Dezimalzahl < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:29 Sa 05.12.2009 | | Autor: | deniz87 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Hallo zusamen
Und zwar soll ich beweisen, daß eine Dezimalzahl genau dann ab einer Stelle periodisch ist wenn sie rational ist.
Ich hab leider gar keine Ahnung wie man sowas beweisen könnte. Läuft der Beweis so, dass ich einen Bruch € Q betrachte und zeige dass für selbigen das zutrifft? Ich hoffe ihr könnt mir einen Denkanstoß geben.
Gruß
Deniz
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:47 Sa 05.12.2009 | | Autor: | abakus |
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
> Hallo zusamen
> Und zwar soll ich beweisen, daß eine Dezimalzahl genau
> dann ab einer Stelle periodisch ist wenn sie rational ist.
> Ich hab leider gar keine Ahnung wie man sowas beweisen
> könnte. Läuft der Beweis so, dass ich einen Bruch € Q
> betrachte und zeige dass für selbigen das zutrifft? Ich
> hoffe ihr könnt mir einen Denkanstoß geben.
> Gruß
> Deniz
Hallo,
eine rationale Zahl lässt sich darstellen als p/q (mit ganzen Zahlen p und q).
Das Verfahren der schriftlichen Division p:q endet entweder ohne Rest (Ergebnis ist ganze Zahl) oder mit Rest. An diesen Rest wird immer wieder eine Null angehängt, durch q geteilt und an den Rest wieder eine Null angehängt usw.
Da es bei Teilung durch q nur die Rest 0 bis q-1 geben kann, wiederholen sich spätestens nach q Schritten die Reste und damit auch die entsprechenden Divisionsergebnisse.
Rückrichtung :
Aus einem ab irgendeiner Stelle periodischen Dezimalbruch wie
a=0,56232323232...
macht man z.B.
100 a = 56,23232323...
Die Differenz beider Ausdrücke ist
99a = 56,232323... - 0,56232323...
99a = 56,23 - 0,56 (die übrigen Stellen heben sich auf)
9900 a = 5623 -56 = 5567
a=5567/9900
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 Sa 05.12.2009 | | Autor: | deniz87 |
Vielen Dank für deine Antwort.
Das klingt alles einleuchtend aber ist das auch ein formaler Beweis?
Gruß
deniz
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 Sa 05.12.2009 | | Autor: | abakus |
> Vielen Dank für deine Antwort.
> Das klingt alles einleuchtend aber ist das auch ein
> formaler Beweis?
Nö. Du hast nur nach einem Denkanstoß gefragt.
Ich weiß nicht, welche zahlentheoretischen Grundlagen euch aus den Lehrveranstaltungen zur Verfügung stehen.
Gruß Abakus
> Gruß
> deniz
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:17 Sa 05.12.2009 | | Autor: | deniz87 |
Angenommen wir hätten bereits alle Sorten von Zahlen besprochen.
Wie kann man einen derartigen Beweis überhaupt exakt aufschreiben? Ich les' mir die Aufgabenstellung durch und denk' nur dass das ja logisch ist, aber krieg' keinen formal richtigen Beweis hin :(
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Hiho,
formal beweist man eine "genau dann"-Aussage entweder durch äquivalente Umformungen oder in 2 Schritten, nämlich Hin- und Rückrichtung.
Hier bietet sich zweitere Methode an
Sei d eine periodische Dezimalzahl [mm] \Rightarrow [/mm] d lässt sich darstellen als [mm] \bruch{p}{q}
[/mm]
und
Sei d rational, d.h. $d = [mm] \bruch{p}{q}$ \Rightarrow [/mm] d ist periodisch.
Die Idee zu beiden Teilen hat abakus dir schon geliefert, nun heisst es nur noch, sie sauber (und formal) aufzuschreiben.
Nun liegt es an dir.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 So 06.12.2009 | | Autor: | deniz87 |
Reicht es um die erste Folgerung zu zeigen, dass ich irgendein Folge von Zahlen betrachte wie z.B 0,783434343 die eben ab einer gewissen Stelle periodisch wird? Wenn nicht wie kann ich so eine Folge allgemein darstellen?
Liebe Grüße
deniz
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Hiho,
> Reicht es um die erste Folgerung zu zeigen, dass ich
> irgendein Folge von Zahlen betrachte wie z.B 0,783434343
> die eben ab einer gewissen Stelle periodisch wird?
Nein, dann hast du ja nur einen Spezialfall betrachtet.
> Wenn nicht wie kann ich so eine Folge allgemein darstellen?
> Liebe Grüße
> deniz
Naja, erstmal reicht es die Zahlen mit 0 vor dem Komma zu betrachten (Warum?), das vereinfacht die Sache.
Und dann haben alle periodischen Zahlen die Darstellung:
[mm] $0,a_1a_2....a_np_1p_2...p_m$ [/mm] wobei [mm] $a_1,...,a_n,p_1,...p_m \in \{0,...,9\}$ [/mm] und die [mm] p_i [/mm] deine Periode sind.
MFG,
Gono.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:50 So 06.12.2009 | | Autor: | deniz87 |
Danke für deine schnelle Antwort :)
Also dann
[mm] 10^n [/mm] = a1..an, p1.....pn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Di 08.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 So 06.12.2009 | | Autor: | deniz87 |
dann hab' ich also
[mm] 10^n [/mm] d= a1...an,p1....pn
1d= 0,a1..anp1.....pn
Also folgt
[mm] (10^n-1) [/mm] d= a1...an, p1...pn - 0,a1....anp1.....pn
[mm] (10^n-1) [/mm] d=a1....an,p1p2-0,a1...an
[mm] n(10^n-1) [/mm] d=a1...anp1p2-a1...an
d= [mm] (a1...an)(p1p2-1)/(n(10^n-1)) [/mm] Wobei Zähler und Nenner ganze Zahlen sind daraus folgt d= p/q
Stimmt das so halbwegs?
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Hiho,
so halbwegs stimmt dein Vorgehen, schau dir allerdings nochmal an, was rauskommt, wenn du
$10^nd - 1d = [mm] a_1...a_n,p_1....p_n.... [/mm] - [mm] 0,a_1...a_np_1....p_n.....$
[/mm]
rechnest und was für Fälle du da vlt. beachten musst.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 So 06.12.2009 | | Autor: | deniz87 |
Zum Beispiel den Fall dass a1 bis an ist Null. Kann p1 bis pn auch Null werden?
Die Umformung dass [mm] (10^n-1)d= [/mm] a1..an,p1...pn -0,a1...anp1..pn ist [mm] (10^n-1) [/mm] d= a1....an,p1p2 - 0,a1...an ist doch falsch oder?
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> Zum Beispiel den Fall dass a1 bis an ist Null. Kann p1 bis
> pn auch Null werden?
Laut eurer Definition sicherlich.
So ist 0,25 ja nichts anderes als 0,2500....
> Die Umformung dass [mm](10^n-1)d=[/mm] a1..an,p1...pn
> -0,a1...anp1..pn ist [mm](10^n-1)[/mm] d= a1....an,p1p2 - 0,a1...an
> ist doch falsch oder?
Jap.
MFG,
Gono.
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