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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:47 Fr 19.11.2010 | | Autor: | Kat_Mat |
| Aufgabe | Eine Basis des [mm] \IZ^2 [/mm] ist ein Paar von linear unabhängigen Vektoren [mm] e_1 [/mm] und [mm] e_2, [/mm] so dass
[mm] \IZ^2 =\left\{ \alpha_1e_1 + \alpha_2e_2: \alpha_1, \alpha_2 \in \IZ \right\} [/mm] mit [mm] e_1=\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} [/mm] , [mm] e_2=\begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}.
[/mm]
Sei [mm] f_1, f_2 [/mm] eine andere Basis von [mm] \IZ^2 [/mm] mit [mm] f_1=\begin{pmatrix} r \\ s \end{pmatrix} [/mm] und [mm] f_2=\begin{pmatrix} t \\ u \end{pmatrix}
[/mm]
=> [mm] \IZ^2= \left\{ \beta_1f_1 + \beta_2f_2: \beta_1, \beta_2 \in \IZ \right\}
[/mm]
Eine Basis ist jeweils ein Vielfaches der anderen Basis.
[mm] =>\begin{pmatrix}
r & t \\
s & u
\end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}
a & c \\
b & d
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
\alpha_1 & \alpha_3 \\
\alpha_2 & \alpha_4
\end{pmatrix} [/mm] und [mm] \begin{pmatrix}
a & c\\
b & d
\end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}
r & t \\
s & u
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\beta_1 & \beta_3 \\
\beta_2 & \beta_4
\end{pmatrix}
[/mm]
mit [mm] Q=\begin{pmatrix}
\alpha_1 & \alpha_3 \\
\alpha_2 & \alpha_4
\end{pmatrix} [/mm] , [mm] Q^{-1}=\begin{pmatrix}
\beta_1 & \beta_3 \\
\beta_2 & \beta_4
\end{pmatrix} [/mm] , [mm] Q^{-1} [/mm] ist inverse Matrix von Q.
=> [mm] \begin{pmatrix}
r & t \\
s & u
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
a & c\\
b & d
\end{pmatrix}Q [/mm] und [mm] \begin{pmatrix}
a & c\\
b & d
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
r & t \\
s & u
\end{pmatrix}Q^{-1}
[/mm]
Es gilt [mm] QQ^{-1}=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} [/mm] und die jeweiligen Determinanten sind ganzzahlig.
=>| det Q |=1
=> | det [mm] \begin{pmatrix}
a & c\\
b & d
\end{pmatrix}|=| [/mm] det [mm] \begin{pmatrix}
r & t\\
s & u
\end{pmatrix}|
[/mm]
Also haben alle Basisparallelogramme dieselbe Fläche 1, da A( [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}) [/mm] = 1. |
Meine Frage ist nun, ob diese Argumentation so korrekt ist und wie sich der letzte Schritt, also dass der Flächeninhalt eins ist, genau erklären lässt. ich verstehe durchaus die einzelnen Schritte oben. Klar ist mir aber nicht warum ich daraus ableiten kann, dass der Flächeninhalt von A mit Basisvektoren e1= (1,0) und e2= (0,1) gleich eins.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du solltst uns vielleicht erstmal verraten, was Du zeigen möchtest, also die genaue Aufgabenstellung.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:41 Fr 19.11.2010 | | Autor: | Kat_Mat |
Hallo,
also, diese Ausführung ist eine zusätzliche Erklärung zu folgendem Beweis/Lemma:
Vorbemerkung: Ein konvexes Polygon P ⊆ [mm] \IR^2 [/mm] sei elementar, wenn seine Ecken ganzzahlig sind, es aber keine weiteren ganzzahligen Punkte enthält.
Lemma. Jedes elementare Dreieck ∆ = [mm] conv(p_0, p_1, p_2)⊆ \IR^2 [/mm] hat die Fläche A(∆) = 1/2.
Beweis:
Sowohl das Parallelogramm P mit den Ecken [mm] p_0, p_1, p_2 [/mm] und [mm] p_1 [/mm] + [mm] p_2 [/mm] – [mm] p_0 [/mm] als auch das Gitter [mm] \IZ^2 [/mm] sind symmetrisch bezüglich der Abbildung [mm] \varphi: x\rightarrow p_1 [/mm] + [mm] p_2 [/mm] –x der Spielgelung im Mittelpunkt der Strecke von [mm] p_1 [/mm] nach [mm] p_2. [/mm]
Damit ist das Parallelogramm P= ∆ vereinigt mit der [mm] Abbildung\varphi [/mm] von ∆ auch elementar, und seine ganzzahligen Translate pflastern die Ebene. Also ist [mm] \left\{ p_1-p_0,p_2+p_0 \right\} [/mm] eine Basis des Gitternetzes [mm] \IZ^2, [/mm] hat daher Determinante [mm] \pm1, [/mm] das Parallelogramm P hat die Fläche 1m und ∆ hat Fläche 1/2 .
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Di 23.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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