Determinanten < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:54 Di 22.06.2004 | | Autor: | mausi |
Für welche x [mm] \in \IR^4 [/mm] ist folgende Matrix regulär,man berechne die Determinante
[mm] \begin{pmatrix}
1 & x_1 & x^2_1 & x^3_1 \\
1 & x_2 & x^2_2 & x^3_2\\
1 & x_3 & x^2_3 & x^3_3\\
1 & x_4 & x^2_4 & x^3_4
\end{pmatrix} [/mm]
so wie gehe ich denn da vor???
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:59 Di 22.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo mausi,
siehe diese Diskussion, an der du dich gerne beteiligen kannst.
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:02 Di 22.06.2004 | | Autor: | mausi |
Tschuldigung aber irgendwie hilft mir das gar nicht so richtig weiter,wie bringe ich die Matrix auf Zeilenstufenform???oder wie bekomme ich die x raus?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:13 Di 22.06.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Mausi,
in der Diskussion, auf die Marc hinweist, wird ein weiterer Link gesetzt:
https://matheraum.de/read?f=16&t=170&i=170&v=s
Dort wird dann (per Induktion) bewiesen, nach welcher Formel man die Determinante einer Van-Der-Monde-Matrix ausrechnet.
Deine Matrix ist ja:
[mm]A=\begin{pmatrix}
1 & x_1 & x^2_1 & x^3_1 \\
1 & x_2 & x^2_2 & x^3_2\\
1 & x_3 & x^2_3 & x^3_3\\
1 & x_4 & x^2_4 & x^3_4
\end{pmatrix}[/mm]
Weil [mm] $det(A)=det(A^T)$ ($A^T$ [/mm] ist die Transponierte zu $A$) gilt, kannst du die Determinante nach genau dieser Formel ausrechnen.
(Schreibe dir mal [mm] $A^T$ [/mm] auf und vergleiche die Struktur deiner transponierten Matrix mit der Matrix in dem Link!)
Außerdem ist deine Matrix $A$ genau dann regulär (invertierbar, nichtsingulär oder wie auch immer man das noch nennt  ), wenn [mm] $(det(A^T)=)det(A)\ne0$ [/mm] gilt.
Achja, vielleicht noch etwas zu den Schreibweisen:
Es gilt
[mm]det \begin{pmatrix} \begin{pmatrix}
1 & x_1 & x^2_1 & x^3_1 \\
1 & x_2 & x^2_2 & x^3_2\\
1 & x_3 & x^2_3 & x^3_3\\
1 & x_4 & x^2_4 & x^3_4
\end{pmatrix} \end{pmatrix}
=\begin{vmatrix}
1 & x_1 & x^2_1 & x^3_1 \\
1 & x_2 & x^2_2 & x^3_2\\
1 & x_3 & x^2_3 & x^3_3\\
1 & x_4 & x^2_4 & x^3_4
\end{vmatrix}[/mm]
Das sind nur zwei Schreibweisen für die Determinante einer Matrix (also anstatt $det(.)$ $|.|$ (und in letzteres die Matrix ohne die Klammern "()" hinein) zu schreiben) .
PS:
Du hast ja "nur" eine $4$x$4$-Matrix. Die Formel in dem Link ist viel allgemeiner. Aber, wenn du in den Beweis hineinguckst, kannst du dir auch überlegen, welche "Umformungen" du bei deiner $4$x$4$-Matrix machen musst, um auf das entsprechende Produkt für $4$x$4$-Matrizen zu kommen.
Konkret:
Guck dir genau an, wie Marc hier vorgeht:
https://matheraum.de/read?f=16&t=170&i=171
Viele Grüße
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:44 Mi 23.06.2004 | | Autor: | toffel |
moin marcel,
Ich muss auch die selbe Aufgabe wie mausi lösen.
