Determinanten zum LÖsen von LGS < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:10 Sa 07.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hiho.
Ich würde gerne wissen, wie man darauf kommt, dass man über die Determinante die Lösbarkeit eines LGS bestimmen kann. Ich kenne mich nicht sehr mit linearer Algebra aus, bin da recht unbedarft.
Kennt da jemand eine gute Website, auf der ich mich mal informieren kann?
Gruß,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 Sa 07.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Josef.
Nein, es hilft mir nicht wirklich.
Ich weiß, wie ich die Determinanten berechnen kann, aber ich weiß nicht, wieso mir die Determinante Informationen über die Lösbarkeit eines Gleichugnssystemes liefert.
Danke trotzdem!
Gruß,
Hanno
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:43 Sa 07.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
Ein lineares quadratisches Gleichungssystem in den Unbekannten [mm] $x_1,\ldots, x_n$ [/mm] besteht aus $n$ Gleichungen der Form
[mm] $a_{11} \cdot x_1 [/mm] + [mm] a_{12} \cdot x_2 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] a_{1n} \cdot x_n [/mm] = [mm] b_1$
[/mm]
[mm] $a_{21} \cdot x_1 [/mm] + [mm] a_{22} \cdot x_2 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] a_{2n} \cdot x_n [/mm] = [mm] b_2$
[/mm]
[mm] $\ldots$
[/mm]
[mm] $a_{n1} \cdot x_1 [/mm] + [mm] a_{n2} \cdot x_2 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] a_{nn} \cdot x_n [/mm] = [mm] b_n$.
[/mm]
In Matrixschreibweise kann man das so schreiben:
$Ax=b$
mit
$A = [mm] \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{pmatrix}$,
[/mm]
$x = [mm] \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$,
[/mm]
$b = [mm] \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix}$.
[/mm]
Hinter diesem linearen Gleichungssystem steckt eine lineare Abbildung, nämlich die Abbildung:
[mm] $L_A [/mm] : [mm] \begin{array}{ccc} \IR^n & \to & \IR^n \\[5pt] x & \mapsto & Ax \end{array}$.
[/mm]
Die Lösbarkeit des linearen Gleichungssystems $Ax=b$ für beliebige "rechte Seiten" $b$ ist gleichbedeutend damit, dass die lineare Abbildung [mm] $L_A$ [/mm] surjektiv ist (denn genau dann gibt es ja für alle $b [mm] \in \IR^n$ [/mm] ein $x [mm] \in \IR^n$ [/mm] mit [mm] $L_A(x) [/mm] = Ax = b$). In diesem Fall ist die Abbildung [mm] $L_A$ [/mm] dann automatisch bijektiv (d.h. für alle $b [mm] \in \IR^n$ [/mm] gibt es genau ein $x [mm] \in \IR^n$ [/mm] mit [mm] $L_A(x)=Ax=b$), [/mm] denn eine surjektive Abbildung $f:A [mm] \to [/mm] B$ ist bijektiv, wenn $A$ und $B$ die gleiche (endliche!) Mächtigkeit besitzen.
Wann aber ist [mm] $L_A$ [/mm] surjektiv (also bijektiv)?
Genau dann, wenn die Matrix $A$ regulär ist, wenn also der Rang der Matrix $A$ maximal (also gleich $n$) ist! Der Rang einer Matrix ist die Dimension des Spaltenraums, also die maximale Anzahl linear unabhängiger Spaltenvektoren der Matrix. Klar? (Dies ist gleich der Dimension des Zeilenraumes.)
Und dies ($Rang(A)=n$) ist genau dann der Fall, wenn [mm] $\det(A) \ne [/mm] 0$ gilt!
Alles klar? (Die Details und Beweise habe ich weggelassen, die findest du in jedem LA-Buch. Ich wollte nur die Zusammenhänge verdeutlichen.)
Kennst du alle Begriffe, die ich verwendet habe? Wenn nicht, dann frage bitte unbedingt nach.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Sa 07.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Stephan.
Aus deinem ersten Absatz kannte ich noch alle Begriffe, also alles über die Abbildungen.
