Dezimalbruchentwicklung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei [mm]0<=x<1[/mm], dann ist [mm]x \in I=[0,1)[/mm]. Teilt man das Intervall in 10 gleichgroße Teilintervalle auf, so gibt es ein [mm] a_{0} \in \left{0,1,....,9\right}[/mm], so dass gilt : [mm] x \in I_{0}=[\frac{a_0}{10}, \frac{a{0}+1}{10}) [/mm] Teil man dieses Teilintervall wieder in 10 gleichgroße Teilintervalle auf und führt das so fort , erhält man im n-ten Schritt :
[mm]x_n := \frac{a_0}{10}+.....+\frac{a_{n-1}}{10^{n}}[/mm]
Zeigen Sie :
[mm] x_n <= x < x_n + \frac{1}{10^n}[/mm]
Folgern sie daraus , dass [mm] x_n[/mm] gegen x konvergiert. |
Hey,
ich habe eine Frage zur obenstehenden Aufgabe. Ich verstehe diese zwar, aber ich weis nicht so recht wie man das nun beweisen soll. Die Konvergenz lässt sich mit der Ungleichung recht leicht zeigen, wenn man [mm]x_n[/mm] auf allen Seiten abzieht und dann die Konvergenz der geometrischen Folge nutzt. Aber ich weis nicht wie ich diese Ungleichung beweisen soll. Das Prinzip habe ich verstanden und da man bei jeder Unterteilung in die Teilintervalle [mm]a_i[/mm] gerade so wählt, dass x in diesem Teilintervall liegt, ist [mm] x_n[/mm] die unteregrenze des n-ten Teilintervalls und [mm]x_n +\frac{1}{10^n}[/mm] die obere Grenzen des Teilintervalls. Aber wie lässt sich das nun formal beweisen ? Induktion nach n vielleicht ?
Schonmal Vielen Dank für die Hilfe !!
VG
Maggie
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:59 Mi 25.11.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm]0<=x<1[/mm], dann ist [mm]x \in I=[0,1)[/mm]. Teilt man das Intervall
> in 10 gleichgroße Teilintervalle auf, so gibt es ein [mm]a_{0} \in \left{0,1,....,9\right}[/mm],
> so dass gilt : [mm]x \in I_{0}=[\frac{a_0}{10}, \frac{a{0}+1}{10})[/mm]
> Teil man dieses Teilintervall wieder in 10 gleichgroße
> Teilintervalle auf und führt das so fort , erhält man im
> n-ten Schritt :
>
> [mm]x_n := \frac{a_0}{10}+.....+\frac{a_{n-1}}{10^{n}}[/mm]
> Zeigen
> Sie :
> [mm]x_n <= x < x_n + \frac{1}{10^n}[/mm]
> Folgern sie daraus , dass
> [mm]x_n[/mm] gegen x konvergiert.
> Hey,
>
> ich habe eine Frage zur obenstehenden Aufgabe. Ich verstehe
> diese zwar, aber ich weis nicht so recht wie man das nun
> beweisen soll. Die Konvergenz lässt sich mit der
> Ungleichung recht leicht zeigen, wenn man [mm]x_n[/mm] auf allen
> Seiten abzieht und dann die Konvergenz der geometrischen
> Folge nutzt. Aber ich weis nicht wie ich diese Ungleichung
> beweisen soll. Das Prinzip habe ich verstanden und da man
> bei jeder Unterteilung in die Teilintervalle [mm]a_i[/mm] gerade so
> wählt, dass x in diesem Teilintervall liegt, ist [mm]x_n[/mm] die
> unteregrenze des n-ten Teilintervalls und [mm]x_n +\frac{1}{10^n}[/mm]
> die obere Grenzen des Teilintervalls. Aber wie lässt sich
> das nun formal beweisen ? Induktion nach n vielleicht ?
>
> Schonmal Vielen Dank für die Hilfe !!
Du kannst das folgende sauber in einen Induktionsbeweis verpacken:
Schreibe kürzer
[mm] $x_n=\sum_{k=0}^{n-1} \frac{a_k}{10^{k+1}}$.
