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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:38 Fr 04.01.2008 | | Autor: | JazZi |
| Aufgabe | Seien A,B mxn- Matrizen mit [mm]m>n[/mm]. Zeigen Sie, dass dann immer [mm]det\left( AB^T\right)=0[/mm] gilt.
[mm]B^T[/mm] ist die transponierte Matrix von B. |
Ich habe mit der aufgabe noch so meine probleme!!
wenn ich von B die transponierte bilde, dann wird daraus eine nxm-matrix und damit ist [mm]AB^T[/mm] eine mxm-matrix.
ich weiß, dass ich für den beweis zeigen muss, dass [mm]rg\left( AB^T\right)
allerdings weiß ich nicht, wie ich das machen kann!
ich habe im forum schon mal eine ähnlich aufgabe gefunden, aber da wird mit determinantenfunktionen gearbeitet, davon war bei uns in der vorlesung noch nie die rede!!
kann mir vielleicht einer ansatz zeigen, sodass ich weiß, wie ich da rangehen muss?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:12 Fr 04.01.2008 | | Autor: | Jorgi |
Hallo JazZi,
bist du dir denn sicher, dass diese Behauptung stimmt ?
Überprüfe das mal mit ...
$A = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 }$ [/mm] und $B= [mm] \pmat{ 6 & 7 & 8 \\ 0 & 9 & 9 }$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:30 Fr 04.01.2008 | | Autor: | JazZi |
ich bin mir ziemlich sicher, dass die behauptung stimmt!!
hab dein beispiel mal überprüft:
also [mm]A=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0\\
0 & 4 & 5
\end{pmatrix}[/mm] und [mm]B^T=\begin{pmatrix}
6 & 0 \\
7 & 9 \\
8 & 9
\end{pmatrix}[/mm].
dann ist [mm]AB^T=\begin{pmatrix}
20 & 18 \\
68 & 81
\end{pmatrix}[/mm]. ich hoffe, da sind mir jetzt keine fehler unterlaufen!!
die determinante ergibt dich mittel sarrus-regel:
[mm]det\left( AB^T\right) = 20*81-(18*68)+18*68-( 20*81)=0[/mm]
die behauptung ist also auf alle fälle richtig!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:50 Fr 04.01.2008 | | Autor: | andreas |
hi
also die sarrus-regel kannst du hier so nicht anwenden, die gilt nur für $3 [mm] \times [/mm] 3$-matrizen. lies dir am besten mal ![[]](/images/popup.gif) das hier durch. die determinante in diesem fall ist auf jeden fall ungleich null.
für die aussage muss man wohl noch zustätzlich voraussetzen, dass $m > n$ ist.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:54 Fr 04.01.2008 | | Autor: | JazZi |
oh entschuldigung, das habe ich tatsächlich vergessen!
es muss tatsächlich gelten, dass [mm]m>n[/mm] ist!
danke für den hinweis zu dem beispiel!
die determinante wäre ja dann 396, aber für den beweis weiß ich trotzdem immernoch keine lösung.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:02 Fr 04.01.2008 | | Autor: | andreas |
hi
mach dir klar, dass die $m$ zeilen der matrix linear kombinationen aus $n$ vektoren sind mit $n < m$.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:02 Sa 05.01.2008 | | Autor: | JazZi |
ich hab mir deine bemerkung mal vorgenommen, aber leider kann ich mir das irgendwie noch nicht so richtig vorstellen!
wie sieht denn sowas aus, wenn eine matrix aus einer linearkombination von vektoren dargestellt wird?
heißt das dann, dass der rang nicht voll sein kann und die determinante deswegen 0 ist?
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Hallo,
leider finde ich bei der Durchsicht kaum eigene Beweisansätze v. Dir, was sehr schade ist, denn auch verkehrte Ansätze liefern oft einen Hinweis darauf, was in der Vorlesung bereits dran war.
Also ins Blaue:
Wenn Du zeigen sollst, daß die [mm] det(AB^{T})=0 [/mm] ist, bedeutet das ja, daß zu zeigen ist, daß der Rang der Matrix <m ist, was Du selbst ja auch schon festgestellt hat.
Nun überlege Dir mal, welchen Rang A und [mm] B^{T} [/mm] jeweils höchstens haben können.
Du kannst die Matrizen ja als darstellende Matrizen v. linearen Abbildungen [mm] f_A [/mm] und [mm] f_{B^{T}}auffassen.
[/mm]
Der Rang der darstellenden Matrizen ist ja die Dimension des Bildes der Abbildungen.
