Determinante einer 6x6-Matrix < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:08 Mo 21.05.2012 | | Autor: | Myth |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Determinante der Matrix
[mm] A=\begin{pmatrix} -1 & 2 & -3 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & -2 & 0 & 0 & 0 & 24 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & 2 & -3 \end{pmatrix} [/mm] |
Hallo zusammen!
Also ich hab die Determinante einer 4x4-Matrix bereits nach Laplace (spalten-)entwickelt. Jetzt soll ich die Determinante einer 6x6-Matrix berechnen, komme aber mit dieser Zeilen/Spalten-Entwicklung nicht zum Ziel. Geht das irgendwie anders, dass man die 6x6-Matrix auf mehrere 3x3-Matrizen reduziert?
Gruß Myth
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:20 Mo 21.05.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo Myth!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Berechnen Sie die Determinante der Matrix
>
> [mm]A=\begin{pmatrix} -1 & 2 & -3 & 0 & 0 & 0 \\
2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
4 & -2 & 0 & 0 & 0 & 24 \\
0 & 0 & 0 & 2 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 5 & 2 & -3 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Hallo zusammen!
>
> Also ich hab die Determinante einer 4x4-Matrix bereits nach
> Laplace (spalten-)entwickelt. Jetzt soll ich die
> Determinante einer 6x6-Matrix berechnen, komme aber mit
> dieser Zeilen/Spalten-Entwicklung nicht zum Ziel. Geht das
> irgendwie anders, dass man die 6x6-Matrix auf mehrere
> 3x3-Matrizen reduziert?
Dadurch, dass die Matrix sehr viele 0-Einträge enthält, erleichtert das die "Entwicklung nach LaPlace" bereits stark.
Entwickle zuerst nach der 3. Spalte - die Spalte hat die meisten Nulleinträge. So hast du im 2. Schritt "nur" noch eine [mm]5\times{5}[/mm]-Matrix.
Im nächsten Schritt entwickelst du dann wieder nach der Zeile/Spalte mit den meisten 0-Einträgen. Dann sind nur noch [mm] $4\times{4}$-Matrizen [/mm] im Spiel.
usw.
Diese Matrizen (groß & mit vielen 0-Einträgen) sind eigentlich auch typisch zum Üben von LaPlace.
> Gruß Myth
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:35 Mo 21.05.2012 | | Autor: | Myth |
Danke für die schnelle Antwort!
Also nach der ersten Entwicklung bekomme ich dann:
det(A) = [mm] -3*det\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & -2 & 0 & 0 & 24 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 2 & -3 \end{pmatrix}
[/mm]
Dann würde ich z.B. nach der 4.Spalte weiterentwickeln, dann bekäme ich eine 4x4-Matrix:
det(A) = [mm] -1*det\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & -2 & 0 & 24 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & -3 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] 1*det\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & -2 & 0 & 24 \\ 0 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 5 & -3 \end{pmatrix} [/mm] - [mm] 2*det\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & -2 & 0 & 24 \\ 0 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}
[/mm]
Wie gehts dann weiter? Spielt der Faktor -3 nach der zweiten Entwicklung noch eine Rolle oder muss ich jetzt einfach jede der drei 4x4-Matrizen wieder jeweils entwickeln und hätte dann 6 3x3-Matrizen?
Gruß Myth
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:51 Mo 21.05.2012 | | Autor: | barsch |
> Danke für die schnelle Antwort!
>
> Also nach der ersten Entwicklung bekomme ich dann:
>
> det(A) = [mm]-3*det\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
4 & -2 & 0 & 0 & 24 \\
0 & 0 & 2 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 5 & 2 & -3 \end{pmatrix}[/mm]
Ja!
> Dann würde ich z.B. nach der 4.Spalte weiterentwickeln,
warum? Die 1. Spalte hat z.B. mehr 0-Einträge.
> dann bekäme ich eine 4x4-Matrix:
>
> det(A) = -3*([mm]-1*det\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\
4 & -2 & 0 & 24 \\
0 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 5 & -3 \end{pmatrix}[/mm]+[mm]1*det\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\
4 & -2 & 0 & 24 \\
0 & 0 & 2 & -1 \\
0 & 0 & 5 & -3 \end{pmatrix}[/mm]-[mm]2*det\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\
4 & -2 & 0 & 24 \\
0 & 0 & 2 & -1 \\
0 & 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}[/mm])
du musst den Faktor -3 schon mitnehmen!
