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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:46 Di 15.04.2008 | | Autor: | megh1977 |
| Aufgabe | | Sei [mm] \lambda,\mu \in [/mm] K und [mm] A_{n}= a_{ij}\in M_{2n} [/mm] (K) die Matrix, die durch [mm] a(ij)=\begin{cases} \lambda, & \mbox{falls } i \mbox{ =j} \\ \mu , & \mbox{falls } \mbox{ i+j=2n+1} \end{cases} [/mm] und 0 sonst definiert ist. Berechne det [mm] (A_{n}. [/mm] ) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe die Aufgabe mittels zwei Wegen gelöst und habe nun zwei unterschiedliche Ergebnisse für det (A). Wer kann mir sagen, wo mein Fehler ist.
1.Weg: mittels Zeilenumformungen:
A= [mm] \pmat{ \lambda & 0 -- & --0 &\mu \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & \lambda & \mu & 0 \\ 0 & \mu & \lambda & 0 \\ ... & ... & ... & ... \\ \mu & 0-- & 0-- & \lambda } [/mm]
Also eine Matrix in Diagonalform. Jetzt habe ich die ersten n Zeilen mit [mm] \mu [/mm] multipliziert und die letzten n Zeilen mit [mm] \lambda. [/mm] Danach habe ich jeweils die 1. Zeile von der 2n-ten Zeile abgezogen, die 2. Zeile von der 2n-1-ten usw. und komme dann auf folgende Matrix:
[mm] \pmat{ \lambda\mu & 0 -- & --0 & \mu^{2} \\ 0 & \lambda\mu & ... & 0 \\ ... & ... & \mu^{2} & ... \\ 0 & 0 & \lambda^{2}- \mu^{2} & 0 \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & \lambda^{2}- \mu^{2} } [/mm]
Da det [mm] A=\produkt_{i=1}^{n} a_{ii} [/mm] = [mm] (\lambda \mu)^{n} [/mm] * [mm] (\lambda^{2} [/mm] - [mm] \mu^{2})^{n} [/mm] * [mm] \bruch{1}{ \lambda } [/mm] weil ich ja die Zeilen damit multiplziert habe... ihr wisst schon. Damit komme ich zu dem Ergebnis det [mm] (A)=(\mu)^{n} [/mm] * [mm] (\lambda^{2} [/mm] - [mm] \mu^{2})^{n})
[/mm]
Schön, jetzt der 2. Weg: mittels Formel
det [mm] (A)=\summe_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} [/mm] * [mm] a_{ij} [/mm] * det [mm] (A_{i+j}')
[/mm]
= [mm] a_{11}*det (A_{11}') [/mm] - [mm] a_{1,2n} [/mm] * det [mm] (A_{1,2n}')
[/mm]
= [mm] \lambda [/mm] * ( [mm] (-1)^{^2+2} [/mm] * [mm] a_{22} [/mm] *det [mm] (A_{22}')) [/mm] - [mm] \mu [/mm] * [mm] ((-1)^{2+2n-1} [/mm] * [mm] a_{2,2n-1} [/mm] *det [mm] (A_{2,2n-1}')
[/mm]
Das ist dann wieder [mm] \lambda [/mm] * [mm] \lambda [/mm] * det usw. [mm] \pm \mu [/mm] * [mm] \mu [/mm] * [mm] \mu [/mm] * det = [mm] \lambda^{n} \pm \mu^{n}= [/mm] det A
Also im 1 Weg [mm] (\mu)^{n} [/mm] * [mm] (\lambda^{2} [/mm] - [mm] \mu^{2})^{n}
[/mm]
Auf dem 2. Weg [mm] \lambda^{n} [/mm] - [mm] \mu^{n}
[/mm]
Sie sind sich ja ähnlich... ?
