Determinante einer Matrix < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:19 Di 17.01.2006 | | Autor: | Lauch |
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:29 Mi 18.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo Lauch!
Nach dem Homomorphiesatz gilt ja (wenn man nach dem Tipp vorgeht):
[mm] $Gl_2(\IF_p)/Sl_2(\IF_p) \cong \IF_p^{\star}$,
[/mm]
also:
[mm] $|Sl_2(\IF_p)| [/mm] = [mm] \frac{|Gl_2(\IF_p)|}{|\IF_p^{\star}|} [/mm] = [mm] \frac{(p^2-1) \cdot (p^2-p)}{p-1} [/mm] = [mm] p^3-p$.
[/mm]
Beim zweiten Teil muss es aber [mm] $Sl_2(\IF_{\red{2}})$ [/mm] lauten, oder?
Gehe dann so vor wie im Tipp beschrieben:
Die Elemente von [mm] $Sl_2(\IF_2)$ [/mm] sind ja
[mm] $\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}$, $\pmat{1 & 1 \\ 0 & 1}$, $\pmat{0 & 1 \\ 1 & 0}$, $\pmat{0 & 1 \\ 1 & 1}$, $\pmat{1 & 1 \\ 1 & 0}$ [/mm] und [mm] $\pmat{1 & 0 \\ 1 & 1}$
[/mm]
(kurzer Abgleich: [mm] $6=2^3-2$ [/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") ).
Diese Matrizen kannst du aber in kanonischer Weise als Permutationen auffassen und es ergibt sich dadurch eine Bijektion zwischen [mm] $Sl_2(\IF_2)$ [/mm] und [mm] $S_3$. [/mm] Nun musst du noch die Homomorphie-Eigenschaft zeigen...
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:28 Mi 18.01.2006 | | Autor: | Lauch |
zu 1) Bist du dir sicher? 3 von den angegeben Matrizeb haben aber Determinante -1. Die [mm] SL_{2}(\IF_{2}) [/mm] müsste doch nur 3 Elemente haben?
zu 2) Wie sieht denn so eine Bijektion aus?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 Mi 18.01.2006 | | Autor: | Lauch |
Hi,
okay, wieso steht im Nenner eigentlich bei der 1. [mm] \IF_{p}^{*}, [/mm] wieso nicht nur [mm] \IF_{p}
[/mm]
Grüße,
Lauch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:32 Mi 18.01.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo.
> okay, wieso steht im Nenner eigentlich bei der 1. $ [mm] \IF_{p}^{\cdot{}}, [/mm] $ wieso nicht nur $ [mm] \IF_{p} [/mm] $
Weil [mm] $\IK^{\star}$ [/mm] für einen Körper [mm] $\IK$ [/mm] dessen multiplikative Gruppe bzw. die Menge [mm] $\IK\setminus\{0\}$ [/mm] bezeichnet.
Die Gruppe, auf die der Determinanten-Homomorphismus abbildet, ist ja genau die multiplikative Gruppe von [mm] $\IF_p$; [/mm] dabei liegt für die Definitionsmenge [mm] $Gl_2(\IF_p)$ [/mm] tatsächlich eine Abbildung vor, da nach Definition [mm] $\text{det}(M)\neq [/mm] 0$ für alle [mm] $M\in Gl_2(\IF_p)$.
[/mm]
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:38 Mi 18.01.2006 | | Autor: | Lauch |
achso, klar. dankeschön,
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