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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:41 Do 04.08.2011 | | Autor: | Glava |
| Aufgabe | [mm] y'-\bruch{3x^{2}+9}{x^{3}+9x}y=x [/mm] ; y(1)=10 ; x>0
Bestimmen Sie die Lösung des AWP. |
Also ich sitze jetzt schon seit ein paar Stunden dran und komme an einem bestimmten Punkt einfach nicht weiter...das ist der Übergang von homogener zu inhomogener Dgl..
Hier meine Lösung bisher:
homogene: [mm] y'-\bruch{3x^{2}+9}{x^{3}+9x}y=0
[/mm]
mit [mm] \bruch{dy}{dx}=y' [/mm] und ganz normaler Trennung der Variablen komme ich auf:
[mm] \integral\bruch{1}{y}{dy}=\integral\bruch{3x^{2}+9}{x^{3}+9x}{dx}
[/mm]
Die Partialbruchzerlegung für die rechte Seite liefert mir:
[mm] \integral\bruch{1}{y}{dy}=\integral\bruch{1}{x}{dx}+\integral\bruch{2x}{x^{2}+9}{dx}
[/mm]
Das wiederum führt zu:
[mm] ln|y|=ln|x|+\bruch{1}{3}arctan(\bruch{x}{3})+ln|c|
[/mm]
mit
[mm] ln|y|-ln|c|=ln|x|+\bruch{1}{3}arctan(\bruch{x}{3}) \Rightarrow ln|\bruch{y}{c}|=ln|x|+\bruch{1}{3}arctan(\bruch{x}{3})
[/mm]
und damit zur
[mm] y_{hom}=c(x+e^{\bruch{1}{3}arctan(\bruch{x}{3})})
[/mm]
So nun weiß ich ehrlich gesagt nicht mehr wirklich weiter....
Variation der Konstanten?
Am Besten sagt ihr mir erstmal ob ich überhaupt soweit richtig liege, bevor ich euch meine 2 Zeilen lange Lösung zu Variation der Konstanten vorstelle, wo leider auch nicht wirklich viel wegfällt:)...
Vielen Dank für eure Mühe
Gruß Mario
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> TdV
Ok.
> PBZ
Ok.
> Bestimmung der Integrale
du hast [mm] $\integral \frac{2x}{x^{2}+9} [/mm] dx$ falsch gerechnet.
> stimmt so weit?
nein.
führ noch mal die Variation der Konstante durch mit der neuen [mm] y_{homo}. [/mm]
Gruss
kushkush
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Hallo Mario,
kleine Ergänzung:
> [mm]y'-\bruch{3x^{2}+9}{x^{3}+9x}y=x[/mm] ; y(1)=10 ;
> x>0
>
> Bestimmen Sie die Lösung des AWP.
> Also ich sitze jetzt schon seit ein paar Stunden dran und
> komme an einem bestimmten Punkt einfach nicht weiter...das
> ist der Übergang von homogener zu inhomogener Dgl..
>
> Hier meine Lösung bisher:
>
> homogene: [mm]y'-\bruch{3x^{2}+9}{x^{3}+9x}y=0[/mm]
>
> mit [mm]\bruch{dy}{dx}=y'[/mm] und ganz normaler Trennung der
> Variablen komme ich auf:
>
> [mm]\integral\bruch{1}{y}{dy}=\integral\bruch{3x^{2}+9}{x^{3}+9x}{dx}[/mm]
>
> Die Partialbruchzerlegung
Die kannst du dir doch sparen!
Rechterhand steht doch im Zähler genau die Ableitung des Nenners, das Integral ist also von der Form [mm]\int{\frac{f'(x)}{f(x)} \ dx}[/mm]
Das ist ein sog. logarithmisches Integral und hat als Stammfunktion [mm]\ln(|f(x)|)+C[/mm]
Das kannst du schnell mit der Substitution [mm]u=u(x):=f(x)[/mm] einsehen:
[mm]u'(x)=\frac{du}{dx}=f'(x)[/mm], also [mm]dx=\frac{du}{f'(x)}[/mm] und damit
[mm]\int{\frac{f'(x)}{f(x)} \ dx}=\int{\frac{f'(x)}{u} \ \frac{du}{f'(x)}}=\int{\frac{1}{u} \ du}=\ln(|u|)+C=\ln(|f(x)|)+C[/mm]
Das im Hinterkopf liefert dein Integral also was?
> für die rechte Seite liefert
> mir:
>
> [mm]\integral\bruch{1}{y}{dy}=\integral\bruch{1}{x}{dx}+\integral\bruch{2x}{x^{2}+9}{dx}[/mm]
>
Gruß
schachuzipus
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