In diese Richtung solltest Du weiterdenken, und den höchstmöglichen Rang der Verkettung dieser Abbildungen ermitteln.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:50 Sa 05.01.2008 | | Autor: | JazZi |
das habe ich mir ja auch schon überlegt gehabt.
ich bin mir nur nicht sicher, ob ich das verwenden kann, da wir soetwas in der vorlesung noch nie verwendet haben.
in meinem fall wäre ja [mm]A: \IR^m \to \IR^n[/mm] und [mm]B: \IR^m \to \IR^n[/mm].
damit ergibt sich [mm]B^T: \IR^n \to \IR^m[/mm]
und [mm]\left( AB^T \right): \IR^n \to \IR^n[/mm]
ich weiß dass [mm] B^T [/mm] zuerst ausgeführt wird und dann A.
nur wie kann ich daraus folgern, dass die verknüpfung nicht surjektiv sein kann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:21 Sa 05.01.2008 | | Autor: | Merle23 |
Also das, was du in deinem letzten Beitrag geschrieben hast, ist falsch rum (du hast m und n vertauscht).
A, B sind mxn Matrizen, d.h. die damit dargestellten linearen Abbildungen bilden von [mm] R^n [/mm] in den [mm] R^m [/mm] ab, und damit [mm] B^t [/mm] von [mm] R^m [/mm] in [mm] R^n.
[/mm]
Das [mm] AB^t [/mm] damit also von [mm] R^m [/mm] wieder nach [mm] R^m [/mm] abbildet, das hast du schon richtig erkannt - das wichtige ist aber, dass diese Abbildung dabei den Umweg über den [mm] R^n [/mm] geht.
Jetzt kommt ins Spiel, dass [mm] R^n [/mm] eine kleinere Dimension hat als [mm] R^m [/mm] (da m>n).
Was wissen wir über lineare Abbildungen, die von einem höherdimensionalen in einen niedrigerdimensionalen Vektorraum abbilden?
Da rauskommen soll, dass [mm] Det(AB^t)=0 [/mm] ist, musst du also irgendwie zeigen, dass die Abbildung [mm] (AB^t) [/mm] nicht invertierbar ist (denn das heisst ja, dass die Determinante = 0 ist).
Nicht invertierbar heisst nicht bijektiv. Was wissen wir über das nacheinander Ausführen von (nicht) injektiven/ (nicht) surjektiven Funktionen? Welche dieser Eigenschaften bleibt bei der komponierten Funktion übrig?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:02 So 06.01.2008 | | Autor: | JazZi |
also ich habe jetzt:
[mm]A: \IR^n \to \IR^m[/mm], [mm]B: \IR^m \to \IR^n[/mm]
und ich weiß, dass [mm]rg\left( A \right)\le n[/mm]
und [mm]rg\left( B^T \right) \le n[/mm].
[mm]A[/mm] ist injektiv aber nicht surjektiv und [mm]B^T[/mm] ist nicht injektiv aber surjektiv.
daraus folgt, dass die verknüpfung [mm]AB^T: \IR^m \to \IR^m[/mm] weder injektiv, noch surjektiv sein kann und damit natürlich auch nich bijektiv!!
das bedeutet, dass [mm]\left(AB^T\right)[/mm] nicht invertierbar ist, und somit ist [mm]rg\left( AB^T\right)
ist das jetzt so richtig oder muss ich da noch mehr begründen?
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> also ich habe jetzt:
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> [mm]A: \IR^n \to \IR^m[/mm], [mm]B: \IR^m \to \IR^n[/mm]
> und ich weiß, dass
> [mm]rg\left( A \right)\le n[/mm]
> und [mm]rg\left( B^T \right) \le n[/mm].
>
> [mm]A[/mm] ist injektiv
Hallo,
wieso ist A injektiv?
> aber nicht surjektiv
Das stimmt.
Wenn Du hierfür keinen Satz aus der VL parat hast, mußt Du das beweisen.
> und [mm]B^T[/mm] ist nicht
> injektiv
Begründung/Beweis?
> aber surjektiv.
Wieso?
>
> daraus folgt,
Wie?
> dass die verknüpfung [mm]AB^T: \IR^m \to \IR^m[/mm]
> weder injektiv, noch surjektiv sein kann und damit
> natürlich auch nich bijektiv!!
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:26 So 06.01.2008 | | Autor: | JazZi |
Eine lineare Abbildung ist genau dann injektiv, wenn die Abbildungsmatrix vollen Spaltenrang hat: [mm]rg\left(A\right) = n[/mm]
Eine lineare Abbildung ist genau dann surjektiv, wenn die Abbildungsmatrix vollen Zeilenrang hat: [mm]rg\left(B^T\right) = m[/mm]
das trifft doch für die matrizen jeweils zu oder?
und wir hatten in einer übung mal eine tabelle erstellt, welche eigenschaftem erfült sein müssen, damit die verknüpfung jeweils injektiv, surjektiv oder bijektiv ist!
allerdings ist mir aufgefallen, dass ich nur sagen kann, dass [mm]A[/mm] nicht surjektiv ist, aber die injektivität offen bleibt!
genauso verhält es sich bei [mm]B^T[/mm] : ist injektiv, aber über surjektivität kann keine aussage getroffen werden.
aber damit die verknüpfung bijektiv ist und somit invertierbar, muss [mm]A[/mm] surjetiv und [mm]B^T[/mm] injektiv sein, und das ist nich erfüllt!!
