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| Aufgabe | Seien K ein Körper, k,l,n [mm] \in \IN [/mm] mit k + l = n. Sei A [mm] \in K^{n x n} [/mm] mit (k + i,j)A = [mm] 0_K [/mm] für alle (i,j) [mm] \in [/mm] l x k. Seien B [mm] \in K^{k x k}, [/mm] C [mm] \in K^{l x l} [/mm] definiert durch
B := [mm] A|_{k x k}, [/mm] (i,j)C := (k+i,k+j)A für alle i,j [mm] \in [/mm] l.
Man zeige: det A = det B * det C |
Hallo,
ich bin neu hier und habe im Moment ein sehr großes Brett vorm Kopf. Ich weiss nicht einmal, wie ich bei dieser Aufgabe anfangen soll. Kann mir vielleicht einer von euch auf die Sprünge helfen. Ich für jeden noch so kleinen Tipp dankbar.
Gruß,
Chris
PS.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:58 Do 13.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Chris!
> Seien K ein Körper, k,l,n [mm]\in \IN[/mm] mit k + l = n. Sei A [mm]\in K^{n x n}[/mm]
> mit (k + i,j)A = [mm]0_K[/mm] für alle (i,j) [mm]\in[/mm] l x k. Seien B [mm]\in K^{k x k},[/mm]
Ich habe zwei Fragen zur Notation:
1) Ist mit $(i, j) A$ der Eintrag von $A$ an der Stelle $(i, j)$ gemeint?
2) Ist mit $(i, j) [mm] \in [/mm] l [mm] \times [/mm] k$ gemeint, dass $i [mm] \in \{ 1, \dots, l \}$ [/mm] und $j [mm] \in \{ 1, \dots, k \}$ [/mm] ist?
> C [mm]\in K^{l x l}[/mm] definiert durch
>
> B := [mm]A|_{k x k},[/mm] (i,j)C := (k+i,k+j)A für alle i,j [mm]\in[/mm] l.
Du hast also $C = [mm] \begin{pmatrix} B & \ast \\ 0 & C \end{pmatrix}$, [/mm] wobei [mm] $\ast$ [/mm] irgendwelche Eintraege sind.
> Man zeige: det A = det B * det C
> Hallo,
>
> ich bin neu hier und habe im Moment ein sehr großes Brett
> vorm Kopf. Ich weiss nicht einmal, wie ich bei dieser
> Aufgabe anfangen soll. Kann mir vielleicht einer von euch
> auf die Sprünge helfen. Ich für jeden noch so kleinen Tipp
> dankbar.
Kennst du die ![[]](/images/popup.gif) Leibniz-Formel fuer Determinanten? Wende Sie doch mal an. Dann siehst du schnell, dass die Permutationen [mm] $\pi \in S_n$, [/mm] fuer die die Summanden [mm] $\neq [/mm] 0$ sind, von der Form [mm] $\pi(\{ 1, \dots, k \}) \subseteq \{ 1, \dots, k \}$ [/mm] und [mm] $\pi(\{ k+1, \dots, k+l \}) \subseteq \{ k+1, \dots, k+l \}$ [/mm] sind, also praktisch von der Form [mm] $\pi [/mm] = [mm] (\pi_1, \pi_2)$ [/mm] mit [mm] $\pi_1 \in S_k$, $\pi_2 \in S_l$ [/mm] (das ist jetzt ein wenig salopp geschrieben, da muss man beim [mm] $\pi_2$ [/mm] passend interpretieren).
Versuch doch mal die Summe [mm] $\sum_{\pi \in S_n} [/mm] ...$ umzuformen in [mm] $\left( \sum_{\pi_1 \in S_k} ... \right) \left( \sum_{\pi_2 \in S_l} ... \right)$ [/mm] (durch Ausklammern).
LG Felix
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Hallo Felix,
vielen Dank für die schnelle Antwort. Mit deiner Notationsvermutung hast du recht. Aber leider hatten wir Leibniz für Determinanten noch nicht. Was mach ich also jetzt???
Viele Grüße
Chris
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 Do 13.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Chris!
> vielen Dank für die schnelle Antwort. Mit deiner
> Notationsvermutung hast du recht. Aber leider hatten wir
> Leibniz für Determinanten noch nicht. Was mach ich also
> jetzt???
