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| Aufgabe | Eine quadratische Blockmatrix
[mm] M:=\pmat{A&B\\C&D}
[/mm]
mit [mm] n\times [/mm] n Matrizen A,B,C und D erfülle die Gleichung
[mm] M^{-1}=\pmat{D^T&-B^T\\-C^T&A^T}
[/mm]
Zeige, dass die Determinate von M gleich 1 ist. |
Moin,
ich brauche wieder eure Hilfe.
ich habe erstmal [mm] M*M^{-1} [/mm] berechnet:
[mm] M*M^{-1}=\pmat{A&B\\C&D}*\pmat{D^T&-B^T\\-C^T&A^T}=\pmat{AD^T-BC^T& -AB^T+BA^T\\CD^T-DC^T&-CB^T+DA^T}=\pmat{E_n&0\\0&E_n}
[/mm]
D.h. wir haben dann:
(I) [mm] AD^T-BC^T)=E_n
[/mm]
(II) [mm] -AB^T+BA^T=0
[/mm]
(III) [mm] CD^T-DC^T=0
[/mm]
(IV) [mm] -CB^T+DA^T=E_n
[/mm]
(I) [mm] AD^T-BC^T)=E_n \Rightarrow AD^T=E_n [/mm] oder [mm] BC^T=E_n
[/mm]
d.h. [mm] D^T [/mm] ist Inverse zu A bzw. [mm] C^T [/mm] ist Inverse zu B
[mm] \Rightarrow [/mm] D,C orthogonal [mm] (D^T=D^{-1} [/mm] bzw. [mm] C^T=C^{-1})
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] A=D bzw. B=C
[mm] \Rightarrow AD^T=AA^T=AA^{-1}=E_n [/mm] dann ist [mm] BC^T [/mm] Nullmatrix
(II) [mm] -AB^T+BA^T=0 \gdw AB^T=BA^T
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] A und D bzw C und B müssen Einheitsmatrizen sein
[mm] \Rightarrow [/mm] det(M)=1
Ist es soweit richtg was ich gemacht habe?
dankeschön im Voraus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:44 So 06.11.2016 | | Autor: | donquijote |
> Eine quadratische Blockmatrix
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> [mm]M:=\pmat{A&B\\C&D}[/mm]
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> mit [mm]n\times[/mm] n Matrizen A,B,C und D erfülle die Gleichung
>
> [mm]M^{-1}=\pmat{D^T&-B^T\\-C^T&A^T}[/mm]
>
> Zeige, dass die Determinate von M gleich 1 ist.
> Moin,
>
> ich brauche wieder eure Hilfe.
> ich habe erstmal [mm]M*M^{-1}[/mm] berechnet:
>
> [mm]M*M^{-1}=\pmat{A&B\\C&D}*\pmat{D^T&-B^T\\-C^T&A^T}=\pmat{AD^T-BC^T& -AB^T+BA^T\\CD^T-DC^T&-CB^T+DA^T}=\pmat{E_n&0\\0&E_n}[/mm]
>
> D.h. wir haben dann:
>
> (I) [mm]AD^T-BC^T)=E_n[/mm]
> (II) [mm]-AB^T+BA^T=0[/mm]
> (III) [mm]CD^T-DC^T=0[/mm]
> (IV) [mm]-CB^T+DA^T=E_n[/mm]
>
> (I) [mm]AD^T-BC^T)=E_n \Rightarrow AD^T=E_n[/mm] oder [mm]BC^T=E_n[/mm]
> d.h. [mm]D^T[/mm] ist Inverse zu A bzw. [mm]C^T[/mm] ist Inverse zu B
> [mm]\Rightarrow[/mm] D,C orthogonal [mm](D^T=D^{-1}[/mm] bzw. [mm]C^T=C^{-1})[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] A=D bzw. B=C
> [mm]\Rightarrow AD^T=AA^T=AA^{-1}=E_n[/mm] dann ist [mm]BC^T[/mm]
> Nullmatrix
>
> (II) [mm]-AB^T+BA^T=0 \gdw AB^T=BA^T[/mm]
>
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> [mm]\Rightarrow[/mm] A und D bzw C und B müssen Einheitsmatrizen
> sein
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] det(M)=1
>
> Ist es soweit richtg was ich gemacht habe?
> dankeschön im Voraus.
>
Hallo, ohne mir deine Rechnung im Detail angesehen zu haben: Das kann nicht stimmen, wie schon das Beispiel [mm]M:=\pmat{3&2\\4&3}[/mm] zeigt.
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ich komme einfach nicht weiter, daher wäre ich für jeden tipp dankbar.
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> Eine quadratische Blockmatrix
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> [mm]M:=\pmat{A&B\\C&D}[/mm]
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> mit [mm]n\times[/mm] n Matrizen A,B,C und D erfülle die Gleichung
>
> [mm]M^{-1}=\pmat{D^T&-B^T\\-C^T&A^T}[/mm]
>
> Zeige, dass die Determinate von M gleich 1 ist.
Hallo,
wenn ich mich nicht täusche, ist es mir immerhin gelungen zu zeigen, daß detM=1 oder detM=-1.
Ich habe das Ergebnis durch Anwenden der Regeln für Determinanten (Spalten/Zeilentausch und Multiplikation v. Zeilen/Spalten) erreicht:
[mm] detM^{-1}=[/mm] [mm]det\pmat{D^T&-B^T\\-C^T&A^T}[/mm]
[mm]=(-1)^ndet\pmat{-B^T&D^T\\A^T&-C^T}[/mm]
[mm]=(-1)^{2n}det\pmat{A^T&-C^T\\-B^T&D^T}[/mm]
[mm]=(-1)^{3n}det\pmat{-A^T&C^T\\-B^T&D^T}[/mm]
[mm]=(-1)^{4n}det\pmat{A^T&C^T\\B^T&D^T}[/mm]
[mm] =detM^T=detM,
[/mm]
also ist [mm] (detM)^2=1.
[/mm]
Aber weiter weiß ich jetzt auch nicht mehr.
LG Angela
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Hallo,
weiß hier vielleicht noch jemand weiter?
Es würde mich interessieren, wie man zeigen kann, daß die Determinante +1 ist, vorzugsweise, wenn dies mit Anfängermitteln get.
LG Angela
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