Beim zweiten musste ich ein wenig kauen, glaube aber, dass ich es verstanden habe.
"Der Rang der Matrix ist die maximale Anzahl an Spaltenvektoren (ein Spaltenvektor ist ein Vektor bestehend aus den Gliedern der Spalte, sehe ich das richtig?), welche zueinander linear unabhängig sind."
Ist das korrekt?
Wenn ja, dann erstmal danke ;)
Ich denke mir mal meinen Teil dazu, und zwar:
Wäre die Matrix nicht regulär, so käme dies dem Falle gleich, dass man durch Multplikation einer Gleichung ( also durch Multiplikation aller Koeffizienten [mm]a_{n,1},...,a_{n,n}[/mm] eine andere Gleichung des LGS erhalten würde. Diese wäre dann ja "nichts Neues", und würde bei der Lösung nicht helfen. Da die Spaltenvektoren alle linear unabhängig sind wissen wir, dass unsere Gleichungen wirklich "neue Tatsachen" bringen und keine aus sich selbst entstandene Umformungen darstellen.
Jetzt würde es mich nur noch interessieren, warum die Matrix regulär ist, wenn die Determinante gleich 0 ist. Vielleicht ist das ja leichter und ich kann's irgendwo nachlesen.
Also:
VIEEELLLLEEENNN DANK Stephan 
Hab' auch ne kleine Überraschung für dich =o)
Gruß,
Hanno
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:29 Sa 07.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
> Aus deinem ersten Absatz kannte ich noch alle Begriffe,
> also alles über die Abbildungen.
> Beim zweiten musste ich ein wenig kauen, glaube aber, dass
> ich es verstanden habe.
> "Der Rang der Matrix ist die maximale Anzahl an
> Spaltenvektoren
...an linear unabhängigen Spaltenvektoren...
> (ein Spaltenvektor ist ein Vektor bestehend
> aus den Gliedern der Spalte, sehe ich das richtig?), welche
> zueinander linear unabhängig sind."
> Ist das korrekt?
Ja, der $i$-te Spaltenvektor meiner Matrix $A$ ist gerade:
[mm] $a_i= \begin{pmatrix} a_{1i}\\ a_{2i} \\ \vdots \\ a_{ni} \end{pmatrix}$
[/mm]
> Wenn ja, dann erstmal danke ;)
> Ich denke mir mal meinen Teil dazu, und zwar:
> Wäre die Matrix nicht regulär, so käme dies dem Falle
> gleich, dass man durch Multplikation einer Gleichung ( also
> durch Multiplikation aller Koeffizienten
> [mm]a_{n,1},...,a_{n,n}[/mm] eine andere Gleichung des LGS erhalten
> würde. Diese wäre dann ja "nichts Neues", und würde bei der
> Lösung nicht helfen. Da die Spaltenvektoren alle linear
> unabhängig sind wissen wir, dass unsere Gleichungen
> wirklich "neue Tatsachen" bringen und keine aus sich selbst
> entstandene Umformungen darstellen.
Ja, das kommt dem Kern des Pudels sehr nahe.
Die Tatsache, dass der Rang maximal ist (also die Matrix regulär ist) bedeutet gerade, dass die Spaltenvektoren linear unabhängig sind. Wenn ich den $i$-ten Spaltenvektor mit [mm] $a_i$ [/mm] bezeichne, dann heißt das gerade:
Für alle $b [mm] \in \IR^n$ [/mm] gibt es eindeutig bestimmte reelle Zahlen [mm] $x_1,\ldots,x_n$ [/mm] mit
[mm] $x_1 a_1 [/mm] + [mm] x_2 a_2 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] x_n a_n [/mm] = b$,
(beachte: die [mm] $x_i$ [/mm] sind Zahlen, die [mm] $a_i$ [/mm] Vektoren!)
und das heißt ja gerade, dass
$x = [mm] \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$
[/mm]
eine Lösung von $Ax=b$ ist, denn es gilt:
$Ax= [mm] x_1 a_1 [/mm] + [mm] x_2 a_2 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] x_n a_n$.
