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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:08 Do 12.11.2009 | | Autor: | esel99 |
| Aufgabe | Es seien x [mm] \in[0; [/mm] 1) "rein zufallig" gewählt und x = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} x_{n} 10^{-n} [/mm] mit [mm] x_{n} \in [/mm] {0,1,2,...,9} die Dezimalbruchentwicklung von x. (Wenn die Dezimalbruchentwicklung nicht eindeutig ist, betrachte diejenige mit [mm] x_{n} [/mm] = 0 fur fast alle n [mm] \in \IN.) [/mm] Dieses Zufallsxperiment lässt sich durch den Wahrscheinlichkeitsraum [mm] (\Omega,\mathcal{A}, \IP) [/mm] mit [mm] \Omega:= [/mm] [0; 1) , [mm] \mathcal{A} [/mm] := [mm] \mathcal{B}|_{[0,1)}, [/mm]
[mm] \IP [/mm] := [mm] \lambda|_{[0,1)} [/mm] beschreiben. [mm] (\IP [/mm] heißt auch Gleichverteilung auf [mm] \Omega.) [/mm] Fur jedes n [mm] \in \IN. [/mm] sei [mm] X_{n}: \Omega \to \IR [/mm] die Abbildung, die jedem x [mm] \in[0; [/mm] 1) die n-te Nachkommastelle (also den Koeffzienten [mm] x_{n}) [/mm] in der Dezimalbruchentwicklung
von x zuordnet.
(a) Zeigen Sie, dass [mm] (X_{n})_n \in \IN [/mm] eine unabhangige Familie von Zufallsgrößen ist.
Hinweis: Warum genügt es zu zeigen, dass für alle n [mm] \in \IN [/mm] und alle [mm] k_{1},..., k_{n} \in [/mm] {0,1,2,...,9} [mm] {X_{1} = k_{1}, ..., X_{n} = k_{n}} \in \Alpha [/mm] sowie [mm] \IP({X_{1} = k_{1}, ..., X_{n} = k_{n}}) [/mm] = [mm] 10^{-n} [/mm] gilt?
(b) Zeigen Sie:
[mm] \IP [/mm] ( { x [mm] \in \Omega [/mm] | jede Zi ffer [mm] k_{n} \in [/mm] {0,1,2,...,9}
kommt unendlich oft in der Dezimalbruchentwicklung von x vor} ) = 1. |
(a) [mm] (X_{n})_n \in \IN [/mm] sind unabhängig, wenn alle endl. Teilmengen unabhängig sind. Es gilt [mm] \IP(X_{n} [/mm] = [mm] k_{n}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{10}. [/mm] Wenn also [mm] (X_{n})_n \in \IN [/mm] unabhängig wären, würde es gelten: [mm] \IP({X_{1} = k_{1}, ..., X_{n} = k_{n}}) [/mm] = [mm] 10^{-n}. [/mm] Aber warum reichen die beiden Bedingungen
[mm] {X_{1} = k_{1}, ..., X_{n} = k_{n}} \in \mathcal{A} [/mm] und
[mm] \IP({X_{1} = k_{1}, ..., X_{n} = k_{n}}) [/mm] = [mm] 10^{-n} [/mm] aus?
[mm] {X_{1} = k_{1}, ..., X_{n} = k_{n}} \in \Alpha [/mm] bedeutet, dass
sowohl [mm] \Omega:= [/mm] [0; 1) als auch [mm] \emptyset [/mm] in der Algebra enthalten ist,
[mm] \mathcal{A} [/mm] c-stabil ist und
[mm] \mathcal{A} \bigcup_{\infty} [/mm] - stabil ist.
[mm] {\emptyset} \in \Omega, [/mm] wenn x=0, oder?
Aber was ist mit [mm] \mathcal{A} [/mm] c-stabil und [mm] \mathcal{A} \bigcup_{\infty} [/mm] - stabil?
(b) ich verstehe nicht, warum das Ereignis ''jede Zi ffer [mm] k_{n} \in [/mm] {0,1,2,...,9} kommt unendlich oft in der Dezimalbruchentwicklung von x vor'' fast sicher ist. Zum Beispiel in x = 0,1 kommt keine Ziffer unendlich oft vor.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Do 19.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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