Determinante von Blockmatrizen < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:55 So 02.10.2011 | | Autor: | Katze_91 |
| Aufgabe | Zitat aus Repetitorium der Linearen algebra Teil 1 Binomi Verlag Seite 126
2.6.7
Sei H:= [mm] \pmat{ A & B \\ C & D } [/mm] die Zerlegung einer n [mm] \times [/mm] n - Matrix in vier Teilmatrizen, wobei A und D quatratisch sind. A sei invertierbar. Dann gilt:
[mm] \det [/mm] H = [mm] \det [/mm] A [mm] \cdot (D-CA^{-1}B) [/mm] |
Hallo, ich hab zu dieser Aufgabe (bzw. beim Beweis) eine Frage. Wenn es Probleme wegen dem Zitat gibt werd ich natürlich sofort versuchen es zu beseitigen
also als Beweis steht folgendes drin:
Es sei A eine m [mm] \times [/mm] m -Matrix und B eine m [mm] \times [/mm] r -Matrix. Dann ist C eine r [mm] \times [/mm] m -MAtrix und D eine r [mm] \times [/mm] r- Matrix. Wir betrachten nun die r [mm] \times [/mm] m -Matrix [mm] U=-CA^{-1}.
[/mm]
Bildet man im unteren Teil von H die Matrix (C+UA | D+UB), so hat man in der Matrix H lediglich elementare Umformungen durchgeführt.
Die erste Zeile von (C+ UA | D+UB) ist nämlich nur die erste Zeile von (C|D) plus eine gewisse Linearkombination der Zeilen von (A|B).
[genau hier ist meine Frage, wenn es eine Linearkombination der Zeilen ist, dann ist es doch keine elementare Zeilenumformung, es darf doch nur die "das [mm] \lambda-fache [/mm] der jten Zeile (Spalte) zu einer iten Zeile (Spalte) hinzuaddieren" gemacht werden, damit sich die Determinante nicht ändert]
Durch elementare Umformungen geht also die Matrix [mm] \pmat{ A & B \\ C & D } [/mm] über in die Matrix [mm] \pmat{ A & B \\ C+UA & D+UB}. [/mm] Berücksichtigt man U = [mm] -CA^{-1}, [/mm] so folgt:
[mm] \det\pmat{ A & B \\ C & D }=\det\pmat{ A & B \\ 0& D+UB}
[/mm]
Die Anwednung von aufgabe 5....
okay alles logisch, die Aufgabe 5 war, dass dann, wenn da eine Nullmatrix ist, man nur die Determinanten der Matrizen nehmen muss, die auf der Diagonalen stehen, alles klar.
Ausser halt, dass es eine Elementare Umformung ist. Kann mir das bitte einer erklären oder fällt vielleicht einem ein einfaches Beispiel ein, was mir das erläutern könnte?
Danke schon mal
Miau
Katze
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:03 Mo 03.10.2011 | | Autor: | felixf |
Miau Katze!
> Zitat aus Repetitorium der Linearen algebra Teil 1 Binomi
> Verlag Seite 126
> 2.6.7
> Sei H:= [mm]\pmat{ A & B \\ C & D }[/mm] die Zerlegung einer n
> [mm]\times[/mm] n - Matrix in vier Teilmatrizen, wobei A und D
> quatratisch sind. A sei invertierbar. Dann gilt:
> [mm]\det[/mm] H = [mm]\det[/mm] A [mm]\cdot (D-CA^{-1}B)[/mm]
>
> Hallo, ich hab zu
> dieser Aufgabe (bzw. beim Beweis) eine Frage. Wenn es
> Probleme wegen dem Zitat gibt werd ich natürlich sofort
> versuchen es zu beseitigen
>
> also als Beweis steht folgendes drin:
>
> Es sei A eine m [mm]\times[/mm] m -Matrix und B eine m [mm]\times[/mm] r
> -Matrix. Dann ist C eine r [mm]\times[/mm] m -MAtrix und D eine r
> [mm]\times[/mm] r- Matrix. Wir betrachten nun die r [mm]\times[/mm] m -Matrix
> [mm]U=-CA^{-1}.[/mm]
> Bildet man im unteren Teil von H die Matrix (C+UA | D+UB),
> so hat man in der Matrix H lediglich elementare Umformungen
> durchgeführt.
> Die erste Zeile von (C+ UA | D+UB) ist nämlich nur die
> erste Zeile von (C|D) plus eine gewisse Linearkombination
> der Zeilen von (A|B).
>
> [genau hier ist meine Frage, wenn es eine Linearkombination
> der Zeilen ist, dann ist es doch keine elementare
> Zeilenumformung, es darf doch nur die "das [mm]\lambda-fache[/mm]
> der jten Zeile (Spalte) zu einer iten Zeile (Spalte)
> hinzuaddieren" gemacht werden, damit sich die Determinante
> nicht ändert]
Genau, eine elementare Zeilenumformung ist es nicht. Allerdings: mit $r m$ elementaren Zeilenumformungen vom Typ "addiere [mm] $\lambda$-faches [/mm] von Zeile $x$ zu Zeile $y$" bekommt man das hier hin.
Fuer jeden Eintrag [mm] $\lambda$ [/mm] an der Stelle $(i, j)$ der Matrix addierst du in $C [mm] \leftarrow C + U A$ das $\lambda$-fache $j$-te Zeile von $A$ zur $i$-ten Zeile von $C$.
