www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenDeterminantenDeterminante von (nxn)-Matrix
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Determinanten" - Determinante von (nxn)-Matrix
Determinante von (nxn)-Matrix < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Determinanten"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Determinante von (nxn)-Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:55 Mi 19.12.2007
Autor: daN-R-G

Aufgabe
Für beliebige [mm] x\inK [/mm] berechne die Determinante der folgenden (n [mm] \times [/mm] n)-Matrix:
[mm] \pmat{ x & 1 & 1 & ... & 1 \\ 1 & x & 1 & ... & 1 \\ \\ 1 & 1 & 1 & ... & x } [/mm]
(In der alle Hauptdiagonalglieder gleich x und alle sonstigen Koeffizienten gleich 1 sind)

Hi!

Ich sitze gerade an dieser Aufgabe, aber weiß nicht so recht, wie ich's angehen soll!

Was ich mir schon überlegt habe:
Falls x = 1 ist, so ist die Determinante ja schon = 0, da der Rang nicht mehr = n ist. Den Fall könnte man ja so schonmal festhalten, da er eine Ausnahme bildet, denke ich.

Jetzt weiss ich allerdings nicht genau, wie ich weitermachen soll. Laplace bzw. Entwicklung nach Spalte/Zeile wüsste ich nicht anzuwenden, zumal es sich ja um keine Matrix mit festem n handelt. Muss ich das ganze etwa irgendwie durch Induktion beweisen?

Wäre nett, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte. Die Matrix hat doch mit Sicherheit auch einen speziellen Namen, oder?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Danke ;)

        
Bezug
Determinante von (nxn)-Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:16 Do 20.12.2007
Autor: Somebody


> Für beliebige [mm]x\inK[/mm] berechne die Determinante der folgenden
> (n [mm]\times[/mm] n)-Matrix:
>  [mm]\pmat{ x & 1 & 1 & ... & 1 \\ 1 & x & 1 & ... & 1 \\ \\ 1 & 1 & 1 & ... & x }[/mm]
>  
> (In der alle Hauptdiagonalglieder gleich x und alle
> sonstigen Koeffizienten gleich 1 sind)
>  Hi!
>  
> Ich sitze gerade an dieser Aufgabe, aber weiß nicht so
> recht, wie ich's angehen soll!
>  
> Was ich mir schon überlegt habe:
>  Falls x = 1 ist, so ist die Determinante ja schon = 0, da
> der Rang nicht mehr = n ist. Den Fall könnte man ja so
> schonmal festhalten, da er eine Ausnahme bildet, denke
> ich.
>  
> Jetzt weiss ich allerdings nicht genau, wie ich
> weitermachen soll. Laplace bzw. Entwicklung nach
> Spalte/Zeile wüsste ich nicht anzuwenden,

Du könntest vor der Entwicklung zuerst einmal von jeder Zeile die nachfolgende Zeile subtrahieren: dadurch ändert sich bekanntlich der Wert der Determinante nicht. Die resultierende Determinante hat (für die Entwicklung nach der ersten Spalte) erfreulich viele Nullen. - Besser noch: die Determinante, die nach der Streichung der ersten Spalte und ersten Zeile übrig bleibt, hat auf dieselbe Weise erfreulich viele Nullen usw. usf.

> zumal es sich ja
> um keine Matrix mit festem n handelt.

Zugegeben: dies ist ein Problem - vor allem, wenn der Prof. pedantisch genug ist, auf Induktion nach $n$ (anstelle eines mehr saloppen Arguments) zu bestehen.

> Muss ich das ganze
> etwa irgendwie durch Induktion beweisen?

Wenn man ganz furchtbar korrekt sein will schon. Aber wer will in einem solchen Falle schon furchtbar korrekt sein wollen?

Nachtrag (Revision 1): Vielleicht wäre ein Beweis durch Induktion doch nicht so schlecht. Ist [mm] $D_n$ [/mm] der Wert der fraglichen Determinante, so ist [mm] $D_1=x$, $D_2=(x+1)(x-1)$ [/mm] und [mm] $D_3=(x+2)(x-1)^2$, [/mm] aufgrund der oben angedeuteten Umformung von [mm] $D_n$ [/mm] und Entwickeln nach der ersten Spalte müsste eigentlich [mm] $D_{n+1}=(x-1)D_n+(x-1)^n$ [/mm] gelten. Allerdings benötigt man dann noch eine passende "Vermutung" für die allgemeine Lösung dieser Differenzengleichung, etwa [mm] $D_n=(x+n-1)(x-1)^{n-1}$ [/mm]


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Determinanten"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]