[/mm]
Sicher ist
[mm] $x_1 \le [/mm] x < [mm] x_1+1/10$
[/mm]
zu Start des Verfahrens.
Nun nehmen wir an, dass im n-ten Schritt
[mm] $x_n \le [/mm] x < [mm] x_n+1/10^n$
[/mm]
gegolten hätte.
Jetzt zeigen wir erstmal, dass [mm] $x_{n+1} \le [/mm] x$ gilt (Du hast noch eine zweite Ungleichung
zu zeigen, das kannst Du ja dann erstmal wieder alleine probieren).
Wir wissen:
[mm] $x_n=\sum_{k=0}^{n-1} \frac{a_k}{10^{k+1}} \le x\,.$
[/mm]
Nun gilt: Es ist ja
[mm] $x_{n+1}=\sum_{k=0}^{n} \frac{a_k}{10^{k+1}}=\left(\sum_{k=0}^{n-1} \frac{a_k}{10^{k+1}}\right)+\frac{a_n}{10^{n+1}}=x_n+\frac{a_n}{10^{n+1}}$
[/mm]
mit einem noch zu bestimmenden [mm] $a_n \in \{0,...,9\}\,.$
[/mm]
Nun gilt: Es existiert
[mm] $\text{Max}:=\max [/mm] M$ von [mm] $M:=\left\{k \in \{0,...,9\}: x_n+\frac{k}{10^{n+1}} \le x\right\}$
[/mm]
Denn: $M [mm] \subseteq \IN_0$ [/mm] ist klar. Ferner ist wegen $0 [mm] \in [/mm] M$ (es war ja [mm] $x_n \le [/mm] x$!)
aber $M [mm] \not=\varnothing$.
[/mm]
Zeige nun:
[mm] $a_n:=\text{Max}$
[/mm]
(und damit
[mm] $x_{n+1}=x_n+\frac{\text{Max}}{10^{n+1}}$)
[/mm]
leistet das Gewünschte!
Hinweis: Zählst Du die Intervalle von links nach rechts mit 0 beginnend (also
"das erste Intervall" bekommt die Nummer 0, das zweite die Nummer 1 usw.),
so liegt nun [mm] $x\,$ [/mm] im [mm] $\text{Max}$-ten [/mm] Intervall und dieses hat die linke Grenze
[mm] $x_{n+1}$ [/mm] und die rechte [mm] $x_{n+1}+\frac{1}{10^{n+1}}$:
[/mm]
$x [mm] \in \left[x_{n+1},\;x_{n+1}+\frac{1}{10^{n+1}}\right)$
[/mm]
Dass $x [mm] \ge x_{n+1}$ [/mm] ist, ergibt sich direkt nach Definition von unserem [mm] $\text{Max}$.
[/mm]
Dass $x < [mm] x_{n+1}+\frac{1}{10^{n+1}}$ [/mm] ist, ergibt sich eigentlich auch dadurch.
Denn wäre
$x [mm] \ge x_{n+1}+\frac{1}{10^{n+1}}=x_n+\frac{\text{Max}+1}{10^{n+1}}$,
[/mm]
so müssen wir zwei Fälle untersuchen:
1. Der Fall [mm] $\text{Max}=9\,.$ [/mm] Den überlasse ich Dir!
2. Der Fall [mm] $\text{Max} \in \{0,...,8\}\,.$ [/mm] Hier erhalten wir einen Widerspruch zur
Definition von [mm] $\text{Max}$. [/mm] (Mit anderen Worten: [mm] $\text{Max}$ [/mm] kann nicht die größte
Ziffer [mm] $z\,$ [/mm] aus [mm] $\{0,...,9\}$ [/mm] mit [mm] $x_n+\frac{z}{10^{n+1}} \le [/mm] x$ gewesen sein, wenn
doch die Ziffer [mm] $\tilde{z}=1+\text{Max} \in \{0,...,9\}$ [/mm] auch [mm] $x_n+\frac{\tilde{z}}{10^{n+1}} \le [/mm] x$ erfüllt.)
