Dgl 2.Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:12 Mo 07.02.2011 | | Autor: | Kayle |
| Aufgabe | Allgemeine Lösung bestimmen:
[mm] (2x-3x^3)y''+4y'+6xy=0 [/mm]
Hinweis: Suchen Sie eine Lösung der Gestalt [mm] y(x)=x^{\alpha}. [/mm] |
Hallo,
also ich hab [mm] y(x)=x^{\alpha} [/mm] abgeleitet und eingesetzt, danach Koeffizientenvergleich und komm somit auf [mm] \alpha=-1.
[/mm]
Somit ist meine 1. Lösung [mm] y_1=\bruch{1}{x}. [/mm] Aber wie gehts nun weiter? Ich hab leider keine Ahnung.
Gruß
Kayle
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Hallo Kayle,
> Allgemeine Lösung bestimmen:
>
> [mm](2x-3x^3)y''+4y'+6xy=0[/mm]
> Hinweis: Suchen Sie eine Lösung der Gestalt
> [mm]y(x)=x^{\alpha}.[/mm]
> Hallo,
>
> also ich hab [mm]y(x)=x^{\alpha}[/mm] abgeleitet und eingesetzt,
> danach Koeffizientenvergleich und komm somit auf
> [mm]\alpha=-1.[/mm]
>
> Somit ist meine 1. Lösung [mm]y_1=\bruch{1}{x}.[/mm] Aber wie gehts
> nun weiter? Ich hab leider keine Ahnung.
Setze
[mm]z=z\left(x\right)=\bruch{d}{dx}\left( \ \bruch{y\left(x\right)}{y_{1}\left(x\right)} \ \right)[/mm]
Dies führt auf eine lineare homogene DGL 1. Ordnung für z.
>
> Gruß
> Kayle
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:48 Mo 07.02.2011 | | Autor: | Kayle |
Hallo,
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> Setze
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> [mm]z=z\left(x\right)=\bruch{d}{dx}\left( \ \bruch{y\left(x\right)}{y_{1}\left(x\right)} \ \right)[/mm]
>
> Dies führt auf eine lineare homogene DGL 1. Ordnung für
> z.
>
Tut mir leid, damit kann ich grade nicht viel anfangen.
Ich komm dann auf z=y'x+y und dann? Soll ich das nach y' umstellen und in die Funktion einsetzen? Also mir ist das alles nicht ganz klar. Kannst du mir bitte mal schreiben wie das aussehen würde?
Gruß
Kayle
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Hallo Kayle,
> Hallo,
> >
> >
> > Setze
> >
> > [mm]z=z\left(x\right)=\bruch{d}{dx}\left( \ \bruch{y\left(x\right)}{y_{1}\left(x\right)} \ \right)[/mm]
>
> >
> > Dies führt auf eine lineare homogene DGL 1. Ordnung für
> > z.
> >
>
> Tut mir leid, damit kann ich grade nicht viel anfangen.
>
> Ich komm dann auf z=y'x+y und dann? Soll ich das nach y'
> umstellen und in die Funktion einsetzen? Also mir ist das
> alles nicht ganz klar. Kannst du mir bitte mal schreiben
> wie das aussehen würde?
Die Gleichung
[mm]z=y'x+y[/mm]
ist, wie Du richtig erkannt hast, nach y' umzustellen.
Benötigt wird aber noch y''.
Dazu differenziere die Gleichung [mm]z=y'x+y[/mm]:
[mm]z'=y''*x+2*y'[/mm]
Daraus folgen dann zunächst
[mm]y'=\bruch{z-y}{x}[/mm]
[mm]y''=\bruch{z'}{x}-2\bruch{z}{x^{2}}+2\bruch{y}{x^{2}[/mm]
Dies wird dann in die DGL eingesetzt:
[mm]\left(2*x-3*x^{3}\right)*\left(\bruch{z'}{x}-2\bruch{z}{x^{2}}+2\bruch{y}{x^{2}\right)+4*\left(\bruch{z-y}{x}\right)+6*x*y=0[/mm]
Daraus ergibt sich:
[mm]\left(2-3*x^{2}\right)*z'+6*x*z=0[/mm]
So und jetzt bist Du wieder dran.
>
> Gruß
> Kayle
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:57 Mo 07.02.2011 | | Autor: | Kayle |
Hallo,
meine Lösung ist [mm] y=c_1(x^2-2)+c_2(x^{-1}).
[/mm]
Gruß Kayle
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Hallo Kayle,
> Hallo,
>
> meine Lösung ist [mm]y=c_1(x^2-2)+c_2(x^{-1}).[/mm]
>
> Gruß Kayle
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 Mo 07.02.2011 | | Autor: | Kayle |
Hallo,
noch eine ähnliche Aufgabe: [mm] (1+x^2)y''-2y=0.
[/mm]
Der Ansatz hier sollte die Suche nach einer Lösung in Form eines Polynoms sein.
Also hab ich mal [mm] y=ax^2+bx+c [/mm] gewählt. Dann y', y'' berechnet und eingesetzt und kam dann darauf, dass a=c und b=0 ist.
[mm] y_1=ax^2+a? [/mm] Oder wie schreib ich das dann auf. Und müsste ich jetzt wieder den Ansatz [mm] z=\bruch{d}{dx}*(\bruch{y}{y_1})? [/mm] Oder wie funktioniert das hier?
Gruß
Kayle
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Hallo Kayle,
> Hallo,
>
> noch eine ähnliche Aufgabe: [mm](1+x^2)y''-2y=0.[/mm]
> Der Ansatz hier sollte die Suche nach einer Lösung in
> Form eines Polynoms sein.
>
> Also hab ich mal [mm]y=ax^2+bx+c[/mm] gewählt. Dann y', y''
> berechnet und eingesetzt und kam dann darauf, dass a=c und
> b=0 ist.
>
> [mm]y_1=ax^2+a?[/mm] Oder wie schreib ich das dann auf. Und müsste
> ich jetzt wieder den Ansatz
Setze hier a=1, dann ist
[mm]y_{1}\left(x\right)=x^{2}+1[/mm]
> [mm]z=\bruch{d}{dx}*(\bruch{y}{y_1})?[/mm] Oder wie funktioniert das
> hier?
Dies ist der Ansatz für eine lineare inhomogene DGL 2. Ordnung
mit veränderlichen Koeffizienten.
Der Ansatz für eine lineare homogene DGL 2.Ordnung
mit veränderlichen Koeffizienten lautet:
[mm]y\left(x\right)=y_{1}\left(x\right)*z\left(x\right)[/mm]
Dieser Ansatz funktioniert natürlich auch.
>
> Gruß
> Kayle
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:59 Mo 07.02.2011 | | Autor: | Kayle |
Hallo,
danke für deine Hilfe Mathepower! Morgen wird sich zeigen, ob sich das alles bezahlt gemacht hat.
Schönen Abend Dir!
Gruß
Kayle
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