Determinantenumformung unklar < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:09 Mo 17.09.2007 | | Autor: | Wehm |
| Aufgabe | [mm] $\vmat{ 2+x & 3+x & 1+x & -x \\
-5 & -3 & 3 & 3 \\
-1 & -5 & -2 & 2 \\
-4 & -1 & -4 & -1
}$
[/mm]
$= [mm] \vmat{ 0 & 0 & 1 &0 \\
-11 & -12 & 3 & 3 \\
3 & 1 &-2 &2 \\
4 & 11 & -4 &-1
}$ [/mm] + [mm] $x*\vmat{1 & 1 & 1 &-1 \\
-5 & -3 & 3 & 3 \\
-1 & -5 & -2 & 2 \\
-4 & -1 &-4 &-1 }$
[/mm]
Warum? |
Hallo.
Also irgendwie kann ich die Umformung hier nicht nachvollziehen
[mm] $\vmat{ 2+x & 3+x & 1+x & -x \\
-5 & -3 & 3 & 3 \\
-1 & -5 & -2 & 2 \\
-4 & -1 & -4 & -1
}$
[/mm]
$= [mm] \vmat{ 0 & 0 & 1 &0 \\
-11 & -12 & 3 & 3 \\
3 & 1 &-2 &2 \\
4 & 11 & -4 &-1
}$ [/mm] + [mm] $x*\vmat{1 & 1 & 1 &-1 \\
-5 & -3 & 3 & 3 \\
-1 & -5 & -2 & 2 \\
-4 & -1 &-4 &-1 }$
[/mm]
ich kenne die Regel
[mm] $\vektor{ \\ \\ a_j \\ \\ a_i + a_i'} [/mm] = [mm] \vektor{ \\ \\ a_j \\ \\ a_i} [/mm] + [mm] \vektor{ \\ \\ a_j \\ \\ a_i'} [/mm] $
Aber ich sehe da keinen Zusammenhang, kann mir wer helfen, bitte?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:15 Mo 17.09.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Die Regel, die du kennst und noch die Regel:
[mm] \vmat{a_{1} \\ \lambda*a_{i} \\ a_{n}}=\lambda*\vmat{a_{1} \\ a_{i} \\ a_{n}}.
[/mm]
Also Zeilen-linearität der Det.:
1) additiv-linear in jeder Zeile und
2) linear bzgl. Skalarmultiplikation in jeder Zeile.
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:33 Mo 17.09.2007 | | Autor: | Wehm |
Hallo
> Die Regel, die du kennst und noch die Regel:
>
> [mm]\vmat{a_{1} \\ \lambda*a_{i} \\ a_{n}}=\lambda*\vmat{a_{1} \\ a_{i} \\ a_{n}}.[/mm]
>
> Also Zeilen-linearität der Det.:
>
> 1) additiv-linear in jeder Zeile und
> 2) linear bzgl. Skalarmultiplikation in jeder Zeile.
Ich sehe aber 1) nicht angewendet, ich sehe da nicht, was passiert.