meine Determinante sieht momentan so aus:
[mm]
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1(x_2 - x_1) & 1(x_3 - x_1) & 1(x_4 - x_1) \\
0 & x_2(x_2 - x_1) & x_3(x_3 - x_1) & x_4(x_4 - x_1) \\
0 & x_2^2(x_2 - x_1) & x_3^2(x_3 - x_1) & x_4^2(x_4 - x_1)
\end{vmatrix}
[/mm]
wie kann man denn jetzt [mm] (x_2 [/mm] - [mm] x_1) [/mm] , [mm] (x_3 [/mm] - [mm] x_1) [/mm] und [mm] (x_4 [/mm] - [mm] x_1) [/mm] ausklammern?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:39 Mi 23.06.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo toffel,
du hast anders umgeformt, als Marc das (in dem Beweis, siehe Link) vorgeschlagen hat (Marcel, 14.38 Uhr: Ups, da war ich vorschnell, weil ich dachte, dass Marc anders vorgegangen wäre. Ich hab's mir nochmal angeguckt! ). Ich mache es dir einmal vor (ich habe nicht besonders viel Zeit, sonst würde ich über deinen Weg/deine Rechnung auch schnell drübergucken! Nachher vielleicht...):
[mm]\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
x_1 & x_2 & x_3 & x_4\\
x^2_1 & x^2_2 & x^2_3 & x^2_4\\
x^3_1 & x^3_2 & x^3_3 & x^3_4
\end{vmatrix}[/mm]
wollen wir berechnen, wegen [mm] $det(A)=det(A^T)$!
[/mm]
Jetzt rechnest du die jetzige 4e Zeile - [mm] $x_1$ [/mm] Mal der jetzigen 3en Zeile (das schreiben wir dann in die 4e Zeile), dann die jetzige 3e Zeile - [mm] $x_1$ [/mm] Mal der jetzige 2e Zeile (das kommt in die 3e Zeile), danach die jetzige 2e Zeile - [mm] $x_1$ [/mm] Mal der jetzigen ersten Zeile (das in die 2e Zeile). Die erste Zeile bleibt stehen!
Dadurch ändert sich der Wert der Determinante nicht (det ist alternierend, steht in dem Skript meines damaligen LA-Profs.!).
[mm]\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
x_1 & x_2 & x_3 & x_4\\
x^2_1 & x^2_2 & x^2_3 & x^2_4\\
x^3_1 & x^3_2 & x^3_3 & x^3_4
\end{vmatrix}=[/mm](*$_1$)
[mm] $\rightarrow$ [/mm] (Rechnung wie beschrieben, Vorklammern)
(*$_1$)=[mm]\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & x_2-x_1 & x_3-x_1 & x_4-x_1\\
0 & x_2*(x_2-x_1) & x_3*(x_3-x_1) & x_4*(x_4-x_1)\\
0 & x^2_2*(x_2-x_1) & x^2_3*(x_3-x_1) & x^2_4*(x_4-x_1)
\end{vmatrix}[/mm]
Damit und danach Entwicklung nach der ersten Spalte ergibt dann:
[mm]\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
x_1 & x_2 & x_3 & x_4\\
x^2_1 & x^2_2 & x^2_3 & x^2_4\\
x^3_1 & x^3_2 & x^3_3 & x^3_4
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & x_2-x_1 & x_3-x_1 & x_4-x_1\\
0 & x_2*(x_2-x_1) & x_3*(x_3-x_1) & x_4*(x_4-x_1)\\
0 & x^2_2*(x_2-x_1) & x^2_3*(x_3-x_1) & x^2_4*(x_4-x_1)
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
x_2-x_1 & x_3-x_1 & x_4-x_1\\
x_2*(x_2-x_1) & x_3*(x_3-x_1) & x_4*(x_4-x_1)\\
x^2_2*(x_2-x_1) & x^2_3*(x_3-x_1) & x^2_4*(x_4-x_1)
\end{vmatrix}[/mm]
$=$(*$_2$)
Nun ist die Determinante linear in jeder Spalte, also folgt:
(*$_2$)[mm]=(x_2-x_1)*(x_3-x_1)*(x_4-x_1)*\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1\\
x_2 & x_3 & x_4\\
x^2_2 & x^2_3 & x^2_4
\end{vmatrix}[/mm]
Und nun gehst du mit der gleichen Strategie bei dieser $3$x$3$-Matrix vor. Und danach solltest du die Determinante einer $2$x$2$-Matrix "entdecken", die man auswendig berechnen können sollte.