Du koenntest z.B. mal schreiben was ihr schon hattet. Zum Beispiel wie ihr Determinanten ueberhaupt definiert habt.
Falls ihr schon Laplace-Entwicklung hattet: Man kann die Aussage auch beweisen, indem man erst eine Induktion nach $k$ macht, und im Induktionsschritt dann eine Entwicklung nach der ersten Spalte macht, die IV auf die entstehenden Matrizen anwendet, und dann eine Art Inversion der Laplace-Entwicklung macht (oder halt eine Entwicklung von [mm] $\det [/mm] B$ nach der ersten Spalte; diese multipliziert mit [mm] $\det [/mm] C$ sollte dann dem entsprechen, was du da ausgerechnet hast).
LG Felix
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Hallo,
also wir hatten leider auch nicht Laplace, da wir das Thema Determinanten auch schon abgeschlossen haben, kommen deine vorgeschlagenen Regel auch alle nicht mehr in der Vorlesung dran.
Unsere Definition für Determinaten lautet:
Sei A = (a_ij), dann gilt:
det A = [mm] \summe_{\delta \in S_n} sgn(\delta) a_{1,1\delta} [/mm] ... [mm] a_{n,n\delta}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:43 Do 13.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Chris!
> also wir hatten leider auch nicht Laplace, da wir das Thema
> Determinanten auch schon abgeschlossen haben, kommen deine
> vorgeschlagenen Regel auch alle nicht mehr in der Vorlesung
> dran.
> Unsere Definition für Determinaten lautet:
>
> Sei A = (a_ij), dann gilt:
>
> det A = [mm]\summe_{\delta \in S_n} sgn(\delta) a_{1,1\delta}[/mm] ... [mm]a_{n,n\delta}[/mm]
Genau das ist die Leibniz-Formel 
LG Felix
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Hi, ich muss noch mal fragen, ob die Aufgabe wirklich so easy ist, oder ob ich ein so großes Brett vorm Kopf habe.
Es gilt ja :
==> det [mm] \pmat{ B & * \\ 0 & C } [/mm] = det B * det C
==> det [mm] \pmat{ B & * \\ 0 & C } [/mm] = B * C - (* * 0)
==> det [mm] \pmat{ B & * \\ 0 & C } [/mm] = B * C
Laut Voraussetzung k + l = n und n = 2, müssen k und l gleich 1 sein. Somit gilt:
det B = B und det C = C
Somit gilt:
det [mm] \pmat{ B & * \\ 0 & C } [/mm] = det B * det C
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:26 Fr 14.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo franzie
ein bissel mehr musst du doch tun!
k+l=n heisst in grossen Buchstaben K+L=N also n nicht 2 sonst wär wirklich nix zu beweisen!
Gruss leduart
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Wo hast du denn auf einmal die groß buchstaben her. Was ist denn K, L und N?
Ich meine wieso ist denn mein Ansatz falsch. Ich hoffe, dass du mir das mal in mein paar Worten erklären kannst. Danke.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Mo 17.04.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:06 Fr 14.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Chris!
> Es gilt ja :
>
> ==> det [mm]\pmat{ B & * \\ 0 & C }[/mm] = det B * det C
Das willst du beweisen! Woraus folgerst du das?!
> ==> det [mm]\pmat{ B & * \\ 0 & C }[/mm] = B * C - (* * 0)
Soll das $B$ hinten [mm] $\det [/mm] B$ sein? Und $C = [mm] \det [/mm] C$?
> ==> det [mm]\pmat{ B & * \\ 0 & C }[/mm] = B * C
>
>
> Laut Voraussetzung k + l = n und n = 2, müssen k und l
> gleich 1 sein. Somit gilt:
Wieso ist $n = 2$? Davon hattest du bisher noch nichts erwaehnt!
LG Felix
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Hi.
Die oberste Gleichung gilt nach meinem Aufgabenbogen, da ich das beweisen soll.
Es handelt sich ja insgesamt um eine 2 x 2 Matrix. Also ist A = 2 x 2 Matrix, also ist n = 2?
Oder mache ich da etwas falsch? Und wenn ja WAS???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:20 Fr 14.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Chris!
> Die oberste Gleichung gilt nach meinem Aufgabenbogen, da
> ich das beweisen soll.
