Determinante einer 4x4-Matrix < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:17 Do 04.08.2011 | | Autor: | dragon89 |
| Aufgabe | A = [mm] \pmat{ 2 & -1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & t & 5 \\ -1 & 1 & 1 & 8 \\ 2 & -1 & 0 & 3}
[/mm]
Zeile 2 wird mit 2 multipliziert und die 1. Zeile zur 2. Zeile addiert.
Zeile 3 wird mit 2 multipliziert und die 1. Zeile zur 3. Zeile addiert.
Zeile 4 wird mit -1 multipliziert und die 1. Zeile zur 4. Zeile addiert.
--> [mm] \pmat{ 2 & -1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 2t & 12 \\ 0 & 1 & 2 & 18 \\ 0 & 0 & 0 & -1 }
[/mm]
Zeile 3 wird mit -5 multipliziert und die 2. Zeile durch 3. Zeile addiert.
--> [mm] \pmat{ 2 & -1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 2t & 12 \\ 0 & 0 & 2t-10 & -78 \\ 0 & 0 & 0 & -1 }
[/mm]
det(A) = 2*2*(-1)*(-5)*2*5*(2t-10)*(-1)
= -400t + 2000 |
Wo ist der Fehler in der obigen Determinantenberechnung mittels Gauß?
Gruß
dragon89
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:33 Do 04.08.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo,
[mm] \red{Edit:} [/mm] Siehe hier.
Gruß
barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Do 04.08.2011 | | Autor: | dragon89 |
Aber die Determinante ist doch soweit ich weiß eindeutig.
Für z.B. t = 1:
5 - 1 = 4
-400 * 1 + 2000 = 1600
Die Ergebnisse sind offensichtlich ungleich.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:45 Do 04.08.2011 | | Autor: | barsch |
Hey,
> Aber die Determinante ist doch soweit ich weiß eindeutig.
ja, mein Fehler. Habe nicht aufgepasst. Sorry. Aber du hast ja wenigstens aufgepasst. Hatte meinen Beitrag zwischenzeitlich geändert, aber da hattest du sicher die fehlerhafte Antwort bereits gelesen.
> Für z.B. t = 1:
>
> 5 - 1 = 4
> -400 * 1 + 2000 = 1600
>
> Die Ergebnisse sind offensichtlich ungleich.
Du hast natürlich recht.
Wie bist du denn bei deiner Berechnung der Determinante vorgegangen? Gauß hast du korrekt angewendet.
Gruß
barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 Do 04.08.2011 | | Autor: | dragon89 |
Hi,
eigentlich habe ich alle Schritte im ersten Beitrag beschrieben.
Dort steht auch das ich Zeile 2 mit 2 multipliziert habe, Zeile 3 mit 2, Zeile 4 mit -1 und Zeile 3 mit -5. Diese Faktoren müssen also zum Produkt der Diagonalen dazu multipliziert werden, was ich auch getan habe:
det(A) = 2*2*(-1)*(-5)*2*5*(2t-10)*(-1)
= -400t + 2000
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:31 Do 04.08.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo,
A = [mm] \pmat{ 2 & -1 & 0 & 2 \\
-1 & 3 & t & 5 \\
-1 & 1 & 1 & 8 \\
2 & -1 & 0 & 3} [/mm],
> --> [mm] A_{Dreiecksmatrix}:=\pmat{ 2 & -1 & 0 & 2 \\
0 & 5 & 2t & 12 \\
0 & 0 & 2t-10 & -78 \\
0 & 0 & 0 & -1 } [/mm]
ist korrekt.
Nun ist:
[mm]Det(A_{Dreiecksmatrix})=Det(\pmat{ 2 & -1 & 0 & 2 \\
0 & 5 & 2t & 12 \\
0 & 0 & 2t-10 & -78 \\
0 & 0 & 0 & -1 } )=2*5*(2t-10)*(-1)=100-20t[/mm]
Jetzt müssen wir deine elementaren Zeilenumformungen und die Eigenschaften der Determinante berücksichtigen und dann ist:
[mm]Det(A_{Dreiecksmatrix})=2*2*(-1)*(-5)*Det(A)[/mm]
Und somit ist
[mm]Det(A)=Det(A_{Dreiecksmatrix})*\frac{1}{2*2*(-1)*(-5)}=\frac{100-20t}{20}=5-t[/mm].
Schwere Geburt, aber was lange währt, wird endlich gut.
Gruß
barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:48 Do 04.08.2011 | | Autor: | dragon89 |
Alles klar. So funktioniert es!
Vielen Dank.
Gruß
dragon89
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 Do 04.08.2011 | | Autor: | barsch |
[mm] \red{Edit:} [/mm] Siehe Antwort hier.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:56 Do 04.08.2011 | | Autor: | barsch |
Hi,
sorry, ich denke, wir müssen uns beide noch einmal die Rechenregeln für Determinanten ansehen ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
Du multiplizierst ja mit Skalaren. Und es ist natürlich
[mm] $det(x1,...,\lambda*x_i,...,x_n)=\lambda*det(x1,...,x_i,...,x_n)$
[/mm]
Deswegen hast du auch ein Vielfaches von (5-t). Du musst das natürlich in deiner Berechnung beachten.
Am besten wäre natürlich eine alternative Vorgehensweise, wie z.B. die Entwicklung nach LaPlace:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Determinante_%28Mathematik%29#Laplacescher_Entwicklungssatz
Gruß
barsch
sorry, dass ich dich erst in die Irre geführt habe. Aber du hast ja mitgedacht.
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