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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:04 Di 22.03.2011 | | Autor: | Flock |
| Aufgabe | [mm] f\circ(d) [/mm] ist gegeben durch:
Sei [mm] d\in Alt_{n}(V,W) [/mm] und f: U -> V linear.
Definiere [mm] f\circ(d): [/mm] U*U*...*U = [mm] U^n [/mm] -> W:
[mm] (u_{1},u_{2},...,u_{n}) [/mm] -> [mm] d(f(u_{1}),f(u_{2}),...,f(u_{n}))
[/mm]
Zeigen Sie, dass:
(1) [mm] f\circ(d)\in Alt_{n}(U,W) [/mm] für jedes d.
(2) [mm] f\circ: Alt_{n}(V,W) [/mm] -> [mm] Alt_{n}(U,W): [/mm] d -> [mm] f\circ(d) [/mm] ist linear.
(3) Sei g: X-> U linear, dann gilt:
[mm] g\circ(f\circ(d)) [/mm] = [mm] (f\circ g)\circ(d) [/mm] |
Hallo, Forum!
Ich wollte erstmal wissen, was für einen Sinn in der Theoriebildung diese Definition "f Kringel" macht, und wie man daraus die Verbindung zur Darstellung von Endomorphismen durch Determinanten folgern kann.
Bei der Aufgabe habe ich einige Ansätze:
(1) d ist bereits alternierend. Da die innere Abbildung alternierend ist, muss es auch die Verkettung sein: keine Ahnung wie ich es formal aufschreibe...
(2) Geht es so?
[mm] f\circ(d [/mm] + [mm] d_{1}) [/mm] = (d + [mm] d_{1})(f(u_{1}),f(u_{2}),...,f(u_{n})) [/mm] = [mm] d(f(u_{1}),f(u_{2}),...,f(u_{n})) [/mm] + [mm] d_{1}(f(u_{1}),f(u_{2}),...,f(u_{n})) [/mm] = [mm] f\circ(d) [/mm] + [mm] f\circ(d_{1})
[/mm]
Analog würde ich es auch den zweiten Teil der Linearität folgern.
(3) Ist folgende Umformung erlaubt?
[mm] (f\circ g)\circ(d) [/mm] = [mm] d((f\circ g)(u_{1}),(f\circ g)(u_{2}),...,(f\circ g)(u_{n})) [/mm] = [mm] ((f\circ g)*d(u_{1}, u_{2},...,u_{n})) [/mm] = [mm] g*d(u_{1}, u_{2},...,u_{n})\circ f*d(u_{1}, u_{2},...,u_{n})=
[/mm]
[mm] d(g(u_{1}),g(u_{2}),...,g(u_{n}))\circ d(f(u_{1}), f(u_{2}),...,f(u_{n})) [/mm] = [mm] g\circ(f\circ(d)) [/mm]
Intuitiv müsste es irgendwie so klappen... wenns richtig ist, dann warum?
Und noch eine Frage:
Wie ist folgendes Zeichen definiert: [mm] D_{B}?
[/mm]
Es müsste nämlich folgendes gelten:
[mm] D_{B}(b_{1},b_{2},...,b_{n}) [/mm] = 1, was ich außerdem zeigen sollte...
Danke für die Hilfe im Voraus.
Gruss
Flock
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:03 Do 24.03.2011 | | Autor: | Flock |
Hallo, nochmal!
Wenn keiner eine Idee hat, wie die obige Aufgabe geht - könnt ihr mir zumindest Bücher nennen (außer Lineare Algebra von Bosch - da kommt eher die Anwendung z.B Lösen der Gleichungssysteme mit der Determinante, recht wenig zu "f Kringel"), in welchem Buch man den Begriff der Determinante sehr ausführlich von der theoretischen Seite erklärt in Bezug auf Endomorphismen und wie die Determinante mit den Abbildungen zusammenhängt bzw. die Fragen von meiner ersten Frage gut beantwortet.
Natürlich wäre es schön, wenn jemand mir ein Paar Tipps geben könnte, aber wenn das Thema eher speziell ist, muss ich ja wohl nachlesen. Die Frage ist wo...
Danke im Voraus!
Gruss
Flock
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:58 Do 24.03.2011 | | Autor: | wieschoo |
Hi,
ich würde dir gern helfen, jedoch kenn ich deine Definition von [mm]Alt_{n}(V,W) [/mm] nicht. Und eine Suche bei Google ergibt keine Treffer für "innere alternierende Abbildung".
Wenn ich dir jetzt sagen würde, dass der Kringel die Verknüpfung zweier Funktionen ist, dass wäre das für dich ja nichts neues 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:19 Fr 25.03.2011 | | Autor: | Flock |
Hallo nochmal!
Also [mm] Alt_{n}(V,W) [/mm] - ist eine alternierende Abbildung, die multi-/bilinear oder linear ist. Sei d: V -> W, die zu [mm] Alt_{n}(V,W) [/mm] gehört, dann gilt: [mm] d(v_{1},...,v_{i},...v_{j}...,v_{n}) [/mm] ist genau dann alternierend, wenn gilt: für [mm] i\not=j [/mm] und [mm] v_{i}=v_{j} [/mm] ist [mm] d(v_{1},...,v_{i},...v_{j}...,v_{n})= [/mm] 0. Ist W ein Körper, so ist die Abbildung eindimensional.
Ich dachte, dass diese Schreibweise geläufig wäre.
Ich habe schon so viel Zeit mit der Aufgabe verbracht, aber die Ergebnisse scheinen mir nicht eindeutig richtig zu sein, (meine Ansätze findet ihr, wenn ihr nach oben scrollt).