Danke schon mal für jede Antwort...
und denkt euch die Klammern falls welche fehlen...(-:
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Hi,
> Sei [mm]\lambda,\mu \in[/mm] K und [mm]A_{n}= a_{ij}\in M_{2n}[/mm] (K) die
> Matrix, die durch [mm]a(ij)=\begin{cases} \lambda, & \mbox{falls } i \mbox{ =j} \\ \mu , & \mbox{falls } \mbox{ i+j=2n+1} \end{cases}[/mm]
> und 0 sonst definiert ist. Berechne det [mm](A_{n}.[/mm] )
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich habe die Aufgabe mittels zwei Wegen gelöst und habe nun
> zwei unterschiedliche Ergebnisse für det (A). Wer kann mir
> sagen, wo mein Fehler ist.
>
> 1.Weg: mittels Zeilenumformungen:
>
> A= [mm]\pmat{ \lambda & 0 -- & --0 &\mu \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & \lambda & \mu & 0 \\ 0 & \mu & \lambda & 0 \\ ... & ... & ... & ... \\ \mu & 0-- & 0-- & \lambda }[/mm]
>
>
> Also eine Matrix in Diagonalform. Jetzt habe ich die ersten
> n Zeilen mit [mm]\mu[/mm] multipliziert und die letzten n Zeilen mit
> [mm]\lambda.[/mm] Danach habe ich jeweils die 1. Zeile von der
> 2n-ten Zeile abgezogen, die 2. Zeile von der 2n-1-ten usw.
> und komme dann auf folgende Matrix:
> [mm]\pmat{ \lambda\mu & 0 -- & --0 & \mu^{2} \\ 0 & \lambda\mu & ... & 0 \\ ... & ... & \mu^{2} & ... \\ 0 & 0 & \lambda^{2}- \mu^{2} & 0 \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & \lambda^{2}- \mu^{2} }[/mm]
>
>
> Da det [mm]A=\produkt_{i=1}^{n} a_{ii}[/mm] = [mm](\lambda \mu)^{n}[/mm] *
> [mm](\lambda^{2}[/mm] - [mm]\mu^{2})^{n}[/mm] * [mm]\bruch{1}{ \lambda }[/mm] weil ich
> ja die Zeilen damit multiplziert habe... ihr wisst schon.
> Damit komme ich zu dem Ergebnis det [mm](A)=(\mu)^{n}[/mm] *
> [mm](\lambda^{2}[/mm] - [mm]\mu^{2})^{n})[/mm]
>
> Schön, jetzt der 2. Weg: mittels Formel
>
> det [mm](A)=\summe_{j=1}^{n} (-1)^{i+j}[/mm] * [mm]a_{ij}[/mm] * det
> [mm](A_{i+j}')[/mm]
> = [mm]a_{11}*det (A_{11}')[/mm] - [mm]a_{1,2n}[/mm] * det [mm](A_{1,2n}')[/mm]
> = [mm]\lambda[/mm] * ( [mm](-1)^{^2+2}[/mm] * [mm]a_{22}[/mm] *det [mm](A_{22}'))[/mm] - [mm]\mu[/mm] *
> [mm]((-1)^{2+2n-1}[/mm] * [mm]a_{2,2n-1}[/mm] *det [mm](A_{2,2n-1}')[/mm]
>
> Das ist dann wieder [mm]\lambda[/mm] * [mm]\lambda[/mm] * det usw. [mm]\pm \mu[/mm] *
> [mm]\mu[/mm] * [mm]\mu[/mm] * det = [mm]\lambda^{n} \pm \mu^{n}=[/mm] det A
>
> Also im 1 Weg [mm](\mu)^{n}[/mm] * [mm](\lambda^{2}[/mm] - [mm]\mu^{2})^{n}[/mm]
> Auf dem 2. Weg [mm]\lambda^{n}[/mm] - [mm]\mu^{n}[/mm]
>
> Sie sind sich ja ähnlich... ?
>
> Danke schon mal für jede Antwort...
> und denkt euch die Klammern falls welche fehlen...(-:
1 falsch, 2 fast richtig, sollte 2n statt n stehen!