[/mm]
> Jetzt würde es mich nur noch interessieren, warum die
> Matrix regulär ist, wenn die Determinante gleich 0 ist.
Du meinst also: Warum sind die $n$ Spaltenvektoren genau dann linear unabhängig, wenn [mm] $\det(A) \ne [/mm] 0$ gilt?
> Vielleicht ist das ja leichter und ich kann's irgendwo
> nachlesen.
Das kannst du dir so klarmachen (beachte hierbei, dass ich das Ganze jetzt mit den Zeilenvektoren mache, was aber wegen "Zeilenrang=Spaltenrang" keinen Unterschied macht): Bringst du die Matrix $A$ mit elementaren Zeilenumformungen auf Zeilenstufenform (also hier auf die Form einer oberen Dreiecksmatrix!), so ist der Rang der neuen, auf obere Dreiecksgestalt gebrachten, Matrix gleich $m$, wobei $m$ die Anzahl der von $0$ verschiedenen Zeilenvektoren ist. Man kann wegen der oberen Dreiecksgestalt auch sagen $m$ ist die Anzahl der von $0$ verschiedenen Einträge auf der Diagonalen. Da bei einer oberen Dreicksmatrix die Determinante gleich dem Produkt der Einträge auf der Diagonalen ist und sich die Determinante unter elementaren Zeilenumformungen nicht ändert (d.h. die Determinante der oberen Dreiecksmatrix ist gleich der Determinante der ursprünglichen Matrix $A$), gilt genau dann [mm] $\det(A) \ne [/mm] 0$, wenn auf der Diagonalen in der oberen Dreiecksgestalt keine $0$en stehen, wenn also $m=n$ gilt und daher die $n$ Zeilenvektoren (und damit auch die $n$ Spaltenvektoren) linear unabhängig sind, was nichts anderes bedeutet, als dass die Matrix $A$ regulär ist (und damit das Gleichungssystem $Ax=b$ für alle rechten Seiten $b$ eindeutig lösbar ist).
> Hab' auch ne kleine Überraschung für dich =o)
Jetzt bin ich aber gespannt.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Sa 07.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Stefan.
Danke für die weitere Erklärung.
Puh, ich habe zuerst Zelien- und Spaltenvektoren verdreht, aber wenn die Ränge gleich sind dann ist das ja kein Problem und mein Gedanke ist richtig.
Gut, nehmen wir an, wir haben unsere Matrix auf obere Dreiecksform gebracht. Jetzt sagst du, m sei der Rang der Matrix und zugleich die Anzahl der voll Null verschiedenen Hauptdiagonalenelemente der Matrix. Das kann ich nicht ganz nachvollziehen. Was mir klar ist, ist, dass, wenn alle Hauptdiagonalenelemente [mm]\noteq 0[/mm] sind, dann mit Sicherheit [mm]m=n[/mm] gilt, da der Körper [mm]\IR[/mm], auf dem wir rechne, keine Nullteiler besitzt (welche es ja geben müsste, sollten die Zeilenvektoren linear abhängig sein). Aber was ist denn, wenn ein Element auf der Hauptdiagonale gleich Null ist? Das heißt doch lediglich, dass wir nicht mehr ausschließen können, dass 2 Zeilenvektoren linear abhängig sind. Die beiden Zeilenvektoren müssen dann ja noch lange nicht linear abhängig sein, oder sehe ich das falsch?
Aber gut, nehmen wir an, alle Hauptdiagonalenelemente seien 0, dann muss [mm]m=n[/mm] gelten. Und dann ist die Determinante ungleich Null *froi*
Mensch, das ist ja wirklcih elegant, find ich sehr schön.
Danke nochmals ;)
Gruß,
Hanno
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:30 So 08.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
> Danke für die weitere Erklärung.
> Puh, ich habe zuerst Zelien- und Spaltenvektoren verdreht,
> aber wenn die Ränge gleich sind dann ist das ja kein
> Problem und mein Gedanke ist richtig.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") (ich hatte die Vertauschung schon bemerkt, sah sie aber für das Verständnis als nicht gravierend an)
> Gut, nehmen wir an, wir haben unsere Matrix auf obere
> Dreiecksform gebracht.
