^{n-1}(b+(n-1)a)$ [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo alle!
Versuche mich gerade an obiger Aufgabe und komme leider nicht mehr weiter. Ich denke es müsste doch eigentlich mit Induktion zu beweisen sein. Induktionsanfang ist kein Problem, nur dann bekomme ich mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz (nach der ersten Zeile) verschiedene n-1xn-1 Matrizen deren Determinante ich nicht mehr berechnen kann. (Außer einer, die erste hat wieder alle b in der Diagonale stehen). Muss ich dann die anderen Untermatrizen umformen(Wie?)? Hat jemand eine Idee?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:10 Sa 14.01.2006 | | Autor: | andreas |
hallo
hier bietet es sich an, zuerst einmal z.b. die erste zeile von allen anderen abzuziehen, dann erhälst du eine matrix in einer einfacheren form, deren determinante sich recht schnell berechnen lässt.
grüße
andreas
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 15:37 Sa 14.01.2006 | | Autor: | cruemel |
Hab ich ja schon alles versucht. Aber wenn ich die Matrix umforme kann ich doch die Induktionsvoraussetzung nicht mehr anwenden. Dazu muss sie doch in der Form [mm] \pmat{ b & a & a & . & . & a \\ a& b & a & . & . & a \\ a & a & b & . & . & a \\ . & . & . & . & . & . \\ a & a & . & . & a& b } [/mm] sein und die Nullen helfen mir nicht. Oder steh ich momentan auf der Leitung?
Crümel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:37 Mo 16.01.2006 | | Autor: | matux |
Hallo cruemel,
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Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
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