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| Aufgabe | Berechnen Sie die allgemeine Lösung von
a) [mm] y'=\pmat{ 1 & -3 \\ 3 & 7 }y
[/mm]
b) [mm] y'=\pmat{ -1 & -1 \\ 2 & 1 }y [/mm] |
a)
[mm] \pmat{ 1-\lambda & -3 \\ 3 & 7-\lambda }=0=\lambda^2-8\lambda+16
[/mm]
[mm] \lambda=4 [/mm] (doppelte Nst)
[mm] \pmat{ -3 & -3 \\ 3 & 3 }V_1=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
-3x-3y=0
[mm] x=\alpha
[/mm]
[mm] y=-\alpha [/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] V_1=\alpha\vektor{1\\ -1}
[/mm]
Hauptvektor bestimmen:
[mm] \pmat{ -3 & -3 \\ 3 & 3 }V_2=V_1 \gdw \pmat{ -3 & -3 \\ 3 & 3 }V_2=\vektor{1\\ -1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
-3x-3y=1
[mm] x=\alpha
[/mm]
[mm] y=\bruch{-1-3\alpha}{3} \Rightarrow V_2=\vektor{\alpha \\ \bruch{-1-3\alpha}{3} }
[/mm]
für [mm] \alpha=1 [/mm] gilt:
[mm] y=C_1e^{4t}\vektor{1\\ -1}+C_2e^{4t}(\vektor{1 \\ \bruch{-4}{3} }+t\vektor{1\\ -1})
[/mm]
ich bitte um Korrektur
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[mm] y'=\pmat{ -1 & -1 \\ 2 & 1 }y
[/mm]
[mm] det\pmat{ -1-\lambda & -1 \\ 2 & 1-\lambda }=0=\lambda^2+1
[/mm]
[mm] \lambda_{1/2}=+-i
[/mm]
[mm] \pmat{ -1-i & -1 \\ 2 & 1-i }V_1=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
(-1-i)x-y=0
[mm] x=\alpha
[/mm]
[mm] y=(-1-i)\alpha \Rightarrow V_1 \alpha\vektor{1 \\ -1-i}
[/mm]
[mm] \pmat{ -1+i & -1 \\ 2 & 1+i }V_1=0
[/mm]
(-1+i)x-y=0
[mm] x=\beta
[/mm]
[mm] y=(-1+i)\beta \Rightarrow V_1 \beta\vektor{1 \\ -1+i}
[/mm]
ist das soweit richtig? ich weiß nicht wie ich die allgemeine Lösung bestimmen soll, weil ich das rot markierte im folgenden Ansatz nicht verstehe:
Matrix A hat komplexe EW [mm] \lambda_{1/2}=\alpha+-i\beta, [/mm] sei v=u+iw [mm] \in \IC^2 [/mm] EV zu [mm] \lambda_1=\alpha+i\beta [/mm]
Dann kann man als unabhängige Basislösungen
[mm] y_1(t)=e^{\alpha*t}cos(\beta*t)u-e^{\alpha*t}sin(\beta*t)w [/mm] und
[mm] y_2(t)=e^{\alpha*t}cos(\beta*t)w-e^{\alpha*t}sin(\beta*t)u
[/mm]
nehmen, damit ist [mm] y=C_1y_1+C_2y_2 [/mm] die allgemeine Lösung
kann mir jemand diesen Lösungsansatz mit anderen worten erklären?