> Jetzt sagst du, m sei der Rang der
> Matrix und zugleich die Anzahl der voll Null verschiedenen
von Null verschieden, ja
> Hauptdiagonalenelemente der Matrix. Das kann ich nicht ganz
> nachvollziehen. Was mir klar ist, ist, dass, wenn alle
> Hauptdiagonalenelemente [mm]\noteq 0[/mm] sind, dann mit Sicherheit
> [mm]m=n[/mm] gilt, da der Körper [mm]\IR[/mm], auf dem wir rechne, keine
> Nullteiler besitzt (welche es ja geben müsste, sollten die
> Zeilenvektoren linear abhängig sein).
> Aber was ist denn,
> wenn ein Element auf der Hauptdiagonale gleich Null ist?
> Das heißt doch lediglich, dass wir nicht mehr ausschließen
> können, dass 2 Zeilenvektoren linear abhängig sind. Die
> beiden Zeilenvektoren müssen dann ja noch lange nicht
> linear abhängig sein, oder sehe ich das falsch?
Doch, das müssen sie dann automatisch. Stell dir mal vor, du hast eine Matrix in oberer Dreiecksgestalt, und im meinetwegen drittletzten Diagonaleintrag steht eine $0$. Dann sind doch notwendigerweise die letzten drei Zeilenvektoren linear abhängig, denn es handelt sich um drei Vektoren, die wir durch geeignete Identifizierung (Weglassen der Nullen) als Vektoren im [mm] $\IR^2$ [/mm] auffassen können.
Jetzt klar?
> Aber gut, nehmen wir an, alle Hauptdiagonalenelemente seien
> 0, dann muss [mm]m=n[/mm] gelten. Und dann ist die Determinante
> ungleich Null *froi*
> Mensch, das ist ja wirklcih elegant, find ich sehr schön.
Elegant: Ich weiß nicht, und wenn, dann jedenfalls nicht von mir.  Das ist absolute Standard-LA. Die lernst du im ersten Semester kennen. Oder aber schon vorher, wenn du vorher schon ein LA-Buch liest... Sollen wir eines zusammen lesen? Wie wäre es erst einmal mit einem einfachen und anschaulichem Buch (mit humorvollem Text), damit der Sprung für dich von der Schulmathematik nicht zu groß wird? Ich bin für den Beutelspacher, "Lineare Algebra". Wir könnten es so machen: Du liest, sagst mir wie weit du bist und ich lese parallel mit und wir diskutieren über die Aufgaben. Teuer ist das Buch nicht, ist vom vieweg-Verlag.
Hast du Lust dazu?
> Danke nochmals ;)
Gern geschehen.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:35 So 08.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Stefan.
Erstmal zu der Matrix:
Ja, dass ich dann 2 Vektoren aus [mm]\IR^2[/mm] habe war mir klar,doch woher weiß ich, dass diese linear Abhängig sind? Geht das aus den Umformungen hervor? Damit bin ich nämlich noch nicht so fit.
Und zum Buch:
Puh, ich habe hier zwar schon viele Bücher, aber ich würde das gerne machen.
Scheint ein schönes Studienanfangsbuch zu sein, wenn ich das auf Amazon richtig deute. Und Beutelspacher ist ganz gut zu lesen finde ich, auch wenn ich hier nur "Das ist o.B.d.A trivial" herumliegen habe.
Ich denke, dass ich mich inzwischen schon ein wenig an das Verstehen von Texten aus dem Studium gewöhnt habe - - ob und wie das Buch da jetzt anknüpft, das weiß ich nicht - wenn ich hier allerdings so lese, scheint mir, dass Beutelspacher trotz guter Erklärungen immernoch mathematisch korrekt bleibt, was mir sehr wichtig ist (ich will ja auch gleich aus der Formulierung mitlernen - mal schauen, ob er so schreibt wie er es in seinem Buch empfiehlt :-P ).
