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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:31 So 21.05.2006 | | Autor: | MarkusB |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Abbildung
det: [mm] \IR^{nxn} \to \IR, [/mm] A [mm] \mapsto [/mm] det A
die jeder nxn Matrix ihre Determinante zuordnet stetig ist. |
Hallo.
OK, ich weiß wie Stetigkeit im [mm] \IR^{n} [/mm] definiert ist und ich kenne auch die Sätze über Richtungsstetigkeit, Definition der Determinante (Forderungen und die Sätze die daraus folgen (ohne Stetigkeit)), Entwicklungssatz, Stetigkeit verbunden mit partiellen Funktionen, die Eindeutigkeit und Existenz von Determinanten sowie die Leibniz-Formel.
Trotz vieler Versuche kann ich die Stetigkeit nur intuitiv bestätigen. Ich verstehe nicht wie ich die Stetigkeit einer Funktion im [mm] \IR^{n} [/mm] allgemein zeigen kann ... ein "Punkt" alleine wäre nicht so schwer. Auch meine Studienkollegen kommen nicht weiter. Es tut mir leid keinen wirklichen Ansatz zu haben.
Wie kann ich vorgehen? Welchen Ansatz/Weg muss ich machen/einschlagen?
Sorry, ich will nicht gegen die Forum-Regeln verstoßen aber ich weiß wirklich nicht weiter. Bin für jeden Hinweis/Link/Erklärung dankbar.
mfg
Markus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Markus,
das ist doch eigentlich nicht schwer: schau dir die definition der determinante an, als summe von produkten der matrix-elemente. jetzt musst du nur noch ein paar sätze über die stetigkeit von summen/produkten usw. von stetigen funktionen zitieren und du bist fertig!
Gruß
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 Fr 23.05.2008 | | Autor: | eumel |
wenn man die stetigkeit von det: Gl(n,|R) --> |R; A-> det(A) vermittels epsilon-delta kriterium nachrechnen möchte, wie würde das gehen?
da A invertierbar ist (aus lin.unabh. zeilen/spalten besteht) kann man die doch durch elem. zeilenumf. zu einer matrix umformen, wo unterhalb der diagonalen nur 0en sind. dann wäre ja die determinante nichts anderes als das produkt der neu entstandenen [mm] a_{ii} [/mm] durch die umformung.
Bringt einem das etwas? wenn ja wie kann man weiter machen?
danke ^^
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:53 Sa 24.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> wenn man die stetigkeit von det: Gl(n,|R) --> |R; A->
> det(A) vermittels epsilon-delta kriterium nachrechnen
> möchte, wie würde das gehen?
Ich glaube nicht, dass du das willst. Benutze lieber so `Rechenregeln' wie: sind $f, g$ stetig, so auch $f + g$, $f [mm] \cdot [/mm] g$, ...
> da A invertierbar ist (aus lin.unabh. zeilen/spalten
> besteht)
Was ist $A$? Und wieso ist es invertierbar?
> kann man die doch durch elem. zeilenumf. zu einer
> matrix umformen, wo unterhalb der diagonalen nur 0en sind.
> dann wäre ja die determinante nichts anderes als das
> produkt der neu entstandenen [mm]a_{ii}[/mm] durch die umformung.
> Bringt einem das etwas?
Nein.
> wenn ja wie kann man weiter machen?
Lies dir nochmal Matthias' Antwort durch und beherzige meinen Hinweis oben.
Und wenn dir das immer noch zu kompliziert ist, schreib doch mal die Determinante einer allgemeinen $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrix oder $3 [mm] \times [/mm] 3$-Matrix hin. Kannst du dann etwas ueber die Stetigkeit aussagen?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:18 Mo 26.05.2008 | | Autor: | eumel |
ich bezieh mich ja nicht direkt auf die oben angegebene abbildung. die ich zu überprüfen habe sieht so aus:
Gl(n,|R): allgemeine lineare Gruppe (Menge der invertierbaren Matrizen (A) mit reellen einträgen)
det: Gl(n,|R) --> [mm] |R\(0) [/mm] , A -> 1/det(A)
es soll gezeigt werden dass diese abbildung diffbar ist.
egtl klar, denn wenn det stetig ist wird die offene Menge Gl(n,|R) in 2 disjunkte offene Mengen abgebildet....
kann man dann einfach sagen, dass die einträge der Matrix reell sind, sprich "konstante funktionen" (stetig) sind und demnach auch eine verknüpfung (vermittels det) von denen wieder stetig ist ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Mo 26.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> ich bezieh mich ja nicht direkt auf die oben angegebene
> abbildung. die ich zu überprüfen habe sieht so aus:
> Gl(n,|R): allgemeine lineare Gruppe (Menge der
> invertierbaren Matrizen (A) mit reellen einträgen)
>
> det: Gl(n,|R) --> [mm]|R\(0)[/mm] , A -> 1/det(A)
> es soll gezeigt werden dass diese abbildung diffbar ist.
Bisher war nur von Stetigkeit die Rede, aber diffbar ist sie auch 
> egtl klar, denn wenn det stetig ist wird die offene Menge
> Gl(n,|R) in 2 disjunkte offene Mengen abgebildet....
Du meinst, weil [mm] $\det$ [/mm] diffbar ist und [mm] $\det$ [/mm] auf $Gl(n, [mm] \IR)$ [/mm] nicht verschwindet.
> kann man dann einfach sagen, dass die einträge der Matrix
> reell sind, sprich "konstante funktionen" (stetig) sind und
Nicht konstant, aber es sind ganz einfache Funktionen, deren Differenzierbarkeit man sofort nachrechnen kann (bzw. die daraus folgt, weil es Polynome in [mm] $n^2$ [/mm] Unbestimmten sind).
> demnach auch eine verknüpfung (vermittels det) von denen
> wieder stetig ist ?
Sogar diffbar.
LG Felix
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