PS: Sollten sich Flüchtigkeitsfehler "eingeschlichen" haben, dann ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") . Ich muss nun leider weg ![[mussweg]](/images/smileys/mussweg.gif "[mussweg]") ...
Viele Grüße
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:45 Mi 23.06.2004 | | Autor: | toffel |
OK danke schonmal im Voraus. Ich habs kapiert (hoffe ich mal).
ich hab jetzt als determinante:
[mm] det(A)=(x_2 [/mm] - [mm] x_1)*(x_3 [/mm] - [mm] x_1)*(x_4 [/mm] - [mm] x_1)*(x_3 [/mm] - [mm] x_2)*(x_4 [/mm] - [mm] x_2)*(x_4 [/mm] - [mm] x_3) [/mm]
kann man das so stehen lassen?
Jetzt ist noch die Frage für welche x [mm]\in\IR^4\[/mm] ist die Matrix regulär?
Kann man dann schreiben:
für [mm] x_2\ne\ x_1\\
x_3\ne\ x_1\\
x_4\ne\ x_1\\
x_3\ne\ x_2\\
x_4\ne\ x_2\\
x_4\ne\ x_3\[/mm]
ist die Matrix regulär. ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:12 Mi 23.06.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo toffel!
> OK danke schonmal im Voraus.
Bitte!
> Ich habs kapiert (hoffe ich
> mal).
Ja, hast du! ![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]")
> ich hab jetzt als determinante:
(I) [mm]det(A)=(x_2[/mm] - [mm]x_1)*(x_3[/mm] - [mm]x_1)*(x_4[/mm] - [mm]x_1)*(x_3[/mm] - [mm]x_2)*(x_4[/mm] - [mm]x_2)*(x_4[/mm] - [mm]x_3)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> kann man das so stehen lassen?
Schöner gehts doch nicht!
Da steht ja ein Produkt, und wir wollen wissen, wann das $=0$ ist und wann [mm] $\ne [/mm] 0$! Dafür ist diese Darstellung doch ideal! 
> Jetzt ist noch die Frage für welche x [mm]\in\IR^4\[/mm] ist die
> Matrix regulär?
>
> Kann man dann schreiben:
> für [mm]x_2\ne\ x_1\\
x_3\ne\ x_1\\
x_4\ne\ x_1\\
x_3\ne\ x_2\\
x_4\ne\ x_2\\
x_4\ne\ x_3\[/mm]
>
> ist die Matrix regulär. ?
Man kann das nur 'sprachlich' noch etwas 'abkürzen':
Genau dann, wenn [mm] $x_1,x_2,x_3,x_4$ [/mm] paarweise verschieden sind, ist die Matrix regulär.
Bzw. wenn man genau auf die Frage (in der Aufgabenstellung) antworten will :
Die Matrix ist regulär für alle [m]x=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} \in \IR^4[/m], die paarweise verschiedene Komponenten [mm] $x_1,x_2,x_3,x_4 (\in \IR)$ [/mm] haben. Für alle anderen $x [mm] \in \IR^4$ [/mm] ist die Matrix nicht regulär.
Die Begründung für diese Antwort ist übrigens:
Eine Matrix ist genau dann regulär, wenn $det(A) [mm] \ne [/mm] 0$ gilt. Der "Antwortsatz" folgt dann aus (I), weil ein Produkt genau dann verschwindet (; , nein, gemeint ist, dass das Produkt den Wert $0$ annimmt ), wenn einer der Faktoren $0$ ist.
Viele Grüße
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:59 Mi 23.06.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
Hier jetzt die eigentliche Antwort auf deine Frage (du hattest doch richtig gerechnet, ich dachte, Marc hätte anders gerechnet! Ich hab's nochmal nachgeguckt! ).
> moin marcel,
>
> Ich muss auch die selbe Aufgabe wie mausi lösen.
