Dezimalstellen berechnen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:30 Mi 22.12.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die letzten zwei Dezimalstellen von [mm] {7^7}^7 [/mm] |
Also ich habe [mm] {7^7}^7=(7^7)^7=(7*7)^7=49^7
[/mm]
Habt ihr eine kleine Hilfe, wie man das lösen könnte?! Über einen Tipp wäre ich euch dankbar, Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:32 Mi 22.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bodo!
Deine Umformung ist einfach nur falsch.
Es gilt: [mm]7^{7^7} \ = \ 7^{\left(7^7^\right)} \ = \ 7^{823543}[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:36 Mi 22.12.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
ohhhhwei.... böse fehler.... sorry!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:39 Mi 22.12.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo Loddar, hallo Bodo,
auch wenn die Umformung immer noch falsch ist, gibt es trotzdem eine zweite Lesart. Die Konvention ist da leider nicht eindeutig. Man könnte das auch so verstehen:
[mm] 7^{7^7}=\left(7^7\right)^7=7^{7*7}=7^{49}
[/mm]
Ich neige allerdings auch zu Loddars Lesart, schon weil da mehr zu tun hat, um die Aufgabe zu lösen. 
Das ganze geht natürlich über eine Betrachtung [mm] \mod{100}.
[/mm]
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Mi 22.12.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
und nun? mir fehlt gerade der passende Gedanke. Kann man den Exponenten mittels PFZ klein machen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:43 Mi 22.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> und nun? mir fehlt gerade der passende Gedanke. Kann man
> den Exponenten mittels PFZ klein machen?
Wie reverend schon geschrieben hat: modulo 100 rechnen!
Da kommst du z.B. mit dem Quadrieren-und-Multiplizieren-Verfahren weiter.
Und/oder du verwendest den Satz von Euler und berechnest erstmal [mm] $\phi(100)$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:48 Mi 22.12.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
ok
[mm] 100=2^2*5^2
[/mm]
-> [mm] \phi(100)=2^2*5^2*\frac{1}{2}*\frac{4}{5}=40
[/mm]
Aber mal so nebenbei: Woher weiß ich denn jetzt, dass hier die 100 im Spiel ist? Evtl wegen den 2 Nachkommastellen?
grüße
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Hallo Bodo,
da gibts keine Nachkommastellen. Du rechnest gerade in den natürlichen Zahlen.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Mi 22.12.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
mhhh... aber warum wir da jetzt mit 100 gerechnet haben ist mir leider immer noch unklar. wie ist denn jetzt die weitere Vorgehensweise?
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Hallo Bodo0686,
> mhhh... aber warum wir da jetzt mit 100 gerechnet haben ist
> mir leider immer noch unklar. wie ist denn jetzt die
Da die letzten 2 Dezimalstellen anzugeben sind, ist
[mm]{7^7}^7[/mm] modulo 100 zu berechnen.
> weitere Vorgehensweise?
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:25 Mi 22.12.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
ok, ich weiß zwar jetzt nicht, ob mir das irgendetwas bringt aber ich habe den Exponenten erstmal klein gemacht
823543 : 7 = 117649
: 7 = 16807
: 7 = 2401
: 7 = 343
: 7 = 49
: 7 = 7
: 7 = 1
was bringt es mir denn jetzt, dass ich [mm] \phi(100)=40 [/mm] berechnet habe???
grüße
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Hallo Bodo9686,
> ok, ich weiß zwar jetzt nicht, ob mir das irgendetwas
> bringt aber ich habe den Exponenten erstmal klein gemacht
>
> 823543 : 7 = 117649
> : 7 = 16807
> : 7 = 2401
> : 7 = 343
> : 7 = 49
> : 7 = 7
> : 7 = 1
>
> was bringt es mir denn jetzt, dass ich [mm]\phi(100)=40[/mm]
> berechnet habe???
Es gilt dann, [mm]7^{40}\equiv 1 \ \operatorname{mod} \ 100[/mm]
Dann kannst Du [mm] 7^7 [/mm] wie folgt zerlegen:
[mm]7^7=\alpha*40+\beta, \ \alpha, \beta \in \IZ, \ 0 \le \beta < 40[/mm]
> grüße
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 Mi 22.12.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
also löse ich das ganze nach [mm] \alpha [/mm] auf:
Sei [mm] \beta=0
[/mm]
[mm] 7^7=\alpha [/mm] * 40 + [mm] \beta [/mm] für [mm] \alpha,\beta\in\IZ, [/mm] 0 [mm] \le\beta<40
[/mm]
[mm] \alpha [/mm] = 20588,575
grüße
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Hallo Bodo0686,
> Hallo,
>
> also löse ich das ganze nach [mm]\alpha[/mm] auf:
>
> Sei [mm]\beta=0[/mm]
>
> [mm]7^7=\alpha[/mm] * 40 + [mm]\beta[/mm] für [mm]\alpha,\beta\in\IZ,[/mm] 0
> [mm]\le\beta<40[/mm]
> [mm]\alpha[/mm] = 20588,575
Es müssen doch [mm]\alpha, \ \beta[/mm] ganze Zahlen sein,
wobei [mm]0 \le \beta < 40[/mm].