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Hallo arbeitsamt,
> [mm]y'=\pmat{ -1 & -1 \\ 2 & 1 }y[/mm]
>
> [mm]det\pmat{ -1-\lambda & -1 \\ 2 & 1-\lambda }=0=\lambda^2+1[/mm]
>
> [mm]\lambda_{1/2}=+-i[/mm]
>
> [mm]\pmat{ -1-i & -1 \\ 2 & 1-i }V_1=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> (-1-i)x-y=0
>
> [mm]x=\alpha[/mm]
>
> [mm]y=(-1-i)\alpha \Rightarrow V_1 \alpha\vektor{1 \\ -1-i}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ -1+i & -1 \\ 2 & 1+i }V_1=0[/mm]
>
> (-1+i)x-y=0
>
> [mm]x=\beta[/mm]
>
> [mm]y=(-1+i)\beta \Rightarrow V_1 \beta\vektor{1 \\ -1+i}[/mm]
>
>
> ist das soweit richtig? ich weiß nicht wie ich die
> allgemeine Lösung bestimmen soll, weil ich das rot
> markierte im folgenden Ansatz nicht verstehe:
>
Ja, das ist soweit richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Matrix A hat komplexe EW [mm]\lambda_{1/2}=\alpha+-i\beta,[/mm] sei
> v=u+iw [mm]\in \IC^2[/mm] EV zu [mm]\lambda_1=\alpha+i\beta[/mm]
> Dann kann man als unabhängige Basislösungen
>
> [mm]y_1(t)=e^{\alpha*t}cos(\beta*t)u-e^{\alpha*t}sin(\beta*t)w[/mm]
> und
>
> [mm]y_2(t)=e^{\alpha*t}cos(\beta*t)w-e^{\alpha*t}sin(\beta*t)u[/mm]
>
Hier muss es doch
[mm]y_2(t)=e^{\alpha*t}cos(\beta*t)w\blue{+}e^{\alpha*t}sin(\beta*t)u[/mm]
heissen.
> nehmen, damit ist [mm]y=C_1y_1+C_2y_2[/mm] die allgemeine Lösung
>
> kann mir jemand diesen Lösungsansatz mit anderen worten
> erklären?
Wenn eine Matrix komplexe Eigenwerte hat, dann lösen sowohl
Real- als auch Imaginärteil der Lösung die DGL.
Gruss
MathePower
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hallo
ich habe jetzt folgende basislösungen:
[mm] y_1(t)=sin(t)
[/mm]
[mm] y_2(t)=-cos(t)
[/mm]
ist das richtig?
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Hallo arbeitsamt,
> hallo
>
> ich habe jetzt folgende basislösungen:
>
> [mm]y_1(t)=sin(t)[/mm]
>
> [mm]y_2(t)=-cos(t)[/mm]
>
> ist das richtig?
Nein, das ist nicht richtig.
Eine Lösung ist doch zunächst
[mm]\operator{Eigenvektor}*e^{\operator{Eigenwert}*t}[/mm]
Hier von berechnest Du den Real- und Imaginaerteil.
Dann sind Basislösungen:
[mm]y_{1}\left(t\right)=\operator{Realteil}\left(\operator{Eigenvektor}*e^{\operator{Eigenwert}*t}\right)[/mm]
[mm]y_{2}\left(t\right)=\operator{Imaginaerteil}\left(\operator{Eigenvektor}*e^{\operator{Eigenwert}*t}\right)[/mm]
Gruss
MathePower
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Hallo arbeitsamt,
> Berechnen Sie die allgemeine Lösung von
>
> a) [mm]y'=\pmat{ 1 & -3 \\ 3 & 7 }y[/mm]
>
> b) [mm]y'=\pmat{ -1 & -1 \\ 2 & 1 }y[/mm]
>
> a)
>
> [mm]\pmat{ 1-\lambda & -3 \\ 3 & 7-\lambda }=0=\lambda^2-8\lambda+16[/mm]
>
> [mm]\lambda=4[/mm] (doppelte Nst)
>
>
>
> [mm]\pmat{ -3 & -3 \\ 3 & 3 }V_1=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> -3x-3y=0
>
> [mm]x=\alpha[/mm]
> [mm]y=-\alpha[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]V_1=\alpha\vektor{1\\ -1}[/mm]
>
> Hauptvektor bestimmen:
>
> [mm]\pmat{ -3 & -3 \\ 3 & 3 }V_2=V_1 \gdw \pmat{ -3 & -3 \\ 3 & 3 }V_2=\vektor{1\\ -1}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> -3x-3y=1
>
> [mm]x=\alpha[/mm]
>
> [mm]y=\bruch{-1-3\alpha}{3} \Rightarrow V_2=\vektor{\alpha \\ \bruch{-1-3\alpha}{3} }[/mm]
>
> für [mm]\alpha=1[/mm] gilt:
>
> [mm]y=C_1e^{4t}\vektor{1\\ -1}+C_2e^{4t}(\vektor{1 \\ \bruch{-4}{3} }+t\vektor{1\\ -1})[/mm]
>
> ich bitte um Korrektur
Alles richtig.
Gruss
MathePower
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