Determinante in Z < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:30 Do 22.06.2006 | | Autor: | studiDU |
| Aufgabe | Bezeichne [mm] Mn(\IZ) [/mm] die nxn-Matrizen mit Einträgen in [mm] \IZ. [/mm] Sei A [mm] \in Mn(\IZ). [/mm] Zeigen Sie:
1. det(A) [mm] \in \IZ,
[/mm]
2. [mm] A^{-1} \in Mn(\IZ) \gdw [/mm] det(A) [mm] \in [/mm] {-1,1} |
Hallo!
Die Aufgaben soll ich für unseren Lina1-Kurs lösen. Mir ist ja klar, dass det(A) aus Z sein muss, wenn alle Einträge in der Matrix auch aus Z sind, da Z ja bezgl. der beiden linearen Verknüpfungen abgeschlossen ist. Aber wie kann ich das zeigen?
Bei dem 2. Teil hab ich leider gar keine Idee.
Kann mir jemand von Euch weiterhelfen.
Vielen Dank schon mal!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Viktor,
> Bezeichne [mm]Mn(\IZ)[/mm] die nxn-Matrizen mit Einträgen in [mm]\IZ.[/mm]
> Sei A [mm]\in Mn(\IZ).[/mm] Zeigen Sie:
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> 1. det(A) [mm]\in \IZ,[/mm]
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> 2. [mm]A^{-1} \in Mn(\IZ) \gdw[/mm] det(A) [mm]\in[/mm] {-1,1}
> Hallo!
>
> Die Aufgaben soll ich für unseren Lina1-Kurs lösen. Mir ist
> ja klar, dass det(A) aus Z sein muss, wenn alle Einträge in
> der Matrix auch aus Z sind, da Z ja bezgl. der beiden
> linearen Verknüpfungen abgeschlossen ist. Aber wie kann ich
> das zeigen?
die determinante wird ja üblicherweise als summe von produkten der matrixeinträge definiert. im grunde ist damit diese aufgabe erledigt, da du sicherlich voraussetzen darfst, dass produkt und summe von ganzen zahlen wieder ganz sind....
> Bei dem 2. Teil hab ich leider gar keine Idee.
> Kann mir jemand von Euch weiterhelfen.
>
verwende die multiplikativität der determinante: [mm] $\det(A\cdot B)=\det (A)\cdot \det [/mm] (B)$
Gruß
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:48 Do 22.06.2006 | | Autor: | steffenhst |
Hallo,
wenn du erstens gezeigt hast, dann geht zweitens relativ einfach mit dem Determinantenmultiplikationssatz. Aus dem kannst du folgern das [mm] det(A^{-1}) [/mm] = -1 oder 1, damit ist [mm] A^{-1} [/mm] dann in Mnn(Z) (da per Def. in Z nur -1, 1 invertierbar sind).
Grüße Steffen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:05 Fr 23.06.2006 | | Autor: | studiDU |
Hallo Steffen und Matthias!
Danke für die Hilfe erst mal. Der 2. Teil der Aufgabe ist mir aber immer noch nicht so ganz klar.
Also, ich muss ja 2 Richtungen zeigen. Angefangen habe ich so:
[mm] \Leftarrow: [/mm]
det(A) [mm] \in [/mm] {1,-1} [mm] \Rightarrow [/mm] wg. [mm] det(A^{-1})det(A)=det(I)=1
[/mm]
[mm] det(A^{-1}) \in [/mm] {1,-1}
Aber wie kann ich denn daraus dann schließen, dass [mm] A^{-1} [/mm] auch [mm] \in [/mm] Mn(Z) ist? Steffen, Du hast dazu was von einer Def. geschrieben. In der Vorlesung hatten wir aber bisher nichts, was dazu passen würde.
Gruß, vik
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Sagt dir die cramersche regel etwas? mit ihr kann man inverse über verschiedene determinanten berechnen. Sollte eigentlich in LA1 drankommen.
Gruß
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:56 Sa 24.06.2006 | | Autor: | studiDU |
Kann man das auch ohne die Cramersche Regel zeigen? Ich kenne die zwar noch aus der Schule, aber wir hatten die noch nicht in der Vorlesung.
gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:42 Do 29.06.2006 | | Autor: | steffenhst |
Hallo,
ich habe erst jetzt wieder in das Forum geschaut. Die Definition, dass du nur die Matrizen in Z invertieren kannst, deren determinante 1 oder -1 ist, findest du in jedem guten Mathebuch. Ansonsten musst du in den Ring Z bzw. Ausführungen dazu gucken, da gibt es solch eine Def. auch.
Sorry, für die späte antwort
Steffen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:15 Do 29.06.2006 | | Autor: | studiDU |
jo, wunderbar... dankeschön!
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