>
> grüße
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 Mi 22.12.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
Also, habe ich:
[mm] 7^7=\alpha*40 [/mm] + [mm] \beta
[/mm]
[mm] 823543=\alpha*40+\beta
[/mm]
-> 823543= 20588*40+23
so?
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Hallo Bodo0686,
> Also, habe ich:
>
> [mm]7^7=\alpha*40[/mm] + [mm]\beta[/mm]
>
> [mm]823543=\alpha*40+\beta[/mm]
> -> 823543= 20588*40+23
>
> so?
Genau so. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:31 Mi 22.12.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
und nun, wie gehts jetzt weiter?
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Hallo Bodo0686,
> und nun, wie gehts jetzt weiter?
Jetzt weisst Du daß
[mm]7^\{\left(7^{7}\right)}=7^{20588*40+23)[/mm]
Da [mm]7^{40}\equiv 1 \ \operatorname{mod} \ 100[/mm]
kannst Du diese Rechnung
[mm]7^{\left(7^{7}\right)} \operatorname{mod} \ 100[/mm]
reduzieren auf die Berechnung von
[mm]7^{23} \operatorname{mod} \ 100[/mm]
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:55 Mi 22.12.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo Bodo,
formal geht es genau so, wie jetzt hier diskutiert, und Du bist ja schon ein großes Stück weiter.
In der Zahlentheorie lohnt es sich aber, ein paar Potenzen zu kennen.
Zum Beispiel [mm] 7776=6^5, [/mm] oder [mm] 65536=2^{16}, 3125=5^5 [/mm] und [mm] 2401=7^4.
[/mm]
Die letztgenannte Gleichheit spart doch noch erheblich Rechenarbeit.
Alle Siebenerpotenzen enden auf 07, 49, 43 oder 01.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:58 Mi 22.12.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
damit hätte ich doch dann:
7^23 mod 100
2,73*10^19 mod 100
und dann würde doch schon das Ergebniss dort stehen. Also müsste doch die beiden Nachkommastellen 73 die Lösungen sein...
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Hallo,
das ist jetzt nicht wahr, oder?
Du machst Zahlentheorie auf dem Taschenrechner?
Es ist nicht die 2. und 3. Stelle gesucht, sondern die letzten beiden. Die zeigt Dein TR aber nicht an.
Was heißt denn 2,73E19 in denn Anzeige?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Mi 22.12.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
2,73E19 = 2,73*10^19. Also man erhält nun 17 Nullen hinten dran...
Demzufolge müssten die beiden gesuchten letzten Werte 00 sein...
Grüße
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Nee, is klar.
Also ist die gesuchte Potenz durch 100 teilbar. Wie soll das gehen? Wo kommen die Primfaktoren 2 und 5 denn in einer Siebenerpotenz vor?
Jetzt sag bloß nicht 2+5=7, sonst tu ich mir noch was an.
Rechnung mod 100: $ [mm] 7\to 7*7=49\to [/mm] 49*7=343 $, Hunderter wegschmeißen, weiter mit $ [mm] \to [/mm] 43*7=301 $, wieder Hunderter weg, weiter mit $ [mm] \to [/mm] 1*7=7, [mm] \to [/mm] 7*7=49 [mm] \cdots [/mm] $
Fällt Dir was auf? Hast Du meine Mitteilung mit dem Tipp gelesen?
Dann könntest Du jetzt schon fertig sein.
Entsetzte Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 Mi 22.12.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
7*7=49 [mm] \equiv [/mm] 49 mod 100
49*7=343 [mm] \equiv [/mm] 43 mod 100
43*7=301 [mm] \equiv [/mm] 1 mod 100
1*7= [mm] 7\equiv [/mm] 7 mod 100
???
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Hallo Bodo0686,
> 7*7=49 [mm]\equiv[/mm] 49 mod 100
> 49*7=343 [mm]\equiv[/mm] 43 mod 100
> 43*7=301 [mm]\equiv[/mm] 1 mod 100
> 1*7= [mm]7\equiv[/mm] 7 mod 100
>
> ???
