Determinante mit Leibniz < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:26 Do 17.04.2008 | | Autor: | stevies |
| Aufgabe | Hallo,
ich sitze hier gerade an einer Matrix deren Determinante wir bestimmen sollen. Alles kein Problem... Aber: wir sollen eine Matrix mit Hilfe der Leibniz-Formel berechnen, weil diese viele Nullen enthält. Ich weiß auch was Permutationen sind, nur mit der Leibniz Formel hapert es irgendwie. Das Ergebnis habe ich zwar über Derive rausbekommen aber ich will ja nicht das Ergebnis, sonder wie ich dazu hinkomme
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Det(A) = [mm] \pmat{ 0 & a & b & 0 \\ -a & 0 & 0 & c \\ -b & 0 & 0 & d \\ 0 & -c & -d & 0}
[/mm]
Det (A) = ((a·d - b·c)²)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo stevies!
> Hallo,
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> ich sitze hier gerade an einer Matrix deren Determinante
> wir bestimmen sollen. Alles kein Problem... Aber: wir
> sollen eine Matrix mit Hilfe der Leibniz-Formel berechnen,
> weil diese viele Nullen enthält. Ich weiß auch was
> Permutationen sind, nur mit der Leibniz Formel hapert es
> irgendwie. Das Ergebnis habe ich zwar über Derive
> rausbekommen aber ich will ja nicht das Ergebnis, sonder
> wie ich dazu hinkomme
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> Det(A) = [mm]\pmat{ 0 & a & b & 0 \\ -a & 0 & 0 & c \\ -b & 0 & 0 & d \\ 0 & -c & -d & 0}[/mm]
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> Det (A) = ((a·d - b·c)²)
Ist das das Ergebnis von Derive?
Naja, jedenfalls wusste ich auch mal nicht, wie man die Leibniz-Formel benutzt, aber dank Matheraum habe ich es dann verstanden.  Guck doch mal hier.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:34 Fr 18.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ich sitze hier gerade an einer Matrix deren Determinante
> wir bestimmen sollen. Alles kein Problem... Aber: wir
> sollen eine Matrix mit Hilfe der Leibniz-Formel berechnen,
> weil diese viele Nullen enthält. Ich weiß auch was
> Permutationen sind, nur mit der Leibniz Formel hapert es
> irgendwie. Das Ergebnis habe ich zwar über Derive
> rausbekommen aber ich will ja nicht das Ergebnis, sonder
> wie ich dazu hinkomme
>
>
> Det(A) = [mm]\pmat{ 0 & a & b & 0 \\ -a & 0 & 0 & c \\ -b & 0 & 0 & d \\ 0 & -c & -d & 0}[/mm]
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> Det (A) = ((a·d - b·c)²)
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
entwickle die Determinante doch nach Laplace, das ist nur ein Speziallfall der Leibnizformel.
Guck' ggf. auch mal die Links im folgenden Link weiter an:
https://matheraum.de/read?i=391035
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:49 Fr 18.04.2008 | | Autor: | stevies |
Entwicklung nach Laplace kommt erst auf dem nächsten Übungsblatt und werde ich wohl erst am Wochende durcharbeiten. Aber um das zu verstehen muss ich wenn Laplace eine Spezialform von der Leibniz-Formel ist, doch die Leibniz-Formel erst einmal selber verstanden haben, oder liege ich da falsch?
Habe jetzt zumindest raus gefunden, welche Permutationen es gibt (a, -a)
(d,-d) , (a,-a,c,-d) , (-a,b,d,-c) , (-b,-c) (b,-c)
Alle andere Permutationen fallen anscheinend weg... aber warum? Mir schwirren so viele Fragezeichen durch den Kopf... werde jetzt mal ne Nacht darüber schlafen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:21 Fr 18.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
die Laplace-Entwicklung hat aber ein schönes Schema, da braucht man sich keine Permutationen mehr zu merken, sondern nur die "Teilmatrix", die durch Streichen einer Zeile+Spalte entsteht, sehen sowie ein gewisses "Vorzeichen-Schachbrett-Muster". Lies' Dir bitte mal die Links in dem Link durch. Natürlich solltest Du die Leibniz-Entwicklung auch verstehen, aber die Laplace-Entwicklung folgt einem gewissen "einfachen Algorithmus" (okay, kann man bei der "generellen" Leibniz-Entwicklung auch sagen). Aber wenn Du nicht magst sondern "noch ohne" Laplace arbeiten willst, ist's auch okay 
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:17 Fr 18.04.2008 | | Autor: | Bastiane |
Hallo stevies!