Danke nochmal für eure Hilfe im Voraus.
Gruss
Flock
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:32 Sa 26.03.2011 | | Autor: | meili |
Hallo Flock,
> [mm]f\circ(d)[/mm] ist gegeben durch:
> Sei [mm]d\in Alt_{n}(V,W)[/mm] und f: U -> V linear.
> Definiere [mm]f\circ(d):[/mm] U*U*...*U = [mm]U^n[/mm] -> W:
> [mm](u_{1},u_{2},...,u_{n})[/mm] ->
> [mm]d(f(u_{1}),f(u_{2}),...,f(u_{n}))[/mm]
> Zeigen Sie, dass:
> (1) [mm]f\circ(d)\in Alt_{n}(U,W)[/mm] für jedes d.
> (2) [mm]f\circ: Alt_{n}(V,W)[/mm] -> [mm]Alt_{n}(U,W):[/mm] d -> [mm]f\circ(d)[/mm]
> ist linear.
> (3) Sei g: X-> U linear, dann gilt:
> [mm]g\circ(f\circ(d))[/mm] = [mm](f\circ g)\circ(d)[/mm]
> Hallo, Forum!
>
> Ich wollte erstmal wissen, was für einen Sinn in der
> Theoriebildung diese Definition "f Kringel" macht, und wie
> man daraus die Verbindung zur Darstellung von
> Endomorphismen durch Determinanten folgern kann.
>
> Bei der Aufgabe habe ich einige Ansätze:
>
> (1) d ist bereits alternierend. Da die innere Abbildung
> alternierend ist, muss es auch die Verkettung sein: keine
> Ahnung wie ich es formal aufschreibe...
Sei $ [mm] (u_{1},u_{2},...,u_{i},...,u_{j},...,u_{n}) \in U^n$ [/mm] $i,j [mm] \in \{1,...,n\},$ [/mm] $i [mm] \not= [/mm] j$ [mm] $u_{i} [/mm] = [mm] u_{j}$
[/mm]
z.z.: $d( [mm] f(u_{1}),f(u_{2}),...,f(u_{i}),...,f(u_{j}),...,f(u_{n})) [/mm] = 0$
mit Deiner Argumentation
>
> (2) Geht es so?
> [mm]f\circ(d[/mm] + [mm]d_{1})[/mm] = (d +
> [mm]d_{1})(f(u_{1}),f(u_{2}),...,f(u_{n}))[/mm] =
> [mm]d(f(u_{1}),f(u_{2}),...,f(u_{n}))[/mm] +
> [mm]d_{1}(f(u_{1}),f(u_{2}),...,f(u_{n}))[/mm] = [mm]f\circ(d)[/mm] +
> [mm]f\circ(d_{1})[/mm]
> Analog würde ich es auch den zweiten Teil der Linearität
> folgern.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> (3) Ist folgende Umformung erlaubt?
> [mm](f\circ g)\circ(d)[/mm] = [mm]d((f\circ g)(u_{1}),(f\circ g)(u_{2}),...,(f\circ g)(u_{n}))[/mm]
wobei $ [mm] (u_{1},...,u_{n}) \in X^n$.
[/mm]
Dann würde ich weitermachen mit:
$= [mm] d(f(g(u_{1})),f(g(u_{2})),...,f(g(u_{n})))$
[/mm]
Der "Kringel" in [mm] $f\circ [/mm] g$ ist einfach der "normale Kringel",
der die Hintereinanderausführung von zwei Funktionen bezeichnet.
Mit [mm] $f\circ [/mm] $ wird in dieser Aufgabe eine Funktion [mm]f\circ: Alt_{n}(V,W)[/mm] -> [mm]Alt_{n}(U,W)[/mm]
bezeichnet (vergl. (2)), und [mm] $g\circ$ [/mm] ist somit [mm]g\circ: Alt_{n}(U,W)[/mm] -> [mm]Alt_{n}(X,W)[/mm].
> = [mm]((f\circ g)*d(u_{1}, u_{2},...,u_{n}))[/mm] = [mm]g*d(u_{1}, u_{2},...,u_{n})\circ f*d(u_{1}, u_{2},...,u_{n})=[/mm]
>
> [mm]d(g(u_{1}),g(u_{2}),...,g(u_{n}))\circ d(f(u_{1}), f(u_{2}),...,f(u_{n}))[/mm]
diesen Teil weglassen
> = [mm]g\circ(f\circ(d))[/mm]
> Intuitiv müsste es irgendwie so klappen... wenns richtig
> ist, dann warum?
>
> Und noch eine Frage:
> Wie ist folgendes Zeichen definiert: [mm]D_{B}?[/mm]
Weis ich auch nicht.
Wenn ein Zeichnen nicht schon sehr berühmt und allgemein durchgesetzt ist,
definiert man alle Zeichen,die man benutzt am Anfang eines Artikels, einer Vorlesung, Aufgabe etc.
Mit Spekulation und Vermutung:
Soll [mm] $(b_{1},b_{2},...,b_{n})$ [/mm] die kanonische Basis von V sein, und
[mm] $D_B$ [/mm] eine ausgezeichnete Determinatenfunktion, und [mm] $D_B(b_{1},b_{2},...,b_{n})$ [/mm] = 1 gezeigt werden?
> Es müsste nämlich folgendes gelten:
> [mm]D_{B}(b_{1},b_{2},...,b_{n})[/mm] = 1, was ich außerdem zeigen
> sollte...
>
> Danke für die Hilfe im Voraus.
>
> Gruss
>
> Flock
Gruß
meili
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