> Durch elementare Umformungen geht also die Matrix [/mm] [mm]\pmat{ A & B \\ C & D }[/mm]
> über in die Matrix [mm]\pmat{ A & B \\ C+UA & D+UB}.[/mm]
Hier machst du also $r m$ Umformungen: fuer jeden Eintrag [mm] $\lambda$ [/mm] von $U$ an der Stelle $(i, j)$ wird das [mm] $\lambda$-fache [/mm] der $j$-ten Zeile von [mm] $\pmat{ A & B \\ C & D }$ [/mm] zur $m + i$-ten Zeile von [mm] $\pmat{ A & B \\ C & D }$ [/mm] (das ist die $i$-te Zeile von [mm] $\pmat{ C & D }$) [/mm] addiert.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:26 Mo 03.10.2011 | | Autor: | Katze_91 |
Miau :3
okay, ich kann mir das nur noch nicht so ganz vorstellen
bzw. ich könnte U auch als eine Addition aus Matrizen vorstellen, die nur an einer Stelle einen Eintrag haben oder?
ich glaub ich stell mir das ganz falsch vor, aber dann würd ich doch nur zu einem Eintrag das [mm] \lambda [/mm] fache addieren
sorry, ich steh voll auf dem schlauch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 Mo 03.10.2011 | | Autor: | Katze_91 |
Miau :3
okay, ich kann mir das nur noch nicht so ganz vorstellen
bzw. ich könnte U auch als eine Addition aus Matrizen vorstellen, die nur an einer Stelle einen Eintrag haben oder?
ich glaub ich stell mir das ganz falsch vor, aber dann würd ich doch nur zu einem Eintrag das fache addieren
sorry, ich steh voll auf dem schlauch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:50 Mo 03.10.2011 | | Autor: | felixf |
Miau ^^
> okay, ich kann mir das nur noch nicht so ganz vorstellen
> bzw. ich könnte U auch als eine Addition aus Matrizen
> vorstellen, die nur an einer Stelle einen Eintrag haben
> oder?
Genau.
> ich glaub ich stell mir das ganz falsch vor, aber dann
> würd ich doch nur zu einem Eintrag das fache addieren
Nee, das hat schon was mit normalen elt. Zeilenumformungen zu tun :)
Am besten ist es, wenn du dir mal ein kleines Beispiel anschaust. Ruhig etwas abstrakteres.
Haben $A$ und $B$ jeweils zwei Zeilen; die Zeilen von $A$ seien [mm] $\vec a_1, \vec a_2$ [/mm] und die von $B$ [mm] $\vec b_1, \vec b_2$.
[/mm]
Die Matrizen $C$ und $D$ haben jeweils drei Zeilen, sagen wir [mm] $\vec c_1, \vec c_2, \vec c_3$ [/mm] und [mm] $\vec d_1, \vec d_2, \vec d_3$.
[/mm]
Sei $U = [mm] \pmat{ u_{11} & u_{12} \\ u_{21} & u_{22} \\ u_{31} & u_{33} }$. [/mm] Rechne jetzt mal [mm] $\pmat{ A & B \\ C + U A & D + U B }$ [/mm] aus und vergleiche es mit [mm] $\pmat{ A & B \\ C & D }$.
[/mm]
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 Mo 03.10.2011 | | Autor: | Katze_91 |
Miau
ich glaube jetzt hab ich es verstanden, es sind einfach mehrere Schritte
C+UA [mm] =\pmat{ c^1_1+u^1_1 a_1^1 +u^1_2 a^2_1 &c^1_2+u^1_1 a_2^1 +u^1_2 a^2_2 \\ c^2_1+u^2_1 a_1^1 +u^2_2 a^2_1 & c^2_2+u^2_1 a_2^1 +u^2_2 a^2_2\\c^3_1+u^3_1 a_1^1 +u^3_2 a^2_1 &c^3_2+u^3_1 a_2^1 +u^3_2 a^2_2 }
[/mm]
es ist ja eigentlich die 1-te Zeile von A mal [mm] u_1^1 [/mm] + erste Zeile von C und dann noch die 2 Zeile von A mal [mm] u^1_2 [/mm] + erste Zeile von C und so weiter
das wären also 2*3=6 Elementare Zeilenumformungen der Art "Addiere das [mm] \lambda-fache [/mm] der jten Zeile zur iten Zeile hinzu" oder?
Vielen vielen Dank
miau
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:56 Mo 03.10.2011 | | Autor: | felixf |
Miau Katze!
> ich glaube jetzt hab ich es verstanden, es sind einfach
> mehrere Schritte
> C+UA [mm]=\pmat{ c^1_1+u^1_1 a_1^1 +u^1_2 a^2_1 &c^1_2+u^1_1 a_2^1 +u^1_2 a^2_2 \\ c^2_1+u^2_1 a_1^1 +u^2_2 a^2_1 & c^2_2+u^2_1 a_2^1 +u^2_2 a^2_2\\c^3_1+u^3_1 a_1^1 +u^3_2 a^2_1 &c^3_2+u^3_1 a_2^1 +u^3_2 a^2_2 }[/mm]
Deine Notation versteh ich jetzt nicht ganz, aber es scheint mir du hast es verstanden :)
> es ist ja eigentlich die 1-te Zeile von A mal [mm]u_1^1[/mm] + erste
> Zeile von C und dann noch die 2 Zeile von A mal [mm]u^1_2[/mm] +
> erste Zeile von C und so weiter
> das wären also 2*3=6 Elementare Zeilenumformungen der Art
> "Addiere das [mm]\lambda-fache[/mm] der jten Zeile zur iten Zeile
> hinzu" oder?
Genau.
LG Felix
|
|
|
|
