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| Aufgabe 1 | Berechnen Sie die folgenden Determinanten:
[mm] \pmat{ 1 & 3 & 3 \\ 3 & 1 & 3 \\ 3 & 3 & 1 }
[/mm]
und
[mm] \pmat{ 1 & 3 & 3 & 3 \\ 3 & 1 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 1 & 3 \\ 3 & 3 & 3 & 1}
[/mm]
Ermitteln sie allgemein die Determinante der Matrix, deren Einträge in
der Hauptdiagonalen überall die Zahl a ist, während an allen anderen
Positionen der Matrix die Zahl b steht. |
| Aufgabe 2 | Berechnen Sie die Determinate derjenigen Matrix, die in der Hauptdiagonalen
nur Einsen hat, in der Diagonalen oberhalb der Hauptdiagonalen
nur die Zahl 3 und in der Diagonalen unterhalb der Hauptdiagonalen
die Zahl 3 stehen hat. Alle anderen Einträge seien 0. |
Mir ist eigentlich völlig unklar wie ich diese Aufgabe lösen soll.
Die normalen Matrizen gehen ja noch aber das danach?
Wie soll das allgemein funktionierern?
Oder bei Aufgabe 2 das ist mir auch vollkommen unklar
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Berechnungen für kleine [mm]n[/mm] legen nahe, daß die [mm]n[/mm]-reihige Matrix der Aufgabe 1 die Determinante
[mm]d_n(a,b) = (a-b)^{n-1} \left( a + (n-1)b \right)[/mm]
Man könnte dafür einen Induktionsbeweis versuchen.
Nachtrag: Es geht auch ohne Induktion.
Subtrahiere die zweite Spalte von der ersten, die dritte von der zweiten, die vierte von der dritten usw. bis schließlich die letzte von der vorletzten. Dies alles ändert den Wert der Determinanten nicht. Aus allen Spalten außer der letzten kannst du jetzt den Faktor [mm]a-b[/mm] vor die Determinante ziehen, was sich auf insgesamt [mm](a-b)^{n-1}[/mm] als Faktor beläuft. Sieht man von der letzten Spalte ab, steht jetzt in der Hauptdiagonalen überall 1, in der Diagonalen darunter überall -1 und an den restlichen Stellen überall 0. Subtrahiere jetzt das [mm]b[/mm]-fache der ersten Spalte von der letzten, dann das [mm]2b[/mm]-fache der zweiten Spalte von der letzten, dann das [mm]3b[/mm]-fache der dritten Spalte von der letzten usw. Auf diese Weise bekommst du schließlich eine Diagonalmatrix.
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