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| Aufgabe | Berechnen Sie für alle $a [mm] \in \IR$ [/mm] die Determinante von:
[mm] $\pmat{ 1 & a & a & a \\ a & 1 & a & a \\ a & a & 1 & a \\ a & a & a & 1 }$.
[/mm]
Dasselbe für die entsprechende [mm] $n\times [/mm] n$-Matrix. |
Hallo!
Mir geht es um den 2. Aufgabenteil...
Die entsprechende n*n-Matrix wäre doch
[mm] \pmat{ 1 & a & a & a & ... & a \\ a & 1 & a & a & ... & a \\ a & a & 1 & a & ... & a\\ a & a & a & 1 & ... & a \\ . & . & . & . & . & . \\ a & a & a & a & ... & 1 }, [/mm] ja?
Und wie bekommt man von sowas die Determinante raus?
Hoffe, dass mir jemand helfen kann...
Danke schonmal!
LG, Raingirl87
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:34 Mi 27.09.2006 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
> Berechnen Sie für alle a [mm]\IN \IR[/mm] die Determinante von:
> [mm]\pmat{ 1 & a & a & a \\ a & 1 & a & a \\ a & a & 1 & a \\ a & a & a & 1 }.[/mm]
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> Dasselbe für die entsprechende n*n-Matrix.
> Hallo!
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> Mir geht es um den 2. Aufgabenteil...
> Die entsprechende n*n-Matrix wäre doch
> [mm]\pmat{ 1 & a & a & a & ... & a \\ a & 1 & a & a & ... & a \\ a & a & 1 & a & ... & a\\ a & a & a & 1 & ... & a \\ . & . & . & . & . & . \\ a & a & a & a & ... & 1 },[/mm]
> ja?
> Und wie bekommt man von sowas die Determinante raus?
> Hoffe, dass mir jemand helfen kann...
> Danke schonmal!
>
> LG, Raingirl87
Wie hast du es denn für die gegebene Matrix gemacht?
Ich würde vorschlagen, entweder du bringst die Matrix durch geeignete Zeilenumformungen auf eine Diagonalmatrix, oder du berechnest die Determinante mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz. Und das müsste schätzungsweise auch beides für die [mm] $n\times [/mm] n$-Matrix funktionieren - ggf. mit Induktion.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:48 Mi 27.09.2006 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo Raingirl87,
Deine Matrix scheint symmetrisch zu sein, denke ich. Möglicherweise könnte man also hier irgendwie mit der Cholesky-Zerlegung arbeiten, um deine Determinante zu erhalten, wie genau kann ich dir jetzt auch (noch) nicht sagen.
Allerdings müßte diese Matrix dazu auch positiv definit sein. Aber es könnte in der Tat so sein, denn es muß ja [mm]x^TAx > 0[/mm] für [mm]x\ne 0[/mm] gelten. Und dein [mm]A[/mm] kann man ja auch als Summe der Einheitsmatrix [mm]E[/mm] und einer unteren und oberen Dreieckmatrix mit Nullen auf der Diagonalen und ansonsten [mm]a's[/mm] (jew. oben bzw. unten) darstellen:
[mm]A = L + L^T + E[/mm]
Und dann gilt doch:
[mm]x^TAx = x^T\left(L + L^T + E\right)x = x^TLx + x^TL^Tx + x^Tx = \left(\left(x^T(Lx)\right)^T\right)^T + (Lx)^Tx + x^Tx = \left((Lx)^Tx\right)^T+ (Lx)^Tx + x^Tx = 2(Lx)^Tx + \underbrace{x^Tx}_{> 0}[/mm]
Es bleibt nur noch zu zeigen, daß [mm](Lx)^Tx > 0[/mm] oder aber, daß [mm]2\left|(Lx)^Tx\right| < x^Tx[/mm]. Schreiben wir das mal aus:
[mm]Lx = \begin{pmatrix}
0 & \hdotsfor{4} & 0\\
a & 0 & \hdotsfor{3} & 0\\
a & a & 0 & \hdotsfor{2} & 0\\
a & a & a & 0 & \dots & 0\\
\vdots & {} & {} & \ddots & \ddots & \vdots\\
a & \hdotsfor{3} & a & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}0\\ax_1\\a\left(x_1+x_2\right)\\\vdots\\a\sum_{i=1}^{n-1}{x_i}\end{pmatrix}[/mm]
und damit ist:
[mm](Lx)^Tx = 0 + ax_1x_2 + a\left(x_1+x_2\right)x_3 + \dotsb + a\left(\sum_{i=1}^{n-1}{x_i}\right)x_n = a\left(\sum_{j=2}^n{\left(\sum_{i=1}^{j-1}{x_i}\right)x_j}\right) = a\sum_{j=2}^n{\sum_{i=1}^{j-1}{\left(x_ix_j\right)}}.[/mm]
Na ja, hier sind meine Ideen zu Ende. Aber vielleicht funktioniert es ja hier auch nicht mit der Cholesky-Zerlegung... ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
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Hallo raingirl!
Bringe die Matrix durch Zeilenumformungen in Dreiecksform! Dann lässt sich die Determinante ganz leicht berechnen.
Versuch doch mal folgendes: Zieh die erste Zeile von allen anderen einmal ab. Dadurch erhältst du
[mm] $\vmat{ 1 & a & a & a & \dots & a \\ a & 1 & a & a & \dots& a \\ a & a & 1 & a & \dots& a\\ a & a & a & 1 & \dots& a \\ \vdots& \vdots& \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ a & a & a & a & \dots& 1 }=\vmat{1&a&a&a&\dots&a\\ a-1&1-a &0&0&\dots&0\\
a-1&0&1-a&0&\dots&0\\
\vdots&\vdots&\ddots&\ddots&\vdots&\vdots\\
a-1&0&\dots&0&1-a&0\\
a-1&0&\dots&\dots&0&1-a}=(a-1)^{n-1}\vmat{1&a&a&a&\dots&a\\ 1&-1 &0&0&\dots&0\\
1&0&-1&0&\dots&0\\
\vdots&\vdots&\ddots&\ddots&\vdots&\vdots\\
1&0&\dots&0&-1&0\\
1&0&\dots&\dots&0&-1}$
[/mm]
Jetzt addiere die Zeilen 2 bis n jeweils $a$-mal auf die erste Zeile auf. Wie sieht die Dreiecksform jetzt aus? Und was bedeutet das für die Determinante?
Gruß, banachella
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![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]"){kind=small}
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge"){kind=small}
[Bild Nr. 1 (fehlt/gelöscht)]