Darum geht es
[mm] $\vmat{ 2+x & 3+x & 1+x & -x \\ -5 & -3 & 3 & 3 \\ -1 & -5 & -2 & 2 \\ -4 & -1 & -4 & -1 }$
[/mm]
Nach zwei hätte ich dann
$ [mm] \vmat{ 2+x & 3+x & 1+x & -x \\ -5 & -3 & 3 & 3 \\ -1 & -5 & -2 & 2 \\ -4 & -1 & -4 & -1 } [/mm] = [mm] \vmat{ 2 & 3 & 1 & -1 \\ -5 & -3 & 3 & 3 \\ -1 & -5 & -2 & 2 \\ -4 & -1 & -4 & -1 } [/mm] + [mm] \vmat{ x & x & x & -x \\ -5 & -3 & 3 & 3 \\ -1 & -5 & -2 & 2 \\ -4 & -1 & -4 & -1 } [/mm] $
[mm] $=\vmat{ 2 & 3 & 1 & -1 \\ -5 & -3 & 3 & 3 \\ -1 & -5 & -2 & 2 \\ -4 & -1 & -4 & -1 } [/mm] + [mm] \vmat{ x & x & x & -x \\ -5 & -3 & 3 & 3 \\ -1 & -5 & -2 & 2 \\ -4 & -1 & -4 & -1 }$
[/mm]
[mm] $=\vmat{ 2 & 3 & 1 & -1 \\ -5 & -3 & 3 & 3 \\ -1 & -5 & -2 & 2 \\ -4 & -1 & -4 & -1 } [/mm] + [mm] x*\vmat{ 1 & 1 & 1 & -1 \\ -5 & -3 & 3 & 3 \\ -1 & -5 & -2 & 2 \\ -4 & -1 & -4 & -1 }$
[/mm]
Ich komme einfach nicht auf die vorgegebene Lösung
[mm] $\vmat{ 2+x & 3+x & 1+x & -x \\ -5 & -3 & 3 & 3 \\ -1 & -5 & -2 & 2 \\ -4 & -1 & -4 & -1 }$
[/mm]
$= [mm] \vmat{ 0 & 0 & 1 &0 \\ -11 & -12 & 3 & 3 \\ 3 & 1 &-2 &2 \\ 4 & 11 & -4 &-1 } [/mm] $ +$ [mm] x\cdot{}\vmat{1 & 1 & 1 &-1 \\ -5 & -3 & 3 & 3 \\ -1 & -5 & -2 & 2 \\ -4 & -1 &-4 &-1 }$ [/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:30 Mo 17.09.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Ehrlich gesagt hatte ich beim ersten Post gar nicht gesehen, dass die Determinante auf der linken Seite des + so weit umgeformt ist. Ich hab auch keine Idee wie es dazu gekommen sein kann.
Gruß,
dormant
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Hallo,
ich sehe auf die schnelle auch nicht, wie's geht - aber es scheint zu stimmen.
Hab' es gerade aus Neugierde durchgerechnet für x=7.
Gruß v. Angela
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Nunja, es gibt doch noch andere Determinantenregeln. Dazu gehört auch, daß man die Zeilen bzw spalten beliebig untereinander addieren / subrahieren darf
Wenn man von der 1. und 2. Spalte ein Vielfaches der 3. abzieht, sodaß das erste Element stets 0 wird, dann paßt das!
Bei der 4. Spalte funktioniert das aber nicht mehr, da muß es sich allerdings um einen Fehler handeln, denn wenn sich nur ein Element ändert, stimmt was nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Mo 17.09.2007 | | Autor: | Wehm |
Achso ging das hier. Ich habe versucht, Zeile zu Zeile addieren. Auf Spalten bin ich gar nicht gekommen, und welche man womit multipliziert schon gar nicht.
Danke euch allen für das fleißige Rumrechnen und Suchen nach der Lösung
Grüße,
Wehm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:57 Mo 17.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
es gibt einen kleinen Übertragungsfehler:
> Nach zwei hätte ich dann
>
> [mm]\vmat{ 2+x & 3+x & 1+x & -x \\ -5 & -3 & 3 & 3 \\ -1 & -5 & -2 & 2 \\ -4 & -1 & -4 & -1 } = \vmat{ 2 & 3 & 1 & -1 \\ -5 & -3 & 3 & 3 \\ -1 & -5 & -2 & 2 \\ -4 & -1 & -4 & -1 } + \vmat{ x & x & x & -x \\ -5 & -3 & 3 & 3 \\ -1 & -5 & -2 & 2 \\ -4 & -1 & -4 & -1 }[/mm]
[mm]\vmat{ 2+x & 3+x & 1+x & -x \\ -5 & -3 & 3 & 3 \\ -1 & -5 & -2 & 2 \\ -4 & -1 & -4 & -1 } = \vmat{ 2 & 3 & 1 & \red{0} \\ -5 & -3 & 3 & 3 \\ -1 & -5 & -2 & 2 \\ -4 & -1 & -4 & -1 } + \vmat{ x & x & x & -x \\ -5 & -3 & 3 & 3 \\ -1 & -5 & -2 & 2 \\ -4 & -1 & -4 & -1 }[/mm]
Dann stimmt Alles wieder, und, wie Event_Horizon schon schrieb, bekommst du das Ergebnis durch passende Subtraktion der 3. Spalte von dder 1. und 2.
Viele Grüße
Rainer
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