> meine Determinante sieht momentan so aus:
>
> [mm]\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1(x_2 - x_1) & 1(x_3 - x_1) & 1(x_4 - x_1) \\
0 & x_2(x_2 - x_1) & x_3(x_3 - x_1) & x_4(x_4 - x_1) \\
0 & x_2^2(x_2 - x_1) & x_3^2(x_3 - x_1) & x_4^2(x_4 - x_1)
\end{vmatrix}
[/mm]
wie kann man denn jetzt [mm](x_2[/mm] - [mm]x_1)[/mm] , [mm](x_3[/mm] - [mm]x_1)[/mm] und [mm](x_4[/mm] - [mm]x_1)[/mm] ausklammern?
Also, wenn du jetzt den anderen Beitrag von mir liest, siehst du, dass ich das etwas anders (kürzer) gemacht habe als Marc, indem ich einfach schon vorher nach der ersten Spalte entwickelt habe. Aber das ist auch egal.
Entwickeln wir bei dir jetzt auch nach der ersten Spalte:
[mm]\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1(x_2 - x_1) & 1(x_3 - x_1) & 1(x_4 - x_1) \\
0 & x_2(x_2 - x_1) & x_3(x_3 - x_1) & x_4(x_4 - x_1) \\
0 & x_2^2(x_2 - x_1) & x_3^2(x_3 - x_1) & x_4^2(x_4 - x_1)
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
1(x_2 - x_1) & 1(x_3 - x_1) & 1(x_4 - x_1) \\
x_2(x_2 - x_1) & x_3(x_3 - x_1) & x_4(x_4 - x_1) \\
x_2^2(x_2 - x_1) & x_3^2(x_3 - x_1) & x_4^2(x_4 - x_1)
\end{vmatrix}[/mm]=(*)
Und jetzt nutzen wir nach und nach die "Spaltenlinearität" aus:
(*)=[mm]=(x_2-x_1)*\begin{vmatrix}
1 & 1(x_3 - x_1) & 1(x_4 - x_1) \\
x_2 & x_3(x_3 - x_1) & x_4(x_4 - x_1) \\
x_2^2 & x_3^2(x_3 - x_1) & x_4^2(x_4 - x_1)
\end{vmatrix}=(x_2-x_1)*(x_3-x_1)*\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1(x_4 - x_1) \\
x_2 & x_3 & x_4(x_4 - x_1) \\
x_2^2 & x_3^2 & x_4^2(x_4 - x_1)
\end{vmatrix}
=(x_2-x_1)*(x_3-x_1)*(x_4-x_1)*\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
x_2 & x_3 & x_4 \\
x_2^2 & x_3^2 & x_4^2
\end{vmatrix}[/mm]
Ich habe halt ab der $3$x$3$ Matrix zunächst die Linearität der ersten Spalte, danach der zweiten Spalte und danach der dritten Spalte ausgenutzt. Ich hoffe, so ist es klarer (und vor allen Dingen beantwortet es auch deine Frage ).
Viele Grüße
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:33 Do 24.06.2004 | | Autor: | toffel |
Hi Marcel
Ich hab mir auch schon weiter den Kopf darüber zerbrochen. Habs aber dann nach langem überlegen selbst rausgefunden. Aber danke das du es nochmal erwähnt hast.
mfg. Toffel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:10 Do 24.06.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Toffel,
ich hatte mit diesem Posting um ca. 14.30 Uhr angefangen, und dann kam mir noch kurz etwas dazwischen, so dass ich das Posting erst gegen ca. 15.00 Uhr abgesendet hatte. Da hatte ich natürlich dein Posting von 14.45 Uhr gesehen, und damit auch gesehen, dass du das schon verstanden hattest.
Es ist aber auch nicht schlimm, dass ich das hier noch zusätzlich geschrieben hatte, denn es gibt bestimmt die/den ein oder andere/n, der an genau der gleichen Stelle Verständnisprobleme hat. Das ist anfangs vielleicht auch normal, wenn drei Schritte auf einmal gemacht werden. Mit der Zeit wirst du lernen, so etwas direkt zu erkennen, davon bin ich überzeugt. Außerdem hast du es ja jetzt schon einmal gesehen, wie jemand drei Schritte auf einmal macht! Und vor allem alleine herausgefunden, warum man das machen durfte!
Und aus Erfahrung lernt man ja bekanntlich!
Viele Grüße
Marcel
|
|
|
|
