Determinante einer 5x5 Matrix < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen!
Ich muss folgende Aufgabe lösen:
Berechne die Determinante der 5x5-Matrix
1 1 1 1 1
0 0 0 2 3
A= 0 0 2 3 0
0 2 3 0 0
2 3 0 0 0
Meine Lösung hat aber Fehler, denn die Determinante sollte 55 geben und bei mir gibt es -440. Also wo ist der Fehler oder wo sind die Fehler?
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 2 3 0 0 0 2 3 0 0
det(A)= -det 0 0 2 3 0 = -det 0 0 2 3 0
0 0 0 2 3 0 0 0 2 3
2 3 0 0 0 0 1 -2 -2 -2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 2 3 0 0 0 2 3 0 0
-det 0 0 2 3 0 = -det 0 0 2 3 0
0 0 0 2 3 0 0 0 2 3
0 0 -7 -4 -4 0 0 0 13 -8
1 1 1 1 1
0 2 3 0 0
-det 0 0 2 3 0
0 0 0 2 3
0 0 0 0 -55
[mm] \Rightarrow [/mm] det(A)=-(1*2*2*2*(-55)=-440
Was stimmt nicht?!
Eine Regel besagt ja:
Werden die Elemente einer beliebigen Zeile (oder Spalte) mit einem reellen Skalar y multipliziert, so multipliziert sich die Determinante mit y.
Doch wie muss ich die jetzt anwenden??
Besten Dank schon im voraus!!
Liebe Grüsse
Babybel
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Hallo Babybel,
> Hallo zusammen!
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> Ich muss folgende Aufgabe lösen:
> Berechne die Determinante der 5x5-Matrix
>
> [mm] $A=\pmat{1&1&1&1&1\\0&0&0&2&3\\0&0&2&3&0\\0&2&3&0&0\\2&3&0&0&0}$
[/mm]
>
> Meine Lösung hat aber Fehler, denn die Determinante sollte
> 55 geben und bei mir gibt es -440. Also wo ist der Fehler
> oder wo sind die Fehler?
Die Fehler sind dort, wo du Zeilen mit Skalaren multipliziert hast, das ändert die Determinante.
Multiplizierst du eine Zeile mit [mm] $k\neq [/mm] 0$, so musst du das durch [mm] $\frac{1}{k}\cdot{}\operatorname{det}$ [/mm] ausgleichen ...
Das ist 3mal passiert, es fehlt ein ausgleichender Faktor [mm] $-\frac{1}{8}$
[/mm]
Damit passt es auch.
Ich versuche mal in dem Gewurschtel die Stellen zu markieren.
Besser, du benutzt den Formeleditor für die Matrizen, dann kann man leichter was dranschreiben ...
Ach, das klappt nicht, ich editiere die Matrizen Klicke mal auf eine Matrix, dann siehst du den code ...
*Grummel*
Zu allem Überfluss wird der code gerade nicht umgewandelt ...
> [mm] $A=\pmat{1&1&1&1&1\\0&0&0&2&3\\0&0&2&3&0\\0&2&3&0&0\\2&3&0&0&0}$
[/mm]
> [mm] $det(A)=-det\pmat{1&1&1&1&1\\0&2&3&0&0\\0&0&2&3&0\\0&0&0&2&3\\2&3&0&0&0}=-det\pmat{1&1&1&1&1\\0&2&3&0&0\\0&0&2&3&0\\0&0&0&2&3\\0&1&-2&-2&-2}$ [/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Soweit ist es ok.
Nun kommt ein Fehler:
> [mm] $=-det\pmat{1&1&1&1&1\\0&2&3&0&0\\0&0&2&3&0\\0&0&0&2&3\\0&0&-7&-4&-4}$
[/mm]
Hier hast du Zeile 5 mit 2 multipliziert und das (-1)-fache der 2.Zeile darauf addiert.
Aber die Multiplikation mit 2 musst du durch den Faktor [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] ausgleichen ...
Dasselbe passiert noch zweimal.
Schaue nochmal genau die Rechnung durch.
Den Rest findest du schon, falls nicht frage nochmal nach ...
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] det(A)=-(1*2*2*2*(-55)=-440
>
> Was stimmt nicht?!
> Eine Regel besagt ja:
> Werden die Elemente einer beliebigen Zeile (oder Spalte)
> mit einem reellen Skalar y multipliziert, so multipliziert
> sich die Determinante mit y.
>
> Doch wie muss ich die jetzt anwenden??
>
> Besten Dank schon im voraus!!
>
> Liebe Grüsse
> Babybel
>
>
>
LG
schachuzipus
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1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 2 3 0 0 0 2 3 0 0
det(A)= (1) -det 0 0 2 3 0 = (2) -det 0 0 2 3 0
0 0 0 2 3 0 0 0 2 3
2 3 0 0 0 0 1 -2 -2 -2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 2 3 0 0 0 2 3 0 0
= (3) -det 0 0 2 3 0 = (4) -det 0 0 2 3 0
0 0 0 2 3 0 0 0 2 3
0 0 -7 -4 -4 0 0 0 13 -8
1 1 1 1 1
0 2 3 0 0
= (5) -det 0 0 2 3 0
0 0 0 2 3
0 0 0 0 -55
det(A)=-(1*2*2*2*(-55)=-440
Hmm...also nochmal:
Bei (1) habe ich die 2. Zeile mit der 4. vertauscht, desshalb das - vor der Determinante.
Bei (2) multipliziere ich die 5. Zeile mit 2, desshalb muss ich 1/2 vor die Determinante nehmen.
Bei (3) multipliziere ich die 5. Zeile wieder mit 2, desshalb muss ich nochmals 1/2 vor die Determinante nehmen. Doch ich multipliziere auch die 3. Zeile mit 7. Kann ich das vernachlässigen????
Bei (4) multipliziere ich die 5. Zeile wieder mit 2, desshalb muss ich nochmals 1/2 vor die Determinante nehmen. Doch ich multipliziere auch die 4. Zeile mit 13. Kann ich das wieder vernachlässigen??? Wenn ja, wieso??
Liebe Grüsse
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http://de.wikipedia.org/wiki/Determinante_(Mathematik)