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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:09 Mo 14.06.2004 | | Autor: | mausi |
wie berechne ich die Determinanten,wenn sie so gegeben sind? aus [mm] Mat(2n,2n,\IR)(mit [/mm] a,b [mm] \in \IR)
[/mm]
[mm] \begin{bmatrix}
0 & 1 & 1 \cdots & 1 \\
1 & 0 & 1 \cdots & 1 \\
\vdots & \vdots & \vdots &\vdots \\
1 & 1 & 1\cdots & 0
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
a & 0 \cdots & 0 & b \\
0 & a \cdots & b & 0 \\
\vdots &\cdots & \cdots & \vdots \\
0 & b \cdots & a & 0 \\
b & 0 \cdots & 0 & a \\
\end{bmatrix} [/mm]
???????????????
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:17 Mo 14.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo mausi
da es sich hierbei wieder um eine ganz neue Frage handelt, wäre es schön, wenn du dafür einen neuen Strang beginnen würdest.
Kannst du das bitte machen und dabei bitte noch eine Erläuterung geben?
Ich weiss nämlich mit deiner Darstellungsform nichts anzufangen (meine Mathe-Kenntnisse sind halt eben auch nur lückenhaft vorhanden!)
Sind da 2 einzelne Matrizen gegeben, von denen je die Determinante berechnet werden muss? Oder ist das Matrix-Produkt zu bilden, und davon die Determinante zu berechnen? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Mit lieben Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:21 Mo 14.06.2004 | | Autor: | mausi |
es sind zwei einzelne Matrizen,sorry vielleicht ein bisschen unglücklich aufgeschrieben, und zu jeder Matrize soll die Determinante berechnet werden
Danke Paulus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:02 Mo 14.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo mausi
da bin ich wieder! (Satt, aber müde)
Ihr habt in der Theorie sicher schon gesehen, dass sich die Determinante nicht ändert, wenn man in einer Matrix zu einer Zeile das x-Fache einer anderen Zeile addiert, oder wenn man zu einer Spalte das x-Fache einer Spalte addiert. Pro Spaltenvertauschung oder Zeilenvertauschung ändert sich das Vorzeichen der Matrix.
Des Weiteren gibt es spezielle Matrizen, deren Determinante man einfach ablesen kann: das sind die Matrizen, die entweder im Dreieck unterhalb der Hauptdiagonale lauter $0$ enthält oder im Dreieck oberhalb der Hauptdiagonale lauter $0$ enthält. Die Determinante ist dann einfach das Produkt aller Diagonalelemente.
Deshalb ist es nicht unklug, die gegebene Matrix durch elementare Zeilen- und Spaltenumformungen auf eine solche Form zu bringen.
Ich mache es dir für die 1. Matrix einmal vor (wobei diese meiner Meinung nach die schwierigere ist) und setzte dabei $n=3$. Die Matrix hat ja $2n$ Zeilen und Spalten, ist also eine 6x6-Matrix. Das Verfahren sollte aber recht einfach auf den allgemeinen Wert $n$ schliessen lassen:
[mm] $\begin{pmatrix}0&1&1&1&1&1\\1&0&1&1&1&1\\1&1&0&1&1&1\\1&1&1&0&1&1\\1&1&1&1&0&1\\1&1&1&1&1&0\end{pmatrix}$
[/mm]
Von allen Zeile die 1. Zeile subtrahieren (ausser von der 1. Zeile  ):
[mm] $\begin{pmatrix}0&1&1&1&1&1\\1&-1&0&0&0&0\\1&0&-1&0&0&0\\1&0&0&-1&0&0\\1&0&0&0&-1&0\\1&0&0&0&0&-1\end{pmatrix}$
[/mm]
Jede Zeile zu der 1. Zeile addieren (ausser die 1. Zeile ):
[mm] $\begin{pmatrix}5&0&0&0&0&0\\1&-1&0&0&0&0\\1&0&-1&0&0&0\\1&0&0&-1&0&0\\1&0&0&0&-1&0\\1&0&0&0&0&-1\end{pmatrix}$
[/mm]
Jede Spalte zu der 1. Spalte addieren (ausser die 1. Spalte ):
(Dieser Schritt wäre eigentlich nicht mehr nötig, da wir bereits die gewünschte Form haben, aber weils sooo schön ist...)
[mm] $\begin{pmatrix}5&0&0&0&0&0\\0&-1&0&0&0&0\\0&0&-1&0&0&0\\0&0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&-1&0\\0&0&0&0&0&-1\end{pmatrix}$
[/mm]
Und jetzt sieht man (und gleich verallgemeinert): links oben (wie mathematisch das doch wieder ausgedrückt ist; typisch Paulus) steht der Wert $2n-1$. In der Hauptdiagonale steht $2n-1$ mal eine $-1$.
Somit ist die Determinante [mm] $(2n-1)*(-1)^{2n-1} [/mm] = 1-2n$ 
Liebe mausi, kannst du das mit der 2. Aufgabe auch noch versuchen, bitte?
Pass aber auf, vielleicht braucht es eine Fallunterscheidung ($a [mm] \not [/mm] = 0$ gegenüber $a=0$)
Mit lieben Grüssen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:54 Di 15.06.2004 | | Autor: | mausi |
Danke Paulus
ich würde sagen das die 2. Matrix eine 7 X 7 Matrix ist
und die dann so aussieht
[mm] \begin{pmatrix}a&0&0&0&0&0&b\\0&a&0&0&0&b&0\\0&0&a&0&b&0&0\\0&0&0&ab&0&0&0\\0&0&b&0&a&0&0\\0&b&0&0&0&a&0\\b&0&0&0&0&0&a\end{pmatrix}
[/mm]
tja und nun???
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:45 Di 15.06.2004 | | Autor: | mausi |
Das is lieb von dir Paulus,denn ich komme wirklich nicht klar mit der Aufgabe...
[mm] \begin{pmatrix}a-b&0&0&0&0&b-a\\0&a-b&0&0&b-a&0\\0&0&a-b&b-a&0&0\\0&0&0&0&0&0\\0&b&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}
[/mm]
so???ich hab keine ahnung wie man gauss mit variablen ausführt(das b noch wegdenken find meinen fehler bei der formelerstellung nicht)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Di 15.06.2004 | | Autor: | mausi |
danke paulus ich habs verstanden,alleine kommt man immer schlecht drauf
warum muss man eine Fallunterscheidung bei a machen???
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Nein, da bin ich nicht einverstanden! Steht nicht in der Aufgabenstellung, dass es sich um 2nx2n-Matrizen handeln soll? Oder habe ich da etwas falsch verstanden? Ich glaube allerdings nicht, denn nur wenn die Zeilen- und Spaltenzahl gerade sind, erhältst du in der Mitte der Matrix keinen Konflikt.