Aussage beweist man mit Induktion:
Beh: det(A) = [mm] (\lambda^{2n}-\mu^{2n}) [/mm] wenn A [mm] \in \IK^{2n\times2n}.
[/mm]
n = 1, dann ist die Matrix eine [mm] 2\times [/mm] 2-Matrix, man rechnet det(A) = [mm] \lambda^2-\mu^2.
[/mm]
n = 2, dann ist die Matrix eine [mm] 4\times [/mm] 4-Matrix, man rechnet det(A) = [mm] \lambda\cdot\lambda\cdot(\lambda^2-\mu^2)-\mu\cdot(-\mu)\cdot(\lambda^2-\mu^2) [/mm] = [mm] (\lambda^4-\mu^4).
[/mm]
Die Aussage gelte für n-1.
n-1 [mm] \to [/mm] n:
Entwicklung nach der ersten Zeile:
det(A) = [mm] \lambda det(A_{1,1}) [/mm] - [mm] \mu det(A_{1,2n})
[/mm]
Jetzt entwickeln wir nach der letzten Zeile:
[mm] det(A_{1,1}) [/mm] = [mm] \lambda det(A_{{1,1}_{2n,2n}})
[/mm]
[mm] det(A_{1,2n}) [/mm] = [mm] -\mu det(A_{{1,2n}_{2n,2n}})
[/mm]
Induktionsvoraussetung für [mm] det(A_{{1,1}_{2n,2n}}) [/mm] und [mm] det(A_{{1,2n}_{2n,2n}}) [/mm] anwenden, liefert die gewünschte Aussage.
Gruss,
logarithmus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 Mi 16.04.2008 | | Autor: | megh1977 |
Hallo,
DANKE erst mal.
Zu Variante 2: Also das mit den hoch 2n ist jetzt klar...habs nochmal durchdacht. Aber wieso muß ich die Aussage noch mittels Induktion beweisen? Habe ich sie nicht schon durch die Berechnung bewiesen?
Zu Variante 1: Warum ist die erste Variante mittels Umformung falsch? det A ist doch [mm] =\produkt_{i=1}^{n} a_{ii}. [/mm] Wenn ich dann die Matrix in Dreiecksform habe ist es doch so schön einfach...(-:
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Hi,
> Hallo,
> DANKE erst mal.
> Zu Variante 2: Also das mit den hoch 2n ist jetzt
> klar...habs nochmal durchdacht. Aber wieso muß ich die
> Aussage noch mittels Induktion beweisen? Habe ich sie nicht
> schon durch die Berechnung bewiesen?
>
Also man braucht schon Induktion, da du in deiner Zeilenumformgung drei Pünktchen benutzt!
> Zu Variante 1: Warum ist die erste Variante mittels
> Umformung falsch? det A ist doch [mm]=\produkt_{i=1}^{n} a_{ii}.[/mm]
> Wenn ich dann die Matrix in Dreiecksform habe ist es doch
> so schön einfach...(-:
>
Bei Variante 1 hast bestimmte Zeilen von anderen abgezogen, und das ist zulässig, wenn man es richtig ausführt!
Deine Idee war:
"Also eine Matrix in Diagonalform. Jetzt habe ich die ersten n Zeilen mit multipliziert und die letzten n Zeilen mit Danach habe ich jeweils die 1. Zeile von der 2n-ten Zeile abgezogen, die 2. Zeile von der 2n-1-ten usw. und komme dann auf folgende Matrix:"
Die richtige Ausführung ergäbe eine Matrix der Form
[mm] $\pmat{ B & C \\ 0 & D }$, [/mm] mit $ B, C, D, 0 [mm] \in M(n\times [/mm] n, [mm] \IK)$, [/mm] wobei $B$ keinesfalls obere Dreicksmatrix ist!!! Die ersten $n$ Zeilen sollten unverändert bleiben, da du ja sie von den letzten $n$ Zeilen abziehst. Wie die ganzen Nullen in den ersten $n$ Zeilen zustande kommen, ist wahrscheinlich wegen diesem Fehler.
Gruss,
logarithmus
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