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> Eine lineare Abbildung ist genau dann injektiv, wenn die
> Abbildungsmatrix vollen Spaltenrang hat: [mm]rg\left(A\right) = n[/mm]
>
> Eine lineare Abbildung ist genau dann surjektiv, wenn die
> Abbildungsmatrix vollen Zeilenrang hat: [mm]rg\left(B^T\right) = m[/mm]
Das stimmt beides.
>
> das trifft doch für die matrizen jeweils zu oder?
Woher hast Du diese Information?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:38 So 06.01.2008 | | Autor: | JazZi |
also die information, wann eine lineare abb. injektiv, surjektiv ist habe ich aus wikipedia unter Rang(mathematik)!
in der vorlesung haben wir ja wie schon mal gesagt, matrizen noch nie als abbildungen aufgefasst.
deswegen weiß ich auch nich, wie ich das allgemein beweisen kann!
und die voraussetzungen für die bijektivität einer verknüpfung von abb. haben wir in der übung durchgenommen :S
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> Eine lineare Abbildung ist genau dann injektiv, wenn die
> Abbildungsmatrix vollen Spaltenrang hat: [mm]rg\left(A\right) = n[/mm]
>
> Eine lineare Abbildung ist genau dann surjektiv, wenn die
> Abbildungsmatrix vollen Zeilenrang hat: [mm]rg\left(B^T\right) = m[/mm]
>
> das trifft doch für die matrizen jeweils zu oder?
Hallo,
Du hast mich vielleicht nicht richtig verstanden:
woher willst Du wissen, daß A bzw. [mm] B^t [/mm] vollen Rang haben?
Ich lese davon nichts in der Aufgabenstellung.
Fakt ist: dem Obigen kannst Du entnehmen, daß A nicht surjektiv ist und [mm] B^t [/mm] nicht injektiv.
> aber damit die verknüpfung bijektiv ist und somit invertierbar, muss A surjetiv und
> $ [mm] B^T [/mm] $ injektiv > sein, und das ist nich erfüllt!!
Wenn das bereits gezeigt wurde, bist Du ja fertig.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 So 06.01.2008 | | Autor: | JazZi |
ich habe doch nie behauptet, dass der rang voll ist!!
es ist ja eben nicht so, dachte ich und deswegen kann ich das ja auch sagen!
aber gezeigt haben wir das in der vorlesung eben nich!
kann ich dass denn damit begründen, dass [mm]dim\left(\IR^m\right)>dim\left( \IR^n\right)[/mm]??
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> ich habe doch nie behauptet, dass der rang voll ist!!
Na, dann kann ich vielleicht nicht richtig lesen, aber Du schriebst doch
"Eine lineare Abbildung ist genau dann injektiv, wenn die Abbildungsmatrix vollen Spaltenrang hat: $ [mm] rg\left(A\right) [/mm] = n $
Eine lineare Abbildung ist genau dann surjektiv, wenn die Abbildungsmatrix vollen Zeilenrang hat: $ [mm] rg\left(B^T\right) [/mm] = m $
das trifft doch für die matrizen jeweils zu oder? ",
und zuvor behauptetest Du, daß A injektiv ist und [mm] B^T [/mm] surjektiv.
Aber wenn Dir klar ist, daß das nicht der Fall ist, ist ja alles in Ordnung.
> aber gezeigt haben wir das in der vorlesung eben nich!
Dann zeig eben jetzt, daß die Abb [mm] f:\IR^m\to \IR^m [/mm] mit f(x):=AB^tx nicht injektiv ist.
(Daß [mm] B^t [/mm] nicht injektiv ist, weißt Du ja, und das mußt Du verwenden.).
Eventuell hast Du einen Satz zur Hand, mit dem dann gleich folgt, daß f nicht surjektiv ist, ansonsten zeigst Du das anschließend.
> kann ich dass denn damit begründen, dass $ [mm] dim\left(\IR^m\right)>dim\left( \IR^n\right) [/mm] $??
ich weißnicht so genau, was Du hiermit meinst.
Die Tatsache, daß [mm] n\le [/mm] m spielt für die ganzen Überlegungen ja schon eine große Rolle, aber für einen Bewies muß man es natürlich sinnvoll und schlagkräftig einsetzen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:12 So 06.01.2008 | | Autor: | JazZi |
okay vielen dank.
ich denke jetzt werde ich endlich alleine zurecht kommen!
vielen dank für deine mühe:)
schönen abend noch
lg JazZi
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