>
> Wie gehts dann weiter? Spielt der Faktor -3 nach der
> zweiten Entwicklung noch eine Rolle oder muss ich jetzt
> einfach jede der drei 4x4-Matrizen wieder jeweils
> entwickeln und hätte dann 6 3x3-Matrizen?
Du musst für jede der 3 Matrizen wieder nach LaPlace entwickeln. Wie viele Matrizen du dabei erhälst, hängt davon ab, nach welcher Zeile/Spalte du jeweils entwickelst.
Wenn du bei [mm]3\times{3}[/mm]- oder [mm]2\times{2}[/mm]-Matrizen angelangt bist, kannst du auch auf andere Methoden zurückgreifen. Z.B. Sarrus-Regel bei [mm]3\times{3}[/mm]-Matrizen.
>
> Gruß Myth
Gruß
barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:06 Di 22.05.2012 | | Autor: | Myth |
> > Dann würde ich z.B. nach der 4.Spalte weiterentwickeln,
>
> warum? Die 1. Spalte hat z.B. mehr 0-Einträge.
>
ohja, klar, hab ich vercheckt...
also ich hab dann:
det(A) = [mm] -3*det\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & -2 & 0 & 0 & 24 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 2 & -3 \end{pmatrix}
[/mm]
Entwicklung nach der ersten Spalte:
det(A) = [mm] -3*[2*det\begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 & 24 \\ 0 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 2 & -3 \end{pmatrix} [/mm] - [mm] 4*det\begin{pmatrix} 1 & 0& 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 2 & -3 \end{pmatrix}]
[/mm]
dann entwickel ich wieder jeweils nach der ersten Spalte und erhalte:
det(A) = [mm] -3*[2*[-2*det\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 5 & 2 & -3 \end{pmatrix}] [/mm] - [mm] 4*[1*det\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 5 & 2 & -3\end{pmatrix}]]
[/mm]
Stimmt das so?
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Hallo Myth,
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> > > Dann würde ich z.B. nach der 4.Spalte weiterentwickeln,
> >
> > warum? Die 1. Spalte hat z.B. mehr 0-Einträge.
> >
>
> ohja, klar, hab ich vercheckt...
>
> also ich hab dann:
>
> det(A) = [mm]-3*\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
4 & -2 & 0 & 0 & 24 \\
0 & 0 & 2 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 5 & 2 & -3 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Entwicklung nach der ersten Spalte:
>
> det(A) = [mm]-3*[2*det\begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 & 24 \\
0 & 2 & 1 & -1 \\
0 & 2 & 1 & 0 \\
0 & 5 & 2 & -3 \end{pmatrix}[/mm]
> - [mm]4*det\begin{pmatrix} 1 & 0& 0 & 0 \\
0 & 2 & 1 & -1 \\
0 & 2 & 1 & 0 \\
0 & 5 & 2 & -3 \end{pmatrix}][/mm]
>
> dann entwickel ich wieder jeweils nach der ersten Spalte
> und erhalte:
>
> det(A) = [mm]-3*[2*[-2*det\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\
2 & 1 & 0 \\
5 & 2 & -3 \end{pmatrix}][/mm]
> - [mm]4*[1*det\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\
2 & 1 & 0 \\
5 & 2 & -3\end{pmatrix}]][/mm]
>
>
> Stimmt das so?
Ja, bis hierhin ist alles bestens!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:29 Di 22.05.2012 | | Autor: | Myth |
> > dann entwickel ich wieder jeweils nach der ersten Spalte
> > und erhalte:
> >
> > det(A) = [mm]-3*[2*[-2*det\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\
2 & 1 & 0 \\
5 & 2 & -3 \end{pmatrix}][/mm]
> > - [mm]4*[1*det\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\
2 & 1 & 0 \\
5 & 2 & -3\end{pmatrix}]][/mm]
> Ja, bis hierhin ist alles bestens!
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
Gut, dann ist die Determinante der 3x3-Matrix:
[mm]det\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 5 & 2 & -3 \end{pmatrix} = 2*1*(-3) + 1*0*5 + (-1)*2*2 - 5*1*(-1) - 2*0*2 - (-3)*2*1 = 1[/mm]
eingesetzt in det(A) liefert dann:
[mm]det(A) = -3*[2*(-2)-4] = 24[/mm]
Ist das auch richtig?
Gruß Myth
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:47 Di 22.05.2012 | | Autor: | Myth |
Dann vielen Dank an barsch und schachuzipus für die schnelle Hilfe!!!!
Gruß Myth
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