Also, ich gebe dir noch eine Antwort, und wenn die nicht völlig abschreckend ist, dann kauf ich mir das buch
Doch vergiss bitte nicht, dass Schule vorrang hat (oder haben sollte) und ich dann auch nicht jeden Tag in dem Mathebuch lesen kann, da ich z.Z. wirklich so viele Bücher habe und so viele Sachen machen könnte und die Zeit einfach vorne und hinten nicht langt. Aber es muss ja auch nicht jeden Tag sein mit den Aufgaben ;)
*Danke* Stefan
Das wäre wirklcih klasse.
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:09 So 08.08.2004 | | Autor: | andreas |
hi Hanno
ich mische mich einfach mal kurz mit einem beispiel ein:
3 x 3 obere dreiecksmatrix mit einer null auf der diagonalen:
[mm] A = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & -8 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) [/mm]
jetz kannst du die zeilen - durch weglassen der nullen - als 3 vektoren in [m] \mathbb{R}^2 [/m] auffassen:
[mm] a = \left( \begin{array}{c}2 \\ 5 \end{array} \right), \; b = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -8 \end{array} \right) , \; c = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right) [/mm]
und die sind ja klar linear abhängig. vielleicht wird es durch das beispiel klarer
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:12 So 08.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Andreas.
Das war mir alles schon so klar, auch wo Stefan das vorhin gesagt hat, doch das muss doch nicht immer der Fall sein, dass die Vektoren unabhängig sind? Es kann doch ebensogut sein, dass [mm]a=\vektor{2\\3}[/mm] und [mm]b=\vektor{4\\6}[/mm] - wieso könnt ihr garantieren, dass zwei Vektoren mit gleicher Anzahl von Nullen auf der Oberen Dreieckesmatrix linear unabhängig sind?
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:22 So 08.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
Ich glaube du hast dich verlesen. Wir haben ja gesagt:
Wenn eine $0$ auf der Diagonalen steht, dann sind die Vektoren abhängig (weil man dann in unserem Fall drei Vektoren im [mm] $\IR^2$ [/mm] hat).
Die Umkehrung, dass die Vektoren unabhängig sind, wenn keine $0$en auf der Diagonalen stehen, war dir doch selber schon klar, oder?
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:30 So 08.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Stefan.
Hm nein, ich hatte das schon so verstanden.
Ich stelle mich wohl mächtig blöd an, aber ich verstehe nicht, warum die Vektoren (nehmen wir mal an wir haben 2 Vektoren im [mm]\IR^2[/mm]) linear abhängig sind.
*verzweifelt*
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:38 So 08.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
Schau dir Andreas Beispiel noch einmal an: Dort entstehen ja drei Vektoren, und die sind im [mm] $\IR^2$ [/mm] ja immer linear abhängig.
Genauso ist das, wenn die Null im viertletzten Diagonaleintrag steht. Dann haben wir vier Vektoren im [mm] $\IR^3$, [/mm] und auch die sind linear abhängig.
Usw.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:48 So 08.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Stefan.
Aber beschriebt denn nicht die Dimension die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren? Warum *muss* ich denn dann noch den letzten mitbetrachten? Ich könnte doch auch sagen, dass ich mir die beiden Schnappe, welche genau die gleiche Anzahl an Nullen haben - von diesen kann ich nicht sofort sagen, ob sie linear abhängig oder nicht sind. Und wenn sind linear abhängig sind, dann ist die Dimension ja bestenfalls n-1, da ich, wenn ich alle n auswählen würde, die beiden mit ausgewählt hätte, obgleich sie linear abhängig sind.
Natürlich kann es jedoch auch sein, dass sie linear unabhängig sind, dann könnte es doch trotzdem die Dimension n geben.
Habe ich vielleicht den Begriff der Dimension falsch verstanden?
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:42 So 08.08.2004 | | Autor: | andreas |
> Aber beschriebt denn nicht die Dimension die maximale
> Anzahl linear unabhängiger Vektoren?
das kann man schon so sagen.