Du sollst es beweisen, und deswegen gilt das?! Das ist genau das, was du nicht machen darfst! Wenn du es beweisen sollst, darfst du nicht annehmen, das es schon gilt! (Ansonsten gaeb es ja nix mehr zu tun!)
> Es handelt sich ja insgesamt um eine 2 x 2 Matrix. Also
> ist A = 2 x 2 Matrix, also ist n = 2?
Wieso handelt es sich um eine $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrix? Das hast du vorher nie erwaehnt!
In deinem originalen Posting hast du eine Blockmatrix mit vier Bloecken angegeben! Weisst du was eine Blockmatrix ist? Wenn nicht, schau das mal nach.
LG Felix
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Kannst du mir denn nicht mal den Ansatz für diese Aufgabe geben? Ich bin nur am Verzweifeln, da ich den gesamten Nachmittag mit dieser Aufgabe zu gebracht habe und NICHTS geschafft habe.
Nur denn Anfang und dann komme ich hoffentlich weiter. Vielen Dank schon mal.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:20 Fr 14.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Chris!
> Kannst du mir denn nicht mal den Ansatz für diese Aufgabe
> geben?
Das habe ich doch schon hier gemacht.
LG Felix
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Das ist ja alles schön und gut, aber ich versteh das einfach nicht. Wie soll ich denn aus einer Summe zweu Summen machen und was ist bitte [mm] \pi? [/mm] Falls es geht würde ich mich freuen, wenn du mir das noch mal in Ruhe erklären könntest. Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:22 Sa 15.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Das ist ja alles schön und gut, aber ich versteh das
> einfach nicht. Wie soll ich denn aus einer Summe zweu
> Summen machen
Na, wenn du eine Summe hast [mm] $\sum_{(\pi_1, \pi_2) \in S_k \times S_\ell} [/mm] ...$, dann ist dies gleich der Summe [mm] $\sum_{\pi_1 \in S_k} \sum_{\pi_2 \in S_\ell} [/mm] ...$.
> und was ist bitte [mm]\pi?[/mm] Falls es geht würde
Steht doch da: [mm] $\pi \in S_n$. [/mm] Und was [mm] $S_n$ [/mm] ist solltest du wissen, das hast du schliesslich in einem deiner spaeteren Postings auch geschrieben.
> ich mich freuen, wenn du mir das noch mal in Ruhe erklären
> könntest. Danke!
Geh das, was ich geschrieben hab, doch mal Schritt fuer Schritt durch und sag wo genau du Probleme hast:
- Schreib die Definition von Determinante hin.
- Schau dir die Summanden an; wann sind sie auf jeden Fall $= 0$? Du wirst feststellen, dass die Permutationen [mm] $\pi \in S_n$, [/mm] fuer die die Summanden [mm] $\neq [/mm] 0$ sind, von der Form [mm] $\pi(\{ 1, \dots, k \}) \subseteq \{ 1, \dots, k \}$ [/mm] und [mm] $\pi(\{ k+1, \dots, k+l \}) \subseteq \{ k+1, \dots, k+l \}$ [/mm] sind.
- Die [mm] $\pi$ [/mm] von genau dieser Form kannst du interpretieren als [mm] $\pi [/mm] = [mm] (\pi_1, \pi_2)$ [/mm] mit [mm] $\pi_1 \in S_k$, $\pi_2 \in S_l$, [/mm] wobei [mm] $(\pi_1, \pi_2)(x)$ [/mm] hier [mm] $\pi_1(x)$ [/mm] ist falls $x [mm] \in \{ 1, \dots, k \}$ [/mm] und [mm] $\pi_2(x [/mm] - k) + k$ falls $x [mm] \in \{ k + 1, \dots, k + l \}$.
[/mm]
- Ueberleg dir, dass das Signum von [mm] $(\pi_1, \pi_2)$ [/mm] ist (Tipp: es ist das Produkt von [mm] $sgn(\pi_1) \cdot \sgn(\pi_2)$, [/mm] aber warum?).
- Jetzt teil die Summe auf wie ich oben geschrieben hab.
- Dann klammer geschickt aus, so dass du ein Produkt la [mm] $\left( \sum_{\pi_1 \in S_k} ... \right) \left( \sum_{\pi_2 \in S_l} ... \right)$ [/mm] bekommst.
- Jetzt schau dir nochmal die Definition von Determinante an: du solltest jetzt etwas sehen.
LG Felix
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