> Habe jetzt zumindest raus gefunden, welche Permutationen es
> gibt (a, -a)
>
> (d,-d) , (a,-a,c,-d) , (-a,b,d,-c) , (-b,-c) (b,-c)
>
> Alle andere Permutationen fallen anscheinend weg... aber
> warum? Mir schwirren so viele Fragezeichen durch den
> Kopf... werde jetzt mal ne Nacht darüber schlafen
Also ich hatte das gestern mal ganz durchgerechnet. Hast du dir denn meinen Link mal angeguckt? Da steht das wirklich ganz gut drin, zuerst für eine [mm] $2\times [/mm] 2$-Matrix, dann für eine [mm] $3\times [/mm] 3$-Matrix, und jetzt schreibe ich es dir für eine [mm] $4\times [/mm] 4$-Matrix auf. Du brauchst zuerst (also allgemein gesehen) alle Permutationen von 1234. Das sind, wie schon erwähnt wurde, 4!=24:
1234
1243
1324
1342
1423
1432
2134
2143
2314
2341
2413
2431
3124
3142
3214
3241
3412
3421
4123
4132
4213
4231
4312
4321
Für die Formel bedeutet das, dass du z. B. bei 1234 (was also entspricht, dass die 1 auf die 1, die 2 auf die 2, die 3 auf die 3 und die 4 auf die 4 abgebildet wird) die Einträge [mm] a_{11}, a_{22}, a_{33} [/mm] und [mm] a_{44} [/mm] miteinander multiplizierst, und da dies eine gerade Permutation (ich glaube, so heißt es), ist (es gibt eine gerade Anzahl an Fehlständen/Inversionen, nämlich keine), wird das Produkt positiv gezählt. Z. B. bei 2413 hättest du 3 Fehlstände, also Signum -1, also würdest du das Produkt negativ nehmen, und zwar brauchst du [mm] a_{12}, a_{24}, a_{31}, a_{43}.
[/mm]
So kannst du das jetzt für alle diese Permutationen machen, ich hatte zuerst das Signum für alle ausgerechnet, aber im Prinzip braucht man das für diese Aufgabe nicht, weil eben recht viel wegfällt. Und zwar stellst du fest, dass in deiner Matrix folgende Einträge alle gleich 0 sind:
[mm] a_{11}, a_{14}, a_{22}, a_{23}, a_{32}, a_{33}, a_{41}, a_{14}
[/mm]
Das heißt, jeder Summand, indem einer von diesen Einträgen im Produkt vorkommt, ist =0, da ein Produkt ja 0 wird, wenn mindestens einer der Faktoren =0 ist. Also können wir die ersten 6 und die letzten 6 unserer Permutationen schon mal streichen, denn in den ersten 6 kommt überall [mm] a_{11} [/mm] vor und in den letzten überall [mm] a_{14}. [/mm] Wenn du von den restlichen auch noch alle streichst, in denen einer der obigen vorkommt, bleiben nur noch folgende übrig:
2143 +
2413 -
3142 -
3412 +
(Das + bzw. - ist das Signum.)
Das entspricht also den Summanden: [mm] a_{12}a_{21}a_{34}a_{43}, -a_{12}a_{24}a_{31}a_{43}, -a_{13}a_{21}a_{34}a_{42} [/mm] und [mm] a_{13}a_{24}a_{31}a_{42}. [/mm] Wenn du dafür dann die entsprechenden Einträge einsetzt erhältst du [mm] a^2d^2-2abcd+b^2c^2=(ad-bc)^2. [/mm]
Viele Grüße
Bastiane
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:58 Fr 18.04.2008 | | Autor: | alexwie |
Hallo
Mit Leibniz funktioniert das so:
Du nimmst dir zuerst den ersten eintrag in der ersten Zeile (bei dir null) und streichst die erste Spalte, dann nimmst du einen eintrag in der zweiten zeile aber nicht in der ersten spalte und multiplizierst ihn damit. Dann einen in der dritten und in der vierten. also zum Bsp A(1,1)*A(2,3)*A(3,2)*A(4,4). Dann berechnest du dass Vorzeichen dieser Permutation, bei diesem Beispiel also -1. Du musst nun alle möglichen permutationen summieren und dabei das vorzeichen beachten.
es gibt in [mm] S_4 [/mm] 4! = 24 Permutationen also hast du 24 Summanden.
Weil in deiner Matrix aber viele davon null sind hast dus mit Leibniz Leicht.
Lg Alex
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