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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:52 So 28.12.2008 | | Autor: | ccatt |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Determinanten der komplexen Matrix B
B= [mm] \pmat{ t & 0 & 2i-2 \\ -1 & t & i-2 \\ 0 & -1 & t+i+1 }
[/mm]
Bestimmen Sie für welche [mm]t \in \IC[/mm] die Matrix nicht invertierbar ist. |
HalliHallo,
soweit ist das Ganze kein Problem.
Um die Determinante zu bestimmen, dürfen wir die Jägerzaunregel verwenden, somit habe ich die Determinante
det(B) = [mm] t^{3}+t^{2}*(i+1)+t*(i-2)+2i-2
[/mm]
berechnet.
Nun setze ich die Determinante = 0, um die Nullstellen zu berechnen, da die Matrix nur mit [mm]det(B) \not= 0[/mm] invertierbar ist.
Nun taucht aber das Problem auf, dass ich keine Nullstellen finde, um dann zubestimmen für welche t die Matrix nicht invertierbar ist.
[Vom Computer habe ich berechnen lassen, dass es drei Nullstellen gibt der Form [mm]t=a+ib[/mm] mit [mm]a,b \in \IR \setminus\IQ[/mm]]
Könnt ihr mir da weiterhelfen?
LG ccatt
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> Berechnen Sie die Determinanten der komplexen Matrix B
> B= [mm]\pmat{ t & 0 & 2i-2 \\ -1 & t & i-2 \\ 0 & -1 & t+i+1 }[/mm]
>
> Bestimmen Sie für welche [mm]t \in \IC[/mm] die Matrix nicht
> invertierbar ist.
Hallo,
ich würde hierfür die Matrix auf ZSF bringen, denn es scheint mir, daß man dann nur die Nullstellen eines quadratischen Polynoms bestimmen muß, oder sollte ich mich täuschen?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:15 So 28.12.2008 | | Autor: | reverend |
Hallo Angela,
entweder Du täuschst Dich, oder es gibt einen anderen Weg zu einer ZSF als den offensichtlichen. Der führt rechts unten zum gleichen Term wie die Determinante.
Grüße,
reverend
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> entweder Du täuschst Dich,
In der Tat! ich habe mir das was schöngedacht.
Gruß v. Angela
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Hallo ccatt,
> Berechnen Sie die Determinanten der komplexen Matrix B
> B= [mm]\pmat{ t & 0 & 2i-2 \\ -1 & t & i-2 \\ 0 & -1 & t+i+1 }[/mm]
>
> Bestimmen Sie für welche [mm]t \in \IC[/mm] die Matrix nicht
> invertierbar ist.
> HalliHallo,
>
> soweit ist das Ganze kein Problem.
> Um die Determinante zu bestimmen, dürfen wir die
> Jägerzaunregel verwenden, somit habe ich die Determinante
> det(B) = [mm]t^{3}+t^{2}*(i+1)+t*(i-2)+2i-2[/mm]
> berechnet.
> Nun setze ich die Determinante = 0, um die Nullstellen zu
> berechnen, da die Matrix nur mit [mm]det(B) \not= 0[/mm]
> invertierbar ist.
> Nun taucht aber das Problem auf, dass ich keine Nullstellen
> finde, um dann zubestimmen für welche t die Matrix nicht
> invertierbar ist.
> [Vom Computer habe ich berechnen lassen, dass es drei
> Nullstellen gibt der Form [mm]t=a+ib[/mm] mit [mm]a,b \in \IR \setminus\IQ[/mm]]
>
> Könnt ihr mir da weiterhelfen?
Hier muß wohl eher [mm]\vmat{\operatorname{det}\left(B\right)}[/mm] betrachtet werden.
> LG ccatt
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:54 So 28.12.2008 | | Autor: | reverend |
Hallo MathePower,
das ändert an der Bestimmung der t-Werte, an denen [mm] \det{B}=|\det{B}|=0 [/mm] ist, leider nichts. Bei Übungsaufgaben mit einem Polynom dritten Grades erwartet man ja eine leicht sichtbare Nullstelle, aber von der scheint hier weit und breit keine Spur. Jedenfalls liegen solche (bei t=a+bi) für a=0, [mm] a=\pm1, [/mm] b=0 und [mm] b=\pm1 [/mm] nicht vor.
Soll man sich wirklich auf die Cardanischen Formeln stürzen? Was für ein Aufwand...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:23 So 28.12.2008 | | Autor: | MathePower |
Hallo reverend,
> Hallo MathePower,
>
> das ändert an der Bestimmung der t-Werte, an denen
> [mm]\det{B}=|\det{B}|=0[/mm] ist, leider nichts. Bei Übungsaufgaben
> mit einem Polynom dritten Grades erwartet man ja eine
> leicht sichtbare Nullstelle, aber von der scheint hier weit
> und breit keine Spur. Jedenfalls liegen solche (bei t=a+bi)
> für a=0, [mm]a=\pm1,[/mm] b=0 und [mm]b=\pm1[/mm] nicht vor.