Nebenbei: Durch geeignete Umformungen kann man die Aufgabe sicher
auch schnell mit der Gaußklammer lösen.
Ich illstriere vielleicht mal die Idee dazu:
Sei
$0 [mm] \le [/mm] x < 1$.
Wir suchen [mm] $x_1=a_1/10$ [/mm] mit [mm] $a_1 \in [/mm] [0,...,9)$ mit
[mm] $x_1 \le [/mm] x < [mm] x_1+\frac{1}{10}$
[/mm]
bzw. in äquivalenter Weis
$10 [mm] x_1 \le [/mm] 10x < [mm] 10x_1+1\,.$
[/mm]
Also ist
[mm] $a_1 \le [/mm] 10x < [mm] a_1+1\,.$
[/mm]
Somit
[mm] $a_1=\lfloor [/mm] 10x [mm] \rfloor\,.$ [/mm]
(Hinweis: Wegen $0 [mm] \le [/mm] x < 1$ ist $0 [mm] \le [/mm] 10x < 10$, also
[mm] $\lfloor 10x\rfloor \in [/mm] ([0,10) [mm] \cap \IN_0)=\{0,1,2,3,...,8,9\}$.)
[/mm]
Nun suchen wir [mm] $a_2 \in \{0,...,9\}$ [/mm] bzw. [mm] $x_2$ [/mm] so, dass
[mm] $x_2=\frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{100} \le [/mm] x < [mm] \frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{100}+\frac{1}{100}$
[/mm]
(Beachte, dass wir [mm] $a_1$ [/mm] nun kennen!)
Das ist äquivalent zu
[mm] $10a_1+a_2 \le [/mm] 100x < [mm] 10a_1+a_2+1$.
[/mm]
Also
[mm] $a_2 \le 100x-10a_1 [/mm] < [mm] a_2+1$
[/mm]
bzw.
[mm] $a_2 [/mm] = [mm] \lfloor 100x-10a_1 \rfloor$
[/mm]
Usw. usf. (zur besseren Verdeutlichung schreibe ich mal noch das Ergebnis
von [mm] $a_3$ [/mm] hin:
[mm] $a_3=\lfloor 1000x-100a_1-10a_2\rfloor$)
[/mm]
Das kann man sich schön an einem konreten Beispiel klarmachen, was da
passiert (das ist kein Beweis, sondern nur eine Verfahrensmotivation  ):
Betrachten wir
[mm] $x=0,754\,\overline{3}\,.$
[/mm]
Was wir wollen, ist ja
[mm] $a_1=7$; $a_2=5$, $a_3=4$, [/mm] ...
Nach dem eben gesehenen
[mm] $a_1=\lfloor [/mm] 10*x [mm] \rfloor=\lfloor 10*0,754\,\overline{3}\rfloor=\lfloor 7,54\,\overline{3}\rfloor=7 [/mm] $
(Schneide die Ziffer vor dem Komma von x weg, verschiebe das Komma um
1 nach rechts. Diese Zahl heiße nun [mm] $x_1\,.$ [/mm] Nimm' die Ziffer von [mm] $x_1=7,54\,\overline{3}$, [/mm] die
vor dem Komma steht (den ganzzahligen Anteil).)
[mm] $a_2=\lfloor 100*x-10a_1 \rfloor=\lfloor 100*0,754\,\overline{3}-70\rfloor=\lfloor 5,4\,\overline{3}\rfloor=5$
[/mm]
(Gleiches wie oben, nur dass jetzt [mm] $x_1$ [/mm] die Rolle von [mm] $x\,$ [/mm] übernimmt. Die neue
Zahl heiße [mm] $x_2$.)
[/mm]
[mm] $a_3=\lfloor 1000*x-100a_1-10a_2\rfloor=\lfloor 754,\,\overline{3}-700-50\rfloor=...=4\,.$
[/mm]
usw. usf.
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