Ok..
Dann ist [mm]7^{23} \ \operatorname{mod} \ 100[/mm] ...
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 Mi 22.12.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
sind das nun gerade die Reste? Also, 7 1
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:45 Mi 22.12.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
wir haben doch die reste
49,43,7,1...
aber wie soll ich denn jetzt von diesen die beiden letzten Dezimalstellen bestimmen? Kapier ich echt nicht...
oder muss ich jetzt gucken, welche der reste durch 7 teilbar sind? das wären ja nur 49 bzw. 7 ?
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Hallo Bodo0686,
> wir haben doch die reste
>
> 49,43,7,1...
>
> aber wie soll ich denn jetzt von diesen die beiden letzten
> Dezimalstellen bestimmen? Kapier ich echt nicht...
>
> oder muss ich jetzt gucken, welche der reste durch 7
> teilbar sind? das wären ja nur 49 bzw. 7 ?
Es ist 23 in eine Summe von 2er-Potenzen zu zerlegen.
[mm]7^{1} \ \operatorname{mod} \ 100, \ 7^{2} \ \operatorname{mod} \ 100, 7^{4} \ \operatorname{mod} \ 100[/mm] hast Du ja bereits.
Damit ist
[mm]7^{23}=7^{2^{4}+2^{2}+2^{1}}=7^{2^{4}}*7^{2^{2}}*7^{2^{1}}[/mm]
Berechen jetzt das rechtsstehende Produkt modulo 100.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Mi 22.12.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
ich würde das jetzt alles wieder ausrechnen:
6,782230728*10^11 mod 100
6,782230728*10^11 : 100 = 6782230728 R=0
6782230728 : 100 = 67822307,28 R=28
67822307:100 = 678223,07 R=7
678223:100=6782,23 R=23
6782:100=67,82 R=82
67:100 = 0 R=67
aber das ist bestimmt wieder falsch...
ich blick da nicht durch...
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Hallo Bodo!
Jetzt schmeiß endlich Deinen Taschenrechner weg.
Der berechnet nur das, was Du ihm angibst, aber er hat nicht genügend Stellen. Es braucht also Deine Intelligenz, damit der Rechner überhaupt eine Chance hat.
Du sollst nichts weiter mehr tun, als [mm] 7^{23}\mod{100} [/mm] zu berechnen. Das ist der Weg, wenn man nicht weiß, dass [mm] 7^4\equiv 1\mod{100} [/mm] ist, und ehrlich gesagt nicht wesentlich mühsamer, wie MathePower Dir gezeigt hat.
Du weißt schon, dass [mm] 7^{23}\equiv 7^3\mod{100} [/mm] ist.
Rechne trotzdem beides mal aus, schon zur Übung. Die linke Seite auf dem Weg von MathePower, die rechte sollte auch so gehen.
Bisher ist gezeigt, dass [mm] 7^{7^7}\equiv 7^{23}\equiv 7^3\mod{100} [/mm] ist. Das ist doch wirklich nicht mehr schwer.
Du musst nur rechtzeitig zwischendurch in den Rechnungen Deine Ergebnisse (soweit es Multiplikation oder, davon abgeleitet, auch Potenzen angeht) [mm] \mod{100} [/mm] nehmen, dann kommst Du mit den Stellen Deines Rechners auch hin. Sobald der in die sogenannte Exponentialschreibweise wechselt, ist es zu spät, eben weil er nicht mehr alle Stellen anzeigen kann und "von hinten" abschneidet. Gerade die willst Du aber wissen.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 Mi 22.12.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
ehrlich gesagt, weiß ich jetzt schon wieder nicht, wo aufeinmal das [mm] 7^3 [/mm] herkommt, naja aber egal...
[mm] 7^3 [/mm] mod 100
343 [mm] \equiv [/mm] 43 mod 100
grüße...
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Hallo Bodo0686,
> ehrlich gesagt, weiß ich jetzt schon wieder nicht, wo
> aufeinmal das [mm]7^3[/mm] herkommt, naja aber egal...
Nun, es gilt
[mm]7^{23}=7^{20}*7^{3}[/mm]
Da [mm]7^{4} \equiv 1 \ \operatorname{mod} \100[/mm], steht da:
[mm]7^{23} \equiv 7^{4*5}*7^{3} \equiv 7^{3} \ \operatorname{mod} \100[/mm]
>
> [mm]7^3[/mm] mod 100
> 343 [mm]\equiv[/mm] 43 mod 100
>
Jetzt stimmts.
> grüße...
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 Mi 22.12.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
gut, und was muss ich jetzt machen? Müssen nun auch [mm] 7^5 [/mm] mod 100 usw. gerechnet werden?
