Determinante und Spur < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:23 Mi 16.04.2008 | | Autor: | nikito |
| Aufgabe | Es sein K ein Körper und A=([mm]a_i_i[/mm]) eine n x n - Matrix über K mit Rang(A)[mm]\le[/mm]1. I bezeichne die Einheitsmatrix. Zeigen sie: Für [mm] \lambda \in[/mm] K gilt
[mm] det(\lambda*I + A) = \lambda^n^-^1(\lambda + \summe_{i=1}^{n} a_i_i [/mm]) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Lösung:
Offenbar soll das char. Polynom von -A berechnet werden. Da Rang(A)[mm]\le[/mm]1 ist 0 Eigenwert von A mit Vielfachheit [mm]\ge[/mm]n-1. Daher ist das Polynom ein Vielfaches von [mm]\lambda^n^-^1[/mm]. Anderseits ist der Koeffizient von [mm]\lambda^n^-^1[/mm] gleich dem Negativen der Spur von -A. Das ergibt die Behauptung.
Problem:
Also bis zum Koeffizienten von [mm]\lambda^n^-^1[/mm] ist es noch klar. Aber wieso soll dieser nun gleich dem Negativen der Spur von -A sein?
Vielen Dank für die Hilfe!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:22 Mi 16.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> [mm]det(\lambda*I + A) = \lambda^n^-^1(\lambda + \summe_{i=1}^{n} a_i_i [/mm])
>
> [...]
>
> Also bis zum Koeffizienten von [mm]\lambda^n^-^1[/mm] ist es noch
> klar. Aber wieso soll dieser nun gleich dem Negativen der
> Spur von -A sein?
Weil das immer so ist. Schau dir mal [mm] $\det(\lambda [/mm] I - A)$ an, etwa mittels der Leibnizformel, und ueberleg dir, welcher der Summanden ein [mm] $\lambda^{n-1}$ [/mm] haben kann. Du wirst dann schnell sehen, dass genau das Negative der Summe der Diagonalelemente herauskommt.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:57 Do 17.04.2008 | | Autor: | nikito |
| Aufgabe | Weil das immer so ist. Schau dir mal $ [mm] \det(\lambda [/mm] I - A) $ an, etwa mittels der Leibnizformel, und ueberleg dir, welcher der Summanden ein $ [mm] \lambda^{n-1} [/mm] $ haben kann. Du wirst dann schnell sehen, dass genau das Negative der Summe der Diagonalelemente herauskommt.
LG Felix
|
Hi Felix,
vielen Dank für die schnelle Antwort. Leider muss ich sagen das sie mir nicht wirklich weitergeholfen hat. Also selbst wenn klar ist das nur die Diagonalelemte ein [mm]\lambda[/mm] haben können ist mir nicht klar was mit den anderen Elementen der Matrix geschieht.
Vielleicht habe ich mir die Antwort ja falsch erklärt. Ich schreibe mal kurz wie ich mir das vorgestellt habe:
Aus Rang(A)[mm]\le[/mm]1 folgt es ex. eine zu A ähnliche Matrix A' die in Treppenform ist und nur Einträge in der ersten Zeile hat. Da ähnliche Matrizen die gleichen Eigenwerte haben, berechne ich diese. Also [mm] det(I * \lambda + A') [/mm] und das ist dann [mm] \lambda^{n-1} * (\lambda + a'_{11})[/mm]. Also ist 0 Eigenwert von sowohl A' als auch A mit Vielfachheit [mm]\ge n-1[/mm]. Wenn ich jetzt noch zeigen könnte das [mm]a'_{11} = \summe_{i=1}^{n} a_{ii}[/mm] gilt, hätte ich es geschafft. Doch dies will mir leider nicht gelingen. Stimmt das denn soweit?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:16 Do 17.04.2008 | | Autor: | SEcki |
> vielen Dank für die schnelle Antwort. Leider muss ich sagen
> das sie mir nicht wirklich weitergeholfen hat. Also selbst
> wenn klar ist das nur die Diagonalelemte ein [mm]\lambda[/mm] haben
> können ist mir nicht klar was mit den anderen Elementen der
> Matrix geschieht.
Also [m]\lambda[/m] ist eine Unbekannte, oder?
> Aus Rang(A)[mm]\le[/mm]1 folgt es ex. eine zu A ähnliche Matrix A'
> die in Treppenform ist und nur Einträge in der ersten Zeile
> hat. Da ähnliche Matrizen die gleichen Eigenwerte haben,
> berechne ich diese. Also [mm]det(I * \lambda + A')[/mm] und das ist
> dann [mm]\lambda^{n-1} * (\lambda + a'_{11})[/mm]. Also ist 0
> Eigenwert von sowohl A' als auch A mit Vielfachheit [mm]\ge n-1[/mm].
> Wenn ich jetzt noch zeigen könnte das [mm]a'_{11} = \summe_{i=1}^{n} a_{ii}[/mm]
> gilt, hätte ich es geschafft. Doch dies will mir leider
> nicht gelingen. Stimmt das denn soweit?
Felix hat dir doch schon geschrieben, wie das geht: für eine Matrix gilt im Allgemeinen [m]det(I*X-A)=X^n-Spur(A)*X+...+det(A)[/m]. Beweis mit Leibnizformel. Klarer?
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:05 Do 17.04.2008 | | Autor: | nikito |
| Aufgabe | Felix hat dir doch schon geschrieben, wie das geht: für eine Matrix gilt im Allgemeinen $ [mm] det(I\cdot{}X-A)=X^n-Spur(A)\cdot{}X+...+det(A) [/mm] $. Beweis mit Leibnizformel. Klarer?
|
Hi,
ja jetzt ist es klarer die Formel kannte ich nicht. Hab ich noch nie gesehen. Beweisen werde ich sie wohl nicht ich glaube euch einfach mal dass sie stimmt. Aber damit kann ich jetzt wenigstens weitermachen
Vielen Dank und liebe Grüße
nikito
|
|
|
|