>
> Soll man sich wirklich auf die Cardanischen Formeln
> stürzen? Was für ein Aufwand...
Eine andere Möglichkeit ist, den Ansatz [mm]t=a+i*b[/mm] in
[mm]t^{3}+t^{2}\cdot{}(i+1)+t\cdot{}(i-2)+2i-2=0[/mm]
einzusetzen.
Dann bekommt man zwei algebraische Gleichungen in a und b.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:52 So 28.12.2008 | | Autor: | reverend |
Hallo MathePower,
leider sind auch die beiden algebraischen Gleichungen etwas ungemütlich.
Für den Realteil:
[mm] a^3-3ab^2+a^2-b^2-2ab-2a-b-2=0
[/mm]
Für den Imaginärteil:
[mm] 3a^2b-b^3+a^2-b^2+2ab+a-2b+2=0
[/mm]
Da bleibt einem ja auch nur, sich ein a oder ein b zu wählen und einzusetzen. Glücklicherweise erhält man bei festem a aus dem Realteil eine quadratische Gleichung in b, und bei festem b aus dem Imaginärteil eine quadratische Gleichung in a. Wenn man dann aber einsetzt, zeigt sich schnell, ob die gewählte Zahl denn eine gute Wahl war. Ich habe so auf Gutdünken noch keine gefunden, die mich weitergebracht hätte (wie schon angedeutet, für a und b jeweils -1,0,+1).
lg,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:12 Mo 29.12.2008 | | Autor: | ccatt |
Hallo,
herzlichen Dank für die zahlreichen Antworten.
Aber zu einer rechten Lösung sind wir bis jetzt auch noch nicht gekommen.
Ich hatte auch gedacht, dass es eine schnell ersichtliche ganzzahlige Lösung gibt, sodass mit Hilfe der Polynomdivision eine quadratische Gleichung erhält, aber zwischen [mm] \pm [/mm] 4 funktioniert nichts.
Mal sehen, was ich dann als Beantwortung der Frage schreibe.
Trotzallem nochmal herzlichen Dank für die antworten.
LG ccatt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:57 Mo 29.12.2008 | | Autor: | reverend |
Hallo ccatt,
bitte prüfe noch einmal nach, ob die Matrix wirklich genau so gegeben war.
Wenn ja, liegt wahrscheinlich schon in der Aufgabenstellung ein Schreibfehler vor.
Aller Wahrscheinlichkeit nach ist es genau einer, aber selbst diese Voraussetzung hilft hier nicht wirklich weiter, weil es zuviele Stellen gibt, an denen Schreibfehler leicht vorkommen können. Hier mal meine Einschätzung (in rot), was alles wahrscheinlich wäre. Es genügt dabei ein verschriebenes Zeichen bzw. falsche Zahl oder Parameter statt Zahl oder umgekehrt, und schon ist die Aufgabe eine völlig andere.
B= [mm] \pmat{ t & 0 & 2i\red{-2} \\ \red{-1} & t & i\red{-2} \\ 0 & \red{-1} & t\red{+}i\red{+1} }
[/mm]
Mich würde auch nicht wundern, wenn der Fehler an einer anderen Stelle der Matrix läge. Schon so gibt es 11 mögliche Stellen und z.T. mehr als eine andere plausible Möglichkeit. Ich habe keine Lust, die alle durchzugehen. Schlecht gestellte Aufgaben machen dazu einfach zu wenig Spaß.
Es wäre nett, wenn Du später einmal noch eine Mitteilung schreibst, wie die Sache denn ausgegangen ist.
lg,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:17 Di 30.12.2008 | | Autor: | ccatt |
Hallo,
ich habs nochmals kontrolliert und die Matrix steht mit genau den Vorzeichen in der Aufgabe.
Ich werde dann auf jeden Fall nächste Woche Mittwoch oder Donnerstag mal die Antwort posten, denn dann haben wir auch die Aufgabe besprochen. Mal sehen, was dabei heraus kommt...
LG ccatt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:45 Mi 07.01.2009 | | Autor: | ccatt |
Hey,
hier nun die Mitteilung zum Ausgang der Sache:
wir haben heute nun in der Übungsgruppe erfahren, dass irgendwo in der angebenen Matrix ein Tippfehler drin ist.
Wo genau wurde allerdings nicht gesagt.
Somit war es dann nicht weiter tragisch, dass keine t angegeben wurden, für die die Matrix nicht invertierbar ist.
LG ccatt
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:42 Mi 07.01.2009 | | Autor: | reverend |
Na, das ist ja eine hilfreiche Information.
Dann mach ich mich doch direkt mal daran, die Matrix nicht zu lösen.
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