> Warum *muss* ich denn
> dann noch den letzten mitbetrachten?
in diesm beispiel willst du doch, dass du bei einer [m] n \times n [/m]-matrix $n$ linerar unabhängige zeilenvektorn hast - also musst du alle zeilen betrachten um überhaupt die möglichkeit haben soviele linear unabhängige zeilen zu haben!
> Ich könnte doch auch
> sagen, dass ich mir die beiden Schnappe, welche genau die
> gleiche Anzahl an Nullen haben - von diesen kann ich nicht
> sofort sagen, ob sie linear abhängig oder nicht sind. Und
> wenn sind linear abhängig sind, dann ist die Dimension ja
> bestenfalls n-1, da ich, wenn ich alle n auswählen würde,
> die beiden mit ausgewählt hätte, obgleich sie linear
> abhängig sind.
also hätte die matrix in diesem fall nicht vollen rang.
> Natürlich kann es jedoch auch sein, dass sie linear
> unabhängig sind, dann könnte es doch trotzdem die Dimension
> n geben.
du musst dabei aber bedenken, dass du dabei noch die vektoren unberücksichtigt gelassen hast die noch weniger einträge haben - nochmal zu meinem beispiel von oben:
$ a = [mm] \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right), \; [/mm] b = [mm] \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ -8 \end{array} \right) [/mm] , [mm] \; [/mm] c = [mm] \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) [/mm] $
betrachtest du nur die vektoren $a$ und $b$, so sind diese sicherlich linear unabhängig, nimmst du jedoch noch den vektor $c$ hinzu werden die vektoren und somit die zeieln der matrix linear abhängig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:11 So 08.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Andreas & Stefan.
Ich habe mir grad nochmal Gedanken gemacht, war aber nicht am PC.
Ich glaube, dass ich es jetzt verstanden habe, will es aber noch posten, um zu sehen, ob denn die Begründung korrekt ist:
Nehmen wir an, alle Hauptdiagonaleneinträge sind ungleich Null. Dann ist die Matrix regulär und wir haben unser Ziel erreicht. Ist irgendein Hauptdiagonalenelement, nennen wir es [mm]k[/mm], gleich Null, so gibt es [mm]n-k+1[/mm] Spaltenvektoren aus [mm]\IR^{n-k}[/mm]. Da es für den Raum [mm]\IR^m[/mm] nur genau [mm]m[/mm] Basisvektoren geben kann, lässt sich jeder [mm]n-k+1[/mm] Vektoren durch Linearkombination der verbleibenden [mm]n-k[/mm] Vektoren darstellen. Dies impliziert, dass diese Menge von Vektoren linear abhängig ist. Dies wiederum bedeutet, dass die Dimension der gesamten Matrix maximal [mm]n-1[/mm] betragen kann, denn:
Bezeichne [mm]v_i[/mm] den i-ten Spaltenvektor mit [mm]i\in {1,...,n}[/mm], so könnte man stets Koeffizienten [mm]a_k,...a_n[/mm] finden, sodass gilt:
[mm]0\cdot v_1+0\cdot v_2+...+0\cdot v_{k-1}+a_k\cdot v_k+...+a_n\cdot v_n=0[/mm].
Dies jedoch würde lineare Abhängigkeit bedeuten, welche wir vermeiden wollen. Dies können wir nur, indem wir einen der Spaltenvektoren [mm]v_k,...,v_n[/mm] streichen, folglich die Dimension gleich [mm]n-1[/mm] ist.
Ist das korrekt?
Ich werde mir noch viele viele Gedanken machen müssen, auchwenn mir das obige einleuchtet. Aber das kommt sicher noch..
Danke an euch!
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:33 So 08.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Stefan.
Ich habe das Buch eben bestellt. Es wird in ein paar Tagen ankommen, ich werd reinschnuppern und mich dann bei dir melden
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:37 So 08.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Danke Josef, nach Stefans Erläuterungen kann ich deine Seite doch noch sehr gut gebrauchen!
Vielen Dank!
Gruß,
Hanno
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www.kliss-h.de/determinanten7.htm