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Dezimalzahlentwicklung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:42 Mo 17.12.2007
Autor: Schneckal36

Aufgabe
Eine Dezimalzahl ist eine Reihe [mm] \pm \summe_{k=-k_{0}}^{\infty} a_{k}10^{-k} [/mm]
Dabei ist [mm] k_{0} \in \IN [/mm] und die [mm] a_{k} [/mm] sind Ziffern, d.h. [mm] 0\le a_{k} [/mm] <10. Man schreibt statt Reihe bekanntlich kurz [mm] \pm a_{-k_{0}}a_{-k_{0}+1}....a_{-1}a_{0}, a_{1}a_{2}a_{3}.... [/mm]
Wir nennen die Dezimalzahl periodisch, wenn es ein [mm] k_{1} \in \IN [/mm] und ein l [mm] \in \IN_{>0} [/mm] gibt, s.d. [mm] a_{k_{1}+i}=a_{k_{1}+i+nl} [/mm] für i=0, ..., l-1 und alle n [mm] \in\IN. [/mm] Zeigen Sie:

1. Jede Dezimalzahl konvergiert gegen eine reele Zahl.

2. Zu jeder reellen Zahl a gibt es eine Dezimalzahl, die gegen a konvergiert (genannt Dezimalentwicklung von a). Die [mm] a_{k}'s [/mm] sind evtl nicht eindeutig bestimmt.

3. Ist die Dezimalzahl periodisch, so konvergiert Sie gegen eine rationale Zahl.

4. Können sie zeigen, dass umgekehrt jede rationale Zahl eine periodische Dezimalzahlentwicklung besitzt?

Ich hab mal wieder keine Ahnung was ich machen muss! :D Ich finde auch in meinen Büchern nichts über Dezimalentwicklung!!!

Vielleicht wisst ihr weiter!
Mfg Schneckal


Ich habe diese Frage in kein anderes Forum gestellt.

        
Bezug
Dezimalzahlentwicklung: Tipp
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:06 Mo 17.12.2007
Autor: Elephant

Hallo,
Tipp zur 1: Wegen des Vollständigkeitsaxioms reicht es, wenn du zeigst, dass die Folge deiner Partialsummen [mm] \zeta_n, [/mm] d.h. [mm] \zeta_n= \summe_{i=-k_0}^{n} a_i*10^{-i}, [/mm] eine Cauchyfolge ist.
Ansonsten empfehle ich dir ein gutes Analysis 1 - Buch, da müssten zumindest Teile der Aufgaben drinstehen.
Viele Grüße!

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