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Hallo Bodo0686,
> gut, und was muss ich jetzt machen? Müssen nun auch [mm]7^5[/mm]
> mod 100 usw. gerechnet werden?
Nein,denn, [mm]7^{4*5}=\left(7^{4}\right)^{5}[/mm]
Und da [mm]7^{4} \equiv 1 \ \operatorname{mod} \ 100[/mm],
ist [mm]\left(7^{4}\right)^{5} \equiv 1^{5} \equiv 1 \ \operatorname{mod} \ 100[/mm]
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 Mi 22.12.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
ok. aber fertig sind wir ja immer noch nicht...
wie bekomme ich denn nun meine beiden gesuchten werte raus...???
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Hallo nochmal,
doch, Du bist fertig. Du hast den gesuchten Wert. Vielleicht hast Du ihn noch nicht auf beiden Wegen bestimmt (nämlich einmal über [mm] 7^3 [/mm] und einmal über [mm] 7^{23} [/mm] ), aber eigentlich bist Du fertig.
Statt also ständig irgendwelche neuen, nicht nachvollziehbaren Fragen in die Runde zu werfen, solltest Du diesen Thread von Anfang bis Ende nochmal lesen und Dir überlegen, ob Du die Hinweise verstanden hast.
Sonst sitzen wir bei der nächsten Aufgabe wieder genauso hier.
Du müsstest z.B. bequem bestimmen können, was [mm] 6^{6^6}\mod{25} [/mm] ist. Das geht ziemlich genauso wie Deine bisherige Aufgabe.
Also: lies, und überleg mal selber. Selbst denken macht schlau.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:00 Do 23.12.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
Ich glaube, ich blicke da jetzt durch.
Ich fasse das nochmal zusammen.
Wir hatten [mm] 7^{7^7}=7^{823543}
[/mm]
Wir berechnen [mm] \phi(100)=40
[/mm]
Also wissen wir nun das 7^40 [mm] \equiv [/mm] 1 mod 100.
Nun betrachten wir den Exponenten etwas genauer:
[mm] 7^7=40*\alpha+\beta, [/mm] wobei [mm] \alpha, \beta \in \IZ [/mm] und [mm] 0\le\beta<40.
[/mm]
-> [mm] \alpha=20588 [/mm] und [mm] \beta=23 (\beta [/mm] ist hier Rest)
Da uns nur die Reste interessieren betrachten von der Darstellung
[mm] 7^{7^7}^=7^{823543}=7^{40*20588+23}=7^{40*20588}*7^{23} [/mm]
nur 7^(23).
Nun können wir [mm] 7^{23}=7^{20}*7^3 [/mm] schreiben. Da [mm] 7^3 [/mm] die kleinste Potenz ist die nun vorkommt, finden wir unsere letzten beiden Dezimalstellen in [mm] 7^3.
[/mm]
[mm] 7^3 [/mm] mod 100 => 343 [mm] \equiv [/mm] 43 mod 100. Also sind 43 die letzten beiden gesuchten Dezimalstellen.
Bitte um Rückmeldung!
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Hallo Bodo,
> Ich glaube, ich blicke da jetzt durch.
>
> Ich fasse das nochmal zusammen.
>
> Wir hatten [mm]7^{7^7}=7^{823543}[/mm]
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> Wir berechnen [mm]\phi(100)=40[/mm]
> Also wissen wir nun das 7^40 [mm]\equiv[/mm] 1 mod 100.
>
> Nun betrachten wir den Exponenten etwas genauer:
> [mm]7^7=40*\alpha+\beta,[/mm] wobei [mm]\alpha, \beta \in \IZ[/mm] und
> [mm]0\le\beta<40.[/mm]
> -> [mm]\alpha=20588[/mm] und [mm]\beta=23 (\beta[/mm] ist hier Rest)
>
> Da uns nur die Reste interessieren betrachten von der
> Darstellung
> [mm]7^{7^7}^=7^{823543}=7^{40*20588+23}=7^{40*20588}*7^{23}[/mm]
> nur 7^(23).
Besser als "da uns nur die Reste interessieren" ist
"da [mm]7^{40\cdot{}20588}=\left(7^{40}\right)^{20588}\equiv 1^{20588}=1 \ \operatorname{mod}(100)[/mm]"
>
> Nun können wir [mm]7^{23}=7^{20}*7^3[/mm] schreiben. Da [mm]7^3[/mm] die
> kleinste Potenz ist die nun vorkommt,
Das ist wieder schlecht formuliert.
Warum nur [mm]7^3[/mm] eine Rolle für die Berechnung spielt, hat Mathepower oben schön und deutlich aufgeschrieben...
> finden wir unsere
> letzten beiden Dezimalstellen in [mm]7^3.[/mm]
>
> [mm]7^3[/mm] mod 100 => 343 [mm]\equiv[/mm] 43 mod 100. Also sind 43 die
> letzten beiden gesuchten Dezimalstellen.
>
> Bitte um Rückmeldung!
Hmm, die Begründungen gefallen mir nicht so ganz, das gibt bestimmt noch Punktabzug in der Korrektur
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:21 Do 23.12.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
Ok, danke! Wenn aber jetzt nach den letzten 3 Dezimalstellen gefragt wäre, dann müsste ich aber mit mod 1000 rechnen, oder? Der Rest der Rechnung würde aber von der Vorgehensweise gleich bleiben.. Grüße
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Hallo Bodo,
> Ok, danke! Wenn aber jetzt nach den letzten 3
> Dezimalstellen gefragt wäre, dann müsste ich aber mit mod
> 1000 rechnen, oder? Der Rest der Rechnung würde aber von
> der Vorgehensweise gleich bleiben.. Grüße
Ja, klar.
Nur würde wohl die Abkürzung von [mm] 7^{23} [/mm] auf [mm] 7^3 [/mm] wegfallen, bzw. was auch immer der betreffende Exponent ist, den man dann vorliegen hat.
Ich hatte als Aufgabe gleichen Typs folgende vorgeschlagen: [mm] 6^{6^6}\mod{25} [/mm] bestimmen.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:54 Do 23.12.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
Also,
[mm] 6^{6^6}=6^{46656}
[/mm]
[mm] \phi(25)=20
[/mm]
Betrachtung des Exponenten:
[mm] 6^6=46656 [/mm] = [mm] 20*\alpha [/mm] + [mm] \beta
[/mm]
-> [mm] \alpha=2332, \beta= [/mm] 16
[mm] 6^{46656}=6^{20*2332} [/mm] * [mm] 6^{16}
[/mm]
[mm] 6^{20*2332}=(6^{20})^{2332} \equiv 1^{2332} [/mm] = 1 mod 25
[mm] 6^{16} [/mm] = [mm] 6^5 [/mm] * [mm] 6^{11}
[/mm]
[mm] 6^5=7776 \equiv [/mm] 1 mod 25
Grüße
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Hallo Bodo,
alles richtig, nur am Ende verlierst Du etwas den Faden.
Was ist denn die Lösung?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:15 Do 23.12.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
ich vermute mal 16
Ich habe so ein Problem mit der 6^16 gehabt. Muss man diese denn explizit auf [mm] 6^5 [/mm] * 6^11 zerlegen? Da fehlt mir so das Gefühl für. Ich hätte es ja auch in [mm] 6^4 [/mm] * 6^12 zerlegen können.... ???
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Hallo Bodo,
ah. Ok. Ich glaube, ich sehe langsam, wo es hängt.
> ich vermute mal 16
Nein, aber Du brauchst ja auch gar nicht mehr zu vermuten.
> Ich habe so ein Problem mit der 6^16 gehabt. Muss man diese
> denn explizit auf [mm]6^5[/mm] * 6^11 zerlegen? Da fehlt mir so das
> Gefühl für. Ich hätte es ja auch in [mm]6^4[/mm] * 6^12 zerlegen
> können.... ???
Da Du schon weißt, dass [mm] 6^5\equiv 1\mod{25} [/mm] ist, wäre die letztgenannte Zerlegung nicht praktisch. Du kannst den Faktor [mm] 6^5 [/mm] jetzt so oft streichen, wie Du willst, weil der eben in die Restklasse [mm] \overline{1} [/mm] fällt.
Daher ist die hilfreichste Zerlegung diese: [mm] 6^{16}=6^5*6^5*6^5*6^1\equiv 6\mod{25}
[/mm]
Und das ist die Antwort.
Bei diesen Aufgaben und vielen anderen mit "großen" Zahlen ist das der Clou, dass man möglichst viele Potenzen eliminiert, nachdem man nachgewiesen hat, dass sie im betreffenden Modul in die Restklasse [mm] \overline{1} [/mm] fallen. Im Endeffekt bleiben dann oft sehr übersichtliche Rechnung am Ende zu erledigen, die dann auch der Taschenrechner schafft, aber für die man ihn eigentlich nicht mehr braucht, wie hier.
Diese Aufgabe kann man sogar im Kopf lösen, wenn man einmal verstanden hat, wie der Weg funktioniert